河南省濮阳市2024届高三下学期模拟数学试题（三）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省濮阳市2024届高三下学期数学模拟试题（三）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足，则复数z的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，复数的虚部为.2.抛物线的焦点到准线的距离为（）A.2 B.1 C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意，抛物线，可得x2=14y，所以则抛物线的焦点到准线的距离为.故选：D.3.某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗设圆锥的底面半径为，母线长为，因为圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，所以，解得，因为，所以，得，所以圆锥的高为，所以圆锥的轴截面的面积是.4.已知向量，在方向上的投影向量为，则（）A.12 B. C.6 D.〖答案〗B〖解析〗因为在方向上的投影向量为，所以，而，，所以，所以.故选：B.5.某班派遣五位同学到甲、乙、丙三个街道打扫卫生．每个街道至少有一位同学去，至多有两位同学去，且两位同学去同一个街道，则不同的派遣方法有（）A.18 B.24 C.36 D.48〖答案〗A〖解析〗由题意得，学生的分配人数分别为2，2，1，由于两位同学去同一个街道，故先从3个街道中选择1个安排，有种，再将剩余3人分别两组，和两个街道进行全排列，有故不同的派遣方法有种.故选：A.6.如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成直二面角，此时之间的距离为，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图，因为的周期为，所以，，所以折成直二面角时，，解得，所以，所以，，因为，所以或，又因为函数在轴右侧附近单调递减，所以．故选：D.7.若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，得，即，记，则，对求导得，因为当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，且当时，且，当时，，当时，，则函数的大致图象如图，记，由于有三个不同的零点，所以必有两个不同的零点，记为，当时，有，即，无解；当时，有，即，无解；当时，有，即，解得，所以的取值范围为.故选：B.8.点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗圆与轴相切于焦点，轴，可设，在椭圆上，，解得：，圆的半径为；作轴，垂足为，，，为锐角三角形，，，，即，解得：，即椭圆离心率的取值范围为.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于下列概率统计相关知识，说法正确的是（）A.数据的第75百分位数是6B.若事件的概率满足，则C.由两个分类变量成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断独立D.若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为〖答案〗BD〖解析〗对于A，9个数据从小到大排列，由于，所以第75百分位数应该是第7个数8，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，由，不可判断独立，故C错误；对于D，样本点都在直线，说明是负相关且为线性函数关系，所以相关系数为，故D正确，故选：BD.10.如图，正方体的棱长为4，点是其侧面上的一个动点（含边界），点是线段上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点，使得二面角大小为B.存在点，使得平面与平面平行C.当为棱的中点且时，则点的轨迹长度为D.当为的中点时，四棱锥外接球的表面积为〖答案〗BC〖解析〗对于A，在正方体中，可得平面，因为平面，平面，所以，所以二面角的平面角为，其中，所以A错误；对于B，如图所示，当M为中点，为中点时，在正方体中，可得，因为平面，且平面，所以平面，又因为，且平面，且平面，所以平面，因为，且平面，所以平面平面，所以B正确；对于C，如图所示，取中点，连接，，，在正方体中，平面，且，所以平面，因为平面，可得，则，则点在侧面内运动轨迹是以为圆心、半径为2的劣弧，分别交，于，如图所示，则，结合对称性可知，，则，劣弧的长为，所以C正确；对于D，当为中点时，可得为等腰直角三角形，且平面平面，连接与交于点，可得，所以四棱锥外接球的球心即为与的交点，所以四棱锥外接球的半径为，其外接球的体积为，所以D错误.故选：BC.11.已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（）A. B.为奇函数C.是周期函数 D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A，由对于任意都满足，令，则，所以A正确；对于B，令，可得，即，所以函数关于点对称，所以B错误；对于C，又由为偶函数知关于直线对称，即，可得，则，所以，所以函数的周期为，故C正确；对于D，令，则，可得，所以，所以D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则实数的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗若，则对于任意恒成立，即对于任意恒成立，根据二次函数性质可知，当时，，所以实数的取值范围为.13.已知数列的通项公式为的通项公式为．记数列的前项和为，则______，的最小值为______．〖答案〗〖解析〗由题可知，所以，，令，则，当时，，即，下面用数学归纳法证明：当时，成立，假设时，成立，当时，，即时也成立，所以当时，，即，所以时，，时，，所以当时，有最小值，最小值为.14.设，记为三个数中最大的数，则的最小值_________．〖答案〗2〖解析〗由，①当时，，而，可得至少有一个不小于2,则的最小值为2；②当时，，而，可得至少有一个不小于2，的最小值不小于2.综上，的最小值为2.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角所对的边分别为，设满足条件和．（1）求角和；（2）求．解：（1）由余弦定理得．因为，所以．由已知条件，应用正弦定理，即，所以．（2）因，所以．又，所以，所以．因，所以．16.如图，侧面水平放置的正三棱台，且侧棱长为．（1）求证：平面；（2）求直线和平面所成角的正弦值．（1）证明：延长三条侧棱交于一点，如图所示．由于，则为的中位线．又侧棱长为，所以．所以，所以，同理可得．因为是平面内两条相交直线，所以平面，即平面．（2）解：由（1）可知两两垂直，可以以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示．则．设平面的一个法向量为，由于，所以，即平面的一个法向量为，所以直线和平面所成角的正弦值为．17.黎曼猜想是〖解析〗数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数（为常数）密切相关，请解决下列问题：（1）当时，求在点处的切线方程；（2）当时，证明有唯一极值点．（1）解：当时，，此时，又，所以在点处的切线方程为，即．（2）证明：由题意得，令，，令，可得，依题意得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．又，所以，又因为，所以，存在唯一．当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以存唯一极大值点，且．18.已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上．（1）求的方程；（2）若过点的直线与的左、右两支分别交于两点，与抛物线交于两点，试问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数的值；若不存在，请说明理由．解：（1）设双曲线的半焦距为cc>0，由题意可得，解得，所以的方程为x24（2）假设存在常数满足条件，由（1）知，设直线，联立方程得，消去，整理可得，所以，，．因为直线过点且与左、右两支分别交于，两点，所以两点在轴同侧，所以．此时，即，所以．设，将代入抛物线方程，得，则，所以．所以．故当时，为定值，所以，当时，为定值．19.现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失．设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞间相互独立．设有一个初始的细胞，在第一个周期中开始分裂，其中．（1）设结束后，细胞的数量为，求的分布列和数学期望；（2）设结束后，细胞数量为的概率为．（ⅰ）求；（ⅱ）证明：．（1）解：结束后，的取值可能为，其中，，所以分布列为123