安徽省江淮十校2025届高三第一次联考（一模）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省江淮十校2025届高三第一次联考（一模）数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由得，得，则，，故选：B.2.设，其中i为虚数单位．则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗因为，所以．令，解得或，故“”是“”的充分不必要条件．故选：A.3.若，则大小关系是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，而，且．所以，故．故选：D.4.已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，与的夹角为，所以，则，所以在上的投影向量为．故选：B.5.定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（）A.函数的周期为2B.函数的图象关于对称C.函数为偶函数D.函数的图象关于对称〖答案〗C〖解析〗由题意可知，fx+4=-f则函数的周期为4．A选项错误；又，即函数的图象关于对称，也关于1,0对称，则的图象不关于对称，B错误；若关于对称，已知图象关于对称，则函数周期为2矛盾，D错误．对于C，为偶函数，则，可知，故C正确．故选：C.6.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设的外接圆的半径为，因为，由余弦定理得，所以，则，故，记的外心为，连接，则取的中点，连接，则，又因为，可得，因为，且平面,平面，所以平面,平面，又因为平面,平面，所以，因为且平面，所以面，可得由题意可得外接球的球心在上，设外接球的半径为，可得，解得，即，所以球的表面积为．故选：A.7.已知函数，若不等式的解集中佮有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗函数的定义域为，不等式化为：．令，，，故函数在上单调递增，在上单调递减．当时，gx>0，当时，gx当时，gx<0当时，，当，且时，，画出及hx的大致图象如下，因为不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，故正整数解为．故，即．故.故选：C.8.抛物线的焦点为，准线与轴的交点为．过点作直线与抛物线交于两点，其中点A在点B的右边．若的面积为，则等于（）A. B.1 C.2 D.〖答案〗D〖解析〗由题可知，，直线斜率必存在，且，由对称性不妨设，则A和B在第一象限，因为，所以，过作轴交于点，则，即，又点在上，所以即，代入得，整理得，即，所以或，此时或，因为A和B在第一象限，所以，故，所以，所以即.故选：D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.给出下列命题，其中正确命题为（）A.已知数据，满足：，若去掉后组成一组新数据，则新数据方差为21B.随机变量服从正态分布，若，则C.一组数据的线性回归方程为，若，则D.对于独立性检验，随机变量的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小〖答案〗ABD〖解析〗对于A选项，去掉后的平均数为，方差为故A选项正确；对于B选项，由于随机变量服从正态分布，则，关于1对称，则故B选项正确；对于C选项，因为，所以，又因为回归方程为，所以，所以，故C选项错误；对于D选项，对于独立性检验，随机变量的值越大，则两变量有关系的程度的错误率更低，故越大，判定“两变量有关系”的错误率更低，D选项正确．故选:ABD.10.函数部分图象如图所示，其中，图象向右平移个单位后得到函数y=gx的图象，且y=gx在上单调递减，则下列说正确的是（）A.B.为图象的一条对称轴C.可以等于5D.的最小值为2〖答案〗BD〖解析〗由函数图象，可得，所以，所以，解得，又由函数的图象过点，且，当时，可得，所以，解得，因为，可得；当时，可得，所以，解得，因为，不存在，舍去，综上可得，，，所以，所以A不正确，B正确；又因为，所以是函数的一条对称轴，所以B正确；将函数的图象向右平移个单位后，得到，因为在上单调递减，则满足．解得，当时，，而，故不可能等于5，所以C错误．当时，，又因为，所以，所以D正确．故选：BD.11.已知双曲线的左、右焦点分别为．过的直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限．的内心为与轴的交点为，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，则下列说法正确的有（）A.若双曲线渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为2或B.若，且，则双曲线的离心率为C.若，则的取值范围是D.若直线的斜率为，则双曲线的离心率为〖答案〗ABD〖解析〗对于A，双曲线渐近线的夹角为，则或者故或．对于B，设，则．故，解得．又，故．