2024-2025学年广东省清远市清城区九年级（上）开学数学试卷+答案解析

2024-2025学年广东省清远市清城区九年级（上）开学数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.

2.老师在黑板上写了下列式子：①7-121；②—2<0；③。3；④，+2；⑤，—尹=0；@x+2y^0.

你认为其中是不等式的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

3.在平面直角坐标系中,将点4（1,-2）向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点4。则

点A的坐标是（）

A.（-5,-3）B.(-3,-5)(3,-5)D.(5,-3)

4.若分式已1有意义,

则x满足的条件是（)

x-2

A.x—2B.re7^2/排±2D.x>2

5.下列从左到右的变形哪个是分解因式（)

A.10/_5x_1=5c(2/-1)-1B.32+3y=dxy

C.—ci+6=—(b—a)D.x2—8a:+16=(a?—4)2

6.如图，在口/BCD中，。E平分/4D。，AD=6.3E=2,则CD的长是（

A.2

B.3

C.4

D.5

7.如图，在△48。中，AB=AC,ABAC=120°,。是8c的中点,

OELAB于点E,若石4=2，则_8石=（）

A.3B.4C.6D.8

8.下列不能判定四边形是平行四边形的条件是（）D

第1页，共19页

B

A.ZA=ZC.ZB=ZD

B.AB//CD,AD//BC

C.AB//CD,AD=BC

D.AB=CD，AD=BC

9.如图，在△48。中，NC=90°,点£是NC上的点，且/1=/2,垂直

平分垂足是D,如果EC=3cm，则/E等于（）

A.3cmB.4cmC.6cmD.9cm

10.一次函数见=丘£+6与92=力+。的图象如图，则下列结论

®k>0;®a>0；③b>0；④当/<3时，ko；+b>c+a中，正

确的是（）

A.③④

B.①②

C.①③

D.②④

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.不等式组］:>7的解集是____.

IoX>0

7,-I-THT

12.若关于x的分式方程匕万—4=-1无解，则用的值是____.

x—22—x

13.分解因式：x5y2-x3y2=.

14.如图，在口48CD中，的平分线交4D于点E,的平分线交

ZD于点尸，若4B=3,AD=4,则昉的长是.

15.如图，在△AB。中，AB=BC，将△48。绕点2顺时针旋转a

度，得到△AiBCi,4归交/C于点E,4Qi分别交/C,8c于点D,

第2页，共19页

F,下列结论：①NCDF=a，②&iE=CP，③DF=FC，④AD=CE，⑤4F=CE其中正确的

是（写出正确结论的序号）.

三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题8分）

X—3（/—2）24

1+2c.

{1

17.（本小题8分）

2

先化简再求值：（x+3-7-?r——S竺r，再从2WcW4中选一个适合的整数代入求值.

a:—3x—3

18.（本小题8分）

如图，（W平分/POQ,MAWP，AfBLOQ,4,2为垂足，A3交（W于点N.求证：AOAB=AOBA.

19.（本小题9分）

如图，在△•46。中，AB=4cm,AC=6cm.

（1）作图：作边的垂直平分线分别交与NC,3C于点。，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作

法）；

（2）在（1）的条件下，连结2。，求△AB0的周长.

20.（本小题9分）

如图，△48。三个顶点的坐标分别为A。/），3（4,2）,C（3,4）.

（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△48iQ；

第3页，共19页

(2)请画出△AB。关于原点。成中心对称的图形44232c2；

⑶在x轴上找一点尸，使P4+PB的值最小，请直接写出点P的坐标.

J--」与j—

21.(本小题9分)

媛媛爸爸销售工、2两种品牌的衣服，8月份第一周售出/品牌衣服3件和2品牌衣服4件，销售额为1000

元，第二周售出N品牌衣服17件和3品牌衣服8件，销售额为4200元.

