福建省三明市五校2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省三明市五校2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合或，，则集合中元素的个数为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由集合或，可得，又由，可得，所以集合中元素的个数为.故选：B.2.已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依题意，，，由是的充分不必要条件，得集合真包含于集合，所以，即.故选：A.3.若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗易知：是上述原命题的否定形式，故其为真命题，则方程有实数根，即．故选：A．4.已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图像是（）A B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由函数（其中）的图象可得，所以，所以排除BC，因为，所以为增函数，所以排除A.故选：D.5.下列大小关系正确的是（）①②③④A.①② B.③④ C.②③ D.①③〖答案〗C〖解析〗对①，因为指数函数单调递减，所以，①错误；对②，因为指数函数单调递减，所以，又因为幂函数在单调递增，所以，所以，②正确；对③，因为幂函数在单调递增，所以，③正确；对④，因为幂函数在单调递减，所以，即，④错误.故选：C.6.已知函数，当时，的最大值为最小值为，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，设，，，则是上的奇函数，最大值为，最小值为，则有，所以.故选：B.7.已知函数是单调减函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题知在单调递减，所以由在单调递减，得即由在上单调递减，得即综上，实数的取值范围是.故选：D.8.已知，定义：，设.若函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令函数，显然函数上单调递增，而，则当时，，当时，，于是函数，则，令函数，由，得，因此函数的零点，即函数的图象与直线交点的横坐标，当，恒有，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，观察图象知，当，即时，直线与函数的图象只有一个交点，如图，直线过点，它与的图象交于两点，当时，，当，即时，直线与函数的图象只有一个交点，当，即时，直线与函数的图象有两个交点，所以函数有两个零点，实数的取值范围是.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知集合,则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗故正确,错误；又故正确.故选：ABD.10.下列命题正确的是（）A.已知函数的单调递增区间是B.已知，则C.若，则D.是的充要条件〖答案〗BC〖解析〗对于A，函数在上单调递减，函数在R上单调递增，因此函数在上单调递减，A错误；对于B，，因此，B正确；对于C，由，得，C正确；对于D，取，显然满足，而不成立，D错误.故选：BC.11.设是上的奇函数，且对都有，当时，，则下列说法正确的是（）A.在上是增函数 B.的最大值是，最小值是C.直线是函数的一条对称轴 D.当时，〖答案〗ACD〖解析〗因为是上的奇函数，所以，又因为，所以的图像关于直线对称，故C正确；因为即，从而，所以，所以，所以是周期为4的周期函数，又因为当时，单调递增，所以在上也单调递增，从而在上单调递增，又因为的周期为4，所以在上单调递增，故A正确；因为在上单调递增，且的图像关于直线对称，所以在上单调递减，所以在上的最大值为，最小值，故B错误；当时，，所以，因为周期为4，所以，又因为为奇函数，所以，故D正确.故选：ACD.12.已知，且，则（）A.的最小值是 B.的最小值是C.的最小值是 D.的最小值是〖答案〗BC〖解析〗已知，且，则，所以，当且仅当时，等号成立，A选项错误；，当且仅当时，等号成立，B选项正确；因为，所以，当且仅当时，等号成立，C选项正确；由题意可得，此时，因为，而不存在使得，则D选项错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数的定义域是，则函数的定义域是_____________．〖答案〗〖解析〗在函数中，，解得且，所以函数的定义域是.故〖答案〗为：.14.函数在时的值域是______________．〖答案〗〖解析〗当时，，函数，显然当，即时，，当，即时，，所以所求值域是.故〖答案〗为：.15.已知函数为上的偶函数，当时，，则的解集为_________．〖答案〗〖解析〗函数为上的偶函数，当时，，当时，，，①当，即时，，由，时，符合题意；时，有，解得，此时；时，有，解得，此时；所以符合题意.②当，即时，，由，，得，解得，所以.综上所得，的解集为.故〖答案〗为：.16.若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是__________．〖答案〗〖解析〗当时，，在上单调递增，无最小值，舍去；当时，由于，故，令，则，由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增，要想在上存在最小值，则，解得，满足；当时，在上单调递增，令，解得，故在上单调递减，在上单调递增，要想在上存在最小值，则，解得，满足；综上，实数的取值范围为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求值：（1）；（2）．解：（1）原式.（2）原式.18.已知二次函数．（1）若关于的不等式的解集是，求实数，的值；（2）若，，解关于的不等式．解：（1）由不等式的解集是，得和是一元二次方程的两个实数根，且，于是，解得，，所以，.（2），不等式化为，即，当，即时，解不等式，得或；当，即时，不等式的解为；当，即时，解不等式，得或，所以当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.19.已知偶函数定义域为，当时，．（1）求出函数的〖解析〗式；（2）判断函数在区间[0,1)的单调性并用定义法证明.解：（1）偶函数定义域为，当时，，当时，，则，所以函数的〖解析〗式是.（2）当时，，在上是增函数.任取，则，而，，且，则，因此，所以在上是增函数.20.年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响，在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．某公司为了激励业务员的积极性，对业绩在万到万的业务员进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金单位：万元随着业绩值单位：万元的增加而增加，但不超过业绩值的．（1）若某业务员的业绩为万，核定可得万元奖金，若公司用函数（为常数）作为奖励函数模型，则业绩万元的业务员可以得到多少奖励？（2）若采用函数，求的范围．（参考数值：）解：（1）函数模型为常数，当时，，代入解得，即，当时，，当时，，所以业绩万元的业务员可以得到万元奖励．（2）函数模型，因为函数在单调递增，则，，由奖金不超过业绩值的，得，于是对恒成立，令，显然二次函数的图象开口向上且，函数图象的对称轴，则只需，即，解得，因此，所以实数的取值范围是.21.设为实数，函数，．（1）若函数是偶函数，求实数的值；（2）对于函数，在定义域内给定区间，如果存在，满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个“均值点”如函数是上的平均值函数，就是它的均值点．现在（1）的条件下，函数是区间上的平均值函数，求实数的取值范围．解：（1）是偶函数，在上恒成立，即，即，得，，.（2）因为，所以函数是区间上的平均值函数，所以存在，使，而，即存在，使得，即关于的方程在内有解；所以解得，或，∴，解得：.22.已知奇函数，且的图象过点.（1）若，恒成立，求实数的取值范围；（2）是否存在实数，使函数在区间上的最大值为1.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解