东北三省精准教学2025届高三上学期9月联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1东北三省精准教学2025届高三上学期9月联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题可知,,,因此.故选：A.2.已知，则（）A.10 B.20 C.40 D.80〖答案〗C〖解析〗因为(2x+1)5的展开式通项公式为，所以的系数.故选：C.3.已知是无穷数列，，则“对任意的，都有”是“是等差数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗对任意的，都有，令，可以得到，因此是公差为的等差数列；若，则，，，可得，故“对任意的，都有”是“是等差数列”的充分不必要条件.故选：A.4.攒尖式屋顶是中国古代传统建筑的一种屋顶样式，如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知该圆锥的底面直径为，高为，则该屋顶的面积约为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题知，圆锥底面圆半径，高，则母线，因此圆锥的侧面积为.即屋顶的面积为，故选：B.5.已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点满足，，则（）A.3 B.4 C.6 D.8〖答案〗A〖解析〗过分别向轴和准线做垂线,垂足分别为，根据抛物线定义，有，所以.故选：A.6.如图，是函数图象上的一点，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为是函数图象上的一点，所以，由图可知所以，所以，故选：D.7.已知函数，对任意的都有，且，则下列说法不正确的是（）A. B.是奇函数C.是上的增函数 D.〖答案〗C〖解析〗对于A，在中，令，得到，因此，所以选项A正确；对于B，令，得到，即，所以选项B正确；对于C，由可化为，，记，则，不妨取函数，显然符合条件，则，因，当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，故C错误；对于D，令，，得，即，又，所以是首项为1，公差为1的等差数列，，故D正确.故选：C.8.已知直线与直线的交点为P，则点P到直线距离的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗直线，分别过定点，，且互相垂直，所以点P的轨迹是以为直径的圆（不含点），这个圆的圆心坐标为，半径为.圆心到直线l距离为，因此圆上的点到直线l距离最大值为，最小为，取得最小值时圆上点的坐标是，因此取值范围是.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，则下列判断正确的是（）A. B.C D.〖答案〗ACD〖解析〗根据向量的坐标运算，，，所以选项ACD正确.故选：ACD.10.现统计具有线性相关关系变量X，Y，Z的n组数据，如下表所示：变量123…n平均数方差X…Y…Z…并对它们进行相关性分析，得到，Z与的相关系数是，，Z与Y的相关系数是，则下列判断正确的是（）附：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，相关系数.A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由已知得到选项AC正确,相关系数相等所以，D正确，由方差性质可得，B错误.故选：ACD.11.如图，直四棱柱中，底面是菱形，其所在平面为，且，.O是，的交点，P是平面内的动点（图中未画出）.则下列说法正确的是（）A.若，则动点P的轨迹长度为B.若，则动点P的轨迹是一条直线C.若，则动点P轨迹是一条直线D.若动点到直线的距离为1，则为定值〖答案〗BCD〖解析〗对于选项A，因为，，故，故点的轨迹是以C为圆心，半径为的圆，其轨迹长度，所以选项A错误；对于选项B，因，故总成立，故点的轨迹是过点且垂直的平面与的交线，所以选项B正确；对于选项C，因为，故点的轨迹是过的中点且垂直的平面与的交线，所以选项C正确；对于选项D，因为空间中到直线的距离为1的点的轨迹是一个以为轴的圆柱面，因此点P的轨迹是一个以O为中心的椭圆，短半轴长为1，长半轴长a满足，从而半焦距，而底面为菱形，且，故，因此点A，C为该椭圆的焦点，，所以选项D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数的实部为，且为纯虚数，则复数___________.〖答案〗〖解析〗由题设，（，），则，所以，，故.13.已知双曲线，点N的坐标为，其中，存在过点N的直线与双曲线C相交于A，B两点，且点N为弦的中点，则点N的坐标是___________.（写出一个符合条件的〖答案〗即可）〖答案〗（或，）〖解析〗法一：设，，则，，两式相减得到，又，，因此，所以直线的方程为，与双曲线联立得，即，因此，整理后得到.所以点N的坐标可以为，，.故〖答案〗为：（或，）法二：由题意易知，双曲线的渐近线为，因为，所以在双曲线靠原点的一侧，又因为点N为弦的中点，故A，B一定位于双曲线的两支上，所以，即.所以点N的坐标可以为，，.14.已知且时，不等式恒成立，则正数m的取值范围是___________.〖答案〗〖解析〗将a视为主元，设，则，当且仅当时取等号，故当时，恒成立.设，则，易知单调递增，且，①若，即时，则，所以在单调递增，故只需，即，解得；②若，即时，，即时，恒成立.综上，m的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）当时，求函数的单调递减区间；（2）若是函数的极小值点，求实数a的取值范围.解：（1）当时，，，由解得，所以函数的单调递减区间为.（2），时，或.①若，当或时，，当时，，因此时，函数取极小值；②若，当或时，，因此不是函数的极值点；③若，当或时，，当时，，因此时，函数取极大值.综上，a的取值范围是.16.某市为了解车主用车的能源类型与对该市交通拥堵感受的关系，共调查了100名车主，并得到如下的列联表：觉得交通拥堵觉得交通不拥堵合计燃油车车主302050新能源车车主252550合计5545100（1）将频率估计为概率，从该市燃油车和新能源车车主中随机抽取1名，记“抽取到燃油车车主”为事件，“抽取到新能源车车主”为事件，“抽取到的车主觉得交通拥堵”为事件，“抽取到的车主觉得交通不拥堵”为事件，计算，，比较它们的大小，并说明其意义；（2）是否有的把握认为该市车主用车的能源类型与对该市交通拥堵的感受有关？将分析结果与（1）中结论进行比较，并作出解释.附表及公式：0.1000.0100.0012.7066.63510.828，.解：（1）由题意得，，，说明从抽样情况来看，燃油车车主觉得交通拥堵的比例比新能源车车主觉得交通拥堵的比例更高（2），因此没有的把握认为该市车主用车的能源类型与是否觉得该市交通拥堵有关，说明调查人数太少，（1）中的结论不具有说服力，需要调查更多车主.17.如图，已知斜三棱柱中，侧面侧面，侧面是矩形，侧面是菱形，，，点E是棱的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.（1）证明：因为侧面是矩形，所以，又因为侧面侧面，平面平面，所以平面，因为平面，所以.菱形中，，所以是等边三角形，又E是的中点，所以，得，又，，平面，所以平面.（2）解：由（1），如图，以B为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.因为，所以，因此，，，，所以，，，设平面的法向量为m=x由，得，由，得，令，得，设平面的法向量为n=x由，得，由，得，令，得，.所以二面角的余弦值为.18.已知直线经过椭圆的右焦点F且被椭圆C截得的弦长为.（1）求椭圆C的方程；（2）若过点的动直线m与椭圆C相交于A，B两点，且直线l上的点M满足，求证：直线过定点，并求该定点的坐标.（1）解：由题意得，将代入椭圆方程，可以求到两交点坐标为，所以，因此，解得或（舍去），，即椭圆方程为.（2）证明：当直线m的斜率为0时，直线的方程为，此时；当直线m的斜率不为0时，可设直线m的方程为，代入椭圆方程，得到，由，得到或，因此A，B点不在直线l上，设点Ax1,则，，则，因为，所以，所以直线的方程为，令，得到，所以，综上，直线过定点.