(1)求/、2两种品牌衣服的售价各是多少元？

(2)已知8月份/品牌衣服和8品牌衣服的销售量分别为1000件、500件，9月份是衣服销售的旺季，为拓

展市场、薄利多销,媛媛爸爸决定9月份将/品牌衣服和B品牌衣服的销售价格在8月份的础上分别降低m%«

|m%,9月份的销售量比8月份的销售量分别增长300件、100件.若9月份的销售额不低于233000元，求

m的最大值.

22.(本小题12分)

如图，在四边形48C。中，AD//BC,延长3C到£,使=连接交CD于点尸，点尸是CO

的中点.

求证：

(l)AADF2AECF.

(2)四边形ABCD是平行四边形.

第4页，共19页

23.(本小题12分)

如图1,已知中，AB=BC，=2,把一块含30°角的三角板。斯的直角顶点。放在/C

的中点上(直角三角板的短直角边为DE,长直角边为0F),点C在。£上，点2在。尸上.

(1)求重叠部分△B。。的面积；

(2)如图2,将直角三角板。即绕。点按顺时针方向旋转30度，DE交BC于点、M,DF交AB于点、N,①请

说明。M=ON;②在此条件下重叠部分的面积会发生变化吗？若发生变化，请求出重叠部分的面积，若

不发生变化，请说明理由；

(3)如图3,将直角三角板。跖绕。点按顺时针方向旋转a度(0<a<90),DE交BC于点、M,DF交AB

于点N,则。刊=ON的结论仍成立吗？重叠部分TN的面积会变吗？(请直接写出结论不需说明理

由)

第5页，共19页

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：A,此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

2、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；

C、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；

此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误.

故选：B.

根据中心对称图形的定义：旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形；轴对称图形的定义：如

果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对

称轴，即可判断出答案.

本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念即可，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，

所以：①7—1)1；②一2<0；③的©；⑥x+24(0.为不等式，共有4个.

故选：C.

主要依据不等式的定义一--用“>"、“》"、“<”、"W"、«等不等号表示不相等关系的式子是

不等式来判断.

本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式.解答此类题关键是要识别

常见不等号：六

3.【答案】C

【解析】解：将点力。,一2)向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点若。则点A的坐标

是(1+2,—2—3),即4(3,—5).

故选：C.

利用点平移的坐标规律，把/点的横坐标加2,纵坐标减3即可得到点A的坐标.

此题主要考查坐标与图形变化-平移，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键.

4.【答案】B

【解析】解：根据题意得：x-2^0,

办2,

第6页，共19页

故选：B.

分式有意义的条件是分母不等于0.

本题考查了分式有意义的条件，根据分母不等于0列出不等式是解题的关键.

5.【答案】D

【解析】解：/、没把一个多项式化成几个整式乘积的形式，故/错误；

B、是整式的加法，且3x,3y不是同类项，不能合并，故8错误；

C、是整式的添括号，且运算本身错误，故C错误；

。、把一个多项式化成几个整式乘积的形式，故。正确；

故选：D.

因式分解是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，注意区分因式分解与整式乘法的区别.根据因式分解

是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，可得答案.

本题考查了因式分解的意义，理解因式分解的意义是关键.

6.【答案】C

【解析】解：•.•四边形N2CD是平行四边形，

：,AB=CD,AD=BC=6,AD//BC,

:"ADE=/DEC，

平分NAD。，

：.ZADE=ZCDE,

:"CDE=NDEC，

:.CE=DC，

•.-BC=6-BE=2,

，。。=。石=6-2=4,

故选：C.

根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC=6,根据平行线性质求出AADE=ADEC，

根据角平分线定义求出NAOE=NODE,推出/COE=NOE。，推出求出CD即可.

本题考查了平行四边形的性质，角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定的应用，解此题

的关键是求出CA的长，注意：平行四边形的对边平行且相等，难度适中.

7.【答案】C

【解析】解：•.•在△ABC中，AB=AC^120°，。是8C的中点，

：.AD±BC>NB=NC=30°，

第7页，共19页

.•.ZADC=90%

•.•。石，48于点£,EA=2,

，NOE4=90°，/DEB=90°，

：,ABAD=60°，AEDA=30°>

：,AD=2AE=4：,

AB=2AD=8)

：,BE=AB-AE^8-2=6,

故选：C.

