河南省五市2024届高三第二次联合调研检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省五市2024届高三第二次联合调研检测数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则（）A. B.C D.〖答案〗A〖解析〗，则．故选：A．2.是的内角的对边，若，则（）A. B. C.3 D.6〖答案〗B〖解析〗由以及余弦定理，得，解得（负值舍去）．故选：B．3.等比数列满足：，，则等于（）A.128 B.256 C.512 D.1024〖答案〗C〖解析〗设等比数列an的公比为，则且，即，解得，则.故选：C.4.若向量满足，则（）A. B. C.2 D.3〖答案〗A〖解析〗因为向量，满足，，，所以，即，所以，则．故选：A．5.将甲，乙等5人全部安排到四个工厂实习，每人只去一个工厂，每个工厂至少安排1人，且甲，乙都不能去工厂，则不同的安排方法有（）A72种 B.108种 C.126种 D.144种〖答案〗C〖解析〗由题意可知，分两种情况讨论，①工厂安排1人，有种，②工厂安排2人，有种，所以不同的安排方法有种．故选：C．6.已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗若集合有15个真子集，则中含有4个元素，结合，可知，即，且区间,中含有4个整数，①当时，,的区间长度，此时,中不可能含有4个整数；②当时，,,，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意；③当时，,的区间长度大于3，若,的区间长度，即．若是整数，则区间,中含有4个整数，根据，可知，，此时,,，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意．若不是整数，则区间,中含有5、6、7、8这4个整数，则必须且，解得；若时，,，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意；当时，,的区间长度，此时,中只能含有6、7、8、9这4个整数，故，即，结合可得．综上所述，或或，即实数的取值范围是,,．故选：D．7.双曲线的左､右焦点分别为，过作圆：的切线，切点为，该切线交双曲线的一条渐近线于点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图，连接，则，，，为的中点，，，，设,，，，，点在渐近线上，，离心率．故选：B．8.已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设为空间内一点，且五点在同一个球面上，若，则点的轨迹长度为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗将四面体放入长方体中，设长方体的相邻三条棱长分别为，，，依题意，可知，，则，，，解得，，由于，即异面直线和的距离为，由于长方体的左右侧面为正方形，所以，取中点，连接，则左侧面，在左侧面，所以，又平面，故平面，四面体的外接球半径为，球心为，由，知点的轨迹为一个圆，设轨迹圆的半径为，圆心为，过作球的一个轴截面，所以，且，，且，解得，所以的轨迹长度为．故选：D．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设，，为两两不重合的平面，，，为两两不重合的直线，下列四个命题正确的是（）A.若，，则B.若，，，，则C.若，，则D.若，，，，则〖答案〗CD〖解析〗A.若，，则或相交，所以该选项错误；B.若，，，，则或相交，所以该选项错误；C.若，，则由面面平行的性质定理得，所以该选项正确；D.若，，，，则，所以，所以该选项正确.故选：CD.10.定义在上的函数满足，则（）A.是周期函数B.C.的图象关于直线对称D.〖答案〗ABC〖解析〗由可得，所以，所以的周期为4，故A正确；由，令，则，所以，又，故B正确；由，可知函数关于对称，又的周期为4，则，所以，即函数关于对称，则的图象关于直线对称，故C正确；由，且关于对称，则，所以，又，且，则，又，所以，，故D错误故选：ABC.11.把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转（为锐角），记表面积增加量为，则下列说法正确的是（）A. B.的图象关于直线对称C.的最大值为 D.的最大值为〖答案〗BC〖解析〗设三角形的斜边长为，则①，所以，对于A，当时，由①式得，，所以，故A错误；对于B，的对称轴为，，当时，，即的图像关于直线对称，故B正确；对于CD，，因为，当且仅当时，等号成立，又由①可得，，所以，因为为锐角，所以，所以,，所以,，所以,，所以,，所以，即，故C正确，D错误．故选：BC．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中x的系数为______.〖答案〗〖解析〗在的的展开式中，通项公式为，令，解得；展开式中的系数为：．故〖答案〗为：．13.函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为__________.〖答案〗〖解析〗显然不是函数的零点，故，，令，则，由题意可得，与的图象有一个交点，当时，，在1,+∞单调递增，当且时，，在单调递减，且，的大致图象如图所示，结合函数图象可知，时，符合题意．14.抛物线的焦点为为上一点，为轴正半轴上一点，若是等边三角形，则直线的斜率为__________，__________.〖答案〗〖解析〗抛物线的焦点为,，准线方程为，设，则，，当位于第一象限时，,．是等边三角形，，设,，则，，化简得，解得，当时，，当时，，此时,而为轴正半轴上一点，无法使得为等边三角形，故舍去，当位于第四象限时，,．是等边三角形，，设,，则，，化简得，解得，当时，，此时,而为轴正半轴上一点，无法使得为等边三角形，故舍去，，当时，，，，综上可得，直线的斜率为，或．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）证明：，并求数列的前项和.（1）解：当时，；当时，，，当时，适合上式，故.（2）证明：，成立，，，，，累加得，即，.16.如图，在四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，为的中点，且.（1）证明：；（2）若，求二面角的正弦值.（1）证明：取中点为中点为，连接，因为为的中点，所以，且，因为，所以，且，所以四边形是平行四边形，故，因为，所以，所以，因为为等边三角形，为的中点，所以因为平面平面所以平面，平面，所以，所以为等腰三角形，又，所以为等边三角形，所以.（2）解：设，因为，所以，因为和均为等边三角形，为的中点，所以，所以，所以，所以以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面，平面的法向量分别为，则，令，则，由，令，则，所以，设二面角为，则，所以二面角的正弦值为.17.某班欲从6人中选派3人参加学校投篮比赛，现将6人均分成甲､乙两队进行选拔比赛.经分析甲队每名队员投篮命中的概率均为，乙队三名队员投篮命中的概率分别为，.现要求所有队员各投篮一次（队员投篮是否投中互不影响）.（1）若，求甲､乙两队共投中5次的概率；（2）以甲､乙两队投中次数的期望为依据，若乙队获胜，求的取值范围.解：（1）记“甲，乙两队共投中5次”为事件，则可以是甲队投中3次，乙队投中2次或者甲队投中2次，乙队投中3次，则，甲､乙两队共投中5次的概率为；（2）记甲､乙两队投中次数分别为，则，所以，的取值为，则，，，，所以，的分布列为0123那么乙队投中次数的期望为若乙队胜，则，解得，所以的取值范围为.18.已知函数在定义域内有两个极值点.（1）求实数的取值范围；（2）证明：.（1）解：，由题知在0,+∞有两个不等实根（设，所以，解得.故实数的取值范围是0,1.（2）证明：由（1）知，，令，记则故在0,1上单调递增，又，所以，使，即，当时，故在上单调递减；当时，故在上单调递增；故，综上，成立.19.如图，为圆上一动点，过点分别作轴､轴的垂线，垂足分别为，点满足，点的轨迹记为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若过点的两条直线分别交曲线于两点，且，求证：直线过定点；（3）若曲线交轴正半轴于点，直线与曲线交于不同的两点，直线分别交轴于两点，试探究：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.（1）解：设