对于C，令圆切分别为点，则，，令点，而，因此，解得，又，则点横坐标为，同理点横坐标为，即直线的方程为，设直线的倾斜角为，那么，，在中，在中，，渐近线的斜率为．因为均在右支上，故．如图所求，．对于D，，故，而，，故，由余弦定理可知，故．故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则______．〖答案〗或〖解析〗，当,当.故〖答案〗为：或13.13.现有4个相同的袋子，里面均装有4个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球．现将这4个袋子混合后，任选其中一个袋子，并且连续取出三个球（每个取后不放回），则第三次取出的球为白球的概率为______．〖答案〗〖解析〗由题意，设“取出第个袋子，其中”，“从袋子中连续取出三个球，第三次取出的球为白球”，则，且两两互斥．，所以，所以，．14.以表示数集中最小的数．函数的最大值是______．〖答案〗〖解析〗．令，则．而．令，其中，则由，可知,令，得，即在上为增函数，在上为减函数．故，即，当且仅当，即时等号成立．故的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，已知在中，内角所对的边分别为，且．（1）求的值；（2）若为边上一点，且，求的长．解：（1）由题意知，，故．又，故，而，则．（2）中，，故．，故故．16.如图，在四棱锥中，，，平面平面为中点．（1）求证：平面；（2）点在棱上，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：由题意：，同理，又．而，即又平面平面，平面平面平面，平面平面，又，且面面平面．（2）解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，有，取面的一个法向量，则，故．令n=x,y,z是平面的一个法向量，则，即令，有，则，故平面与平面夹角的余弦值为．17.椭圆的上顶点为，圆在椭圆内．（1）求的取值范围；（2）过点作圆的两条切线，切点为，切线与椭圆的另一个交点为，切线与椭圆的另一个交点为．是否存在圆，使得直线与之相切，若存在求出圆的方程，若不存在，说明理由．解：（1）设为椭圆上任意一点，，则．则．故．（2）由题意可知，设，因为，故切线的斜率都存在．又直线的方程为，即为，直线的方程为．则，故．而，故，又因为．故，同理．故直线的方程为．若直线与圆相切，则，令．故，即．故，或．故存在满足条件的圆，其方程为．18.南昌地铁1号线在2015年12月26日正式通车运营，共24站.第1站为双港站，第24站是瑶湖西站.如果乘客乘坐从第1站开往第24站的地铁，则称他为正向乘车，否则称他为反向乘车.假设每隔5分钟，在1号线上的任何一个站点（除去第1站和第24站），乘客可以正向乘车，也可以反向乘车.在五一劳动节的5天假期期间，张爸爸带着大张和小张一起去南昌旅游.他们约定每天由一人统一管理三人的手机，相邻两天管理手机的人不相同.若某天是张爸爸管理手机，则下一天有的概率是大张管理手机；若某天是大张或小张管理手机，则下一天有的概率是张爸爸管理手机，第一天由张爸爸管理手机.（1）记这5天中，张爸爸保存手机的天数为X，求X的分布列及期望．（2）在张爸爸管理手机的某天，三人在第13站八一广场站下地铁后，失去了联系.张爸爸决定按照事先安排，独自前往景点.大张和小张都决定乘坐地铁，每到一个站点，下车寻找对方.只要他们出现在同一个站点，就会寻找到对方，然后一起前往景点，和张爸爸汇合，如果没有寻找到对方，则他们继续乘车寻找.大张和小张正向乘车、反向乘车的概率均为.求在25分钟内（包含25分钟），他们寻找到对方的概率.解：（1）由题意知，随机变量的取值为，可得；当时，张爸爸管理手机的情况分为：在第3天、第4天、第5天三种情况．若在第3天管理手机，不同的手机管理方法有4种，其概率为；若在第4天管理手机，不同的手机管理方法有4种，其概率为；若在第5天管理手机，不同的手机管理方法有2种，其概率为；所以．当时，张爸爸管理手机的情况为：第3天和第5天，此时，不同的手机管理方法有4种，可得故．所以随机变量的分布列为123所以随机变量的期望为．（2）由题意知，大张和小张有的概率乘车的方向相同，当大张和小张都乘车寻找对方时，可以视为大张在第13站不乘车，在某个站点，小张以的概率不乘车，以的概率正向乘车两站，以的概率反向乘车两站，现求小张在五步内，第一次回到起点的概率，若小张经过一步，第一次回到起点，相当于小第在第一步选择了停留，其概率为，若小张经过两步，第一次回到起点，其概率为；若小张经过三步，第一次回到起点，则只能在第2步时停留，其概率为；若小张经过四步，第一次回到起点，则小张有2种选择，每站都不停留；或者停留2次，且只能在第2步和第3步停留，其概率为；若小张经过五步，第一次回到起点，则小张有2种选择，停留1次，且只能在第2步或第3步或第4步停留；停留3次，且只能在第2步、第3步、第4步停留，其概率为，故满足条件的概率为．19.在微积分中，泰勒展开是一种常用的分析方法.若在包含的某个开区间中具有阶导数，设表示的阶导数.则对有.其中，是位于与之间的某个值，它称为阶泰勒余项.叫做在处的阶泰勒多项式.（1）求在处的1阶泰勒多项式和2阶泰勒多项式，并证明：当时，；（2）整数.定义数列.设e为自然对数的底数