江西省抚州市2024届高三下学期毕业班教学质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省抚州市2024届高三下学期毕业班教学质量监测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为可得，由可得：或，解得：或，因为或，所以.故选：C.2.已知复数，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，所以故选：D.3.已知命题：，：，则是（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充要条件〖答案〗B〖解析〗因为：，可得，解得，又由，可得，所以是的必要不充分条件.故选：B.4.已知一个圆柱形容器的轴截面是边长为3的正方形，往容器内注水后水面高度为2，若再往容器中放入一个半径为1的实心铁球，则此时水面的高度为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知可得圆柱的底面半径为，往容器内注水后水面高度为2，此时放入一个半径为1的实心铁球，铁球的直径为，所以铁球完全没入水中，设此时水面的高度为，则，解得.故选：C.5.已知定义在上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，则（）A. B.0 C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗因为对任意的都有，且，所以，所以.故选：A.6.已知函数（）在点处的切线为直线，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数（）A. B.1 C.2 D.〖答案〗C〖解析〗易知，，且，所以直线，它与两坐标轴的交点坐标分别为和，可得，又a>0，解得.故选：C.7.十进制计数法简单易懂，方便人们进行计算.也可以用其他进制表示数，如十进制下，，用七进制表示68这个数就是125，个位数为5，那么用七进制表示十进制的，其个位数是（）A.1 B.2 C.5 D.6〖答案〗D〖解析〗由题意知个位数应为除以的余数，因为，除以的余数为.故选：D.8.如图，已知双曲线：（，）的右焦点为，点是双曲线的渐近线上的一点，点是双曲线左支上的一点.若四边形是一个平行四边形，且，则双曲线的离心率是（）A. B.2 C. D.3〖答案〗A〖解析〗因为四边形是一个平行四边形，且，可得，即，由双曲线，可得，渐近线方程为，即，可得，且，因为直线，可得，又因为，所以即，代入双曲线方程，可得，整理得，所以，可得，即，所以离心率.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若实数，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗因为在定义域上单调递减且，所以，故A正确；因为在定义域上单调递增且，所以，故B正确；当时，，故C不正确；因为在定义域上单调递增且，所以，故D正确.故选：ABD.10.在正三棱柱中，已知，点，分别为和的中点，点是棱上的一个动点，则下列说法中正确的有（）A.存在点，使得平面 B.直线与为异面直线C.存在点，使得 D.存在点，使得直线与平面的夹角为45°〖答案〗BCD〖解析〗A：如图（1），因为与相交，所以与平面相交，故选项A错误；B：如图（1），因为平面，平面，平面，所以直线与为异面直线，故选项B正确；C：如图（2），当点P与点A重合时，因为，面，面，所以，又，且都在面内，所以面，又面，所以，故选项C正确；D：当时，此时为等腰直角三角形，因为面，所以为在面内的投影，所以为所求线面角，所以直线与平面所成的角为，故选项D正确.故选：BCD.11.已知函数，其中，，若直线是函数图象的一条对称轴，函数在区间上的值域为，则（）A. B.C.在区间上单调递增 D.在区间上单调递减〖答案〗AD〖解析〗对于A，由直线是函数图象的一条对称轴，得到.又因为，得到，故A正确；对于B，因为，在区间上的值域为，所以或，且，因此.若，则，或.因为，得，此时，当时，，，不符合条件.若，则，或因为，得或或.当时，，当时，，，符合条件当时，，当时，，，不符合条件.当时，，当时，，，不符合条件.综上，当时，，符合条件，故B错误;对于C，当时，，所以在区间上不是单调递增，故C错误；对于D，当时，，所以在区间上单调递减，故D正确.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若直线：与圆：交于，两点，则______.〖答案〗〖解析〗由圆，故圆心，半径为，直线，故圆心到直线的距离为，．13.如图是一个弓形（由弦与劣弧围成）展台的截面图，是弧上一点，测得，，，则该展台的截面面积是______.〖答案〗.〖解析〗如图：设展台所在的圆的圆心为，半径为，，则，即，，所以展台的面积为14.已知数列是有无穷项的等差数列，，公差，若满足条件：①是数列的项；②对任意的正整数，都存在正整数，使得.则满足这样的数列的个数是______种.〖答案〗〖解析〗设是数列中的任意一项，则，均是数列中的项，由已知，设，则由等差数列定义得.因为，所以，即数列的每一项均是整数，所以数列的每一项均是自然数，且是正整数.由题意，设，则是数列中的项，所以是数列中的项.设，则，即.因为，故是的约数.所以.当时，，得，故，共种可能；当时，，得，故，共种可能；当时，，得，故，共种可能；当时，，得，故，共2种可能；当时，，得，故，共2种可能；当时，，得，故，共1种可能；当时，，得，故，共1种可能；当时，，得，故，共1种可能.综上，满足题意的数列共有（种）.经检验，这些数列均符合题意.四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数（，，），函数和它的导函数f'x的图象如图所示.（1）求函数的〖解析〗式；（2）已知，求的值.解：（1），由图象可以得到：，因为图象过点，，所以，所以，所以.（2）由，得，，.16.已知四棱锥的底面是一个梯形，，，，，，.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.（1）证明：设的中点分别为，连接.因为，所以.因为，所以.在梯形中，，所以，，，因此，所以，又，平面，，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（2）解：如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，作出轴，建立空间直角坐标系，则.则，，设平面的法向量，，即，令，得到，，即.设平面的法向量，则，则，令，得到，，即..因为二面角是锐二面角，所以二面角的余弦值是.17.已知函数（）.（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若当时，函数取得极大值，求实数的取值范围.解：（1）当时，，，由得，所以函数的单调递增区间是；（2），，依题意，存在实数且，使得当时，，当时，.记，则（）.记.①当时，，，在区间上单调递减，存在实数且，使得时，，即，单调递减，因此当时，，当时，，函数在时取得极大值.②当时，，因此，即，在区间上单调递增，当时，，不是函数的极大值点.③当时，，，函数在区间上单调递增，当时，，即，函数单调递增，即当时，，因此，不是函数的极大值点.综上，实数的取值范围是.18.某药厂生产的一种药品，声称对某疾病的有效率为80%.若该药对患有该疾病的病人有效，病人服用该药一个疗程，有90%的可能性治愈，有10%的可能性没有治愈；若该药对患有该疾病的病人无效，病人服用该药一个疗程，有40%的可能性自愈，有60%的可能性没有自愈.（1）若该药厂声称的有效率是真实的，利用该药治疗3个患有该疾病的病人，记一个疗程内康复的人数为，求随机变量的分布列和期望；（2）一般地，当比较大时，离散型的二项分布可以近似地看成连续型的正态分布，若，则可以近似看成随机变量，，其中，，对整数，（），.现为了检验此药的有效率，任意抽取100个此种病患者进行药物临床试验，如果一个疗程内至少有人康复，则此药通过检验.现要求：若此药的实际有效率为，通过检验的概率不低于0.9772，求整数的最大值.（参考数据：若，则，，）解：（1）记“一个患有该疾病的病人服用该药一个疗程康复”为事件，则，因此，，，，则的分布列为：的数学期望.（2）若该药品的有效率为，由（1）得，一个疗程内，使用该药后的康复率也为，记康复的人数为随机变量，则，设，设，所以整数的最大值为19.已知椭圆：（）的左焦点为，上顶点为，的两顶点，是椭圆上的动点.当为椭圆的左顶点，为椭圆的下顶点时，，且的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）若的平分线经过点，求面积的最大值.