根据在△43。中，AB=AC^/BA。=120°，。是BC的中点，DE上AB于点E,EA=2,可以求得

ADIBC>/8=/C，以及/8和/C的度数，从而可以求得43的长，从而可以求得BE的长，本

题得以解决.

本题考查含30度角的直角三角形和等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

8.【答案】C

【解析】解：/、•.•/4=/。，乙B二LD,

,四边形N3CD是平行四边形，故本选项不符合题意；

B、-.-AB//CD,AD//BC,

二,四边形/BCD是平行四边形，故本选项不符合题意；

C,-.-AB//CD,AD=BC,

二四边形N3CD可能是等腰梯形，故本选项符合题意；

D、•：AB=CD,AD=BC，

二四边形N3CD是平行四边形，故本选项不符合题意.

故选：C.

根据平行四边形的判定定理和平行线的性质判断即可.

本题考查了平行四边形的判定定理和平行线的性质，判定一个四边形是平行四边形的方法有：①有一组对

边平行且相等的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别

相等的四边形是平行四边形，④有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形

是平行四边形.

9.【答案】C

【解析】解：垂直平分

：.AE=BE,

第8页，共19页

Z2=ZA，

•.-Zl=N2,

/.A=Zl=Z2，

•.-ZC=90°，

ZA=Zl=Z2=30°，

•.-Zl=Z2，EDLAB,"=90°，

：,CE=DE=3cm,

在RtzXADE中，/ADE=90°，/4=30°，

AE=2DE=6cm<

故选：C.

求出J4E=_BE,推出NA=/I=N2=30°,求出_DE=CE=3cm■,根据含30度角的直角二角形性质求

出即可.

本题考查了垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形性质，含30度角的直角三角形性质的应用，关键

是求出Z4=30°和得出DE的长.

10.【答案】A

【解析】解：•.•一次函数见=+6经过第一、二、三象限，

.-,k<Q,b>0,所以①错误，③正确；

•.•直线&的图象与了轴的交点在x轴下方，

.-.a<0,所以②错误；

当2<3时，沙1>。2,即+6>立+a所以④正确.

故选：A.

根据一次函数的性质对①②③进行判断;利用函数图象，当/<3时，一次函数以=for+b在直线於=x+a

的上方，则可对④进行判断.

本题考查了一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键要明确：一次函数与一元一次不等式的关系从函

数的角度看，就是寻求使一次函数?/=卜2+匕的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角

度看，就是确定直线沙=卜2+匕在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.

11.【答案】x>4

2z—1>7①

【解析】解:

3x>6②

由①得：x>4,

第9页，共19页

由②得：x>2,

不等式组的解集为：x>4.

故答案为：x>4.

首先分别计算出两个不等式的解集，再根据大大取大确定不等式组的解集.

此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间

找；大大小小找不到.

12.【答案】—4

3x+m-2

即---------二0,

x—2

71-I-7777,

由方程二K—一=—1无解，则3x2+m—2=0,

x—22—x

解得：m=-4,

2T-I-TD

方程」^=—1,即2/+加=力一2,

x—2

当方程有增根时，力=2,止匕时2x2+m=2—2,

解得：6=一4,

综上，m=-4,

故答案为：一4.

化简方程可得过士?=一1，结合题意可知3x2+m-2=0,由此得到〃?的值.

本题考查分式方程的求解及增根问题，掌握解分式方程是解题关键.

13.【答案】x3y2(x+l)(x-1)

【解析】解：x5y2-x3y2

=岛2(/—])

=x3y2(x+1)(/—1),

故答案为：x3y2(x+l)(a?—1).

直接提取公因式川力，再利用平方差公式分解因式即可.

本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如

果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解.

14.【答案】2

第10页，共19页

【解析】解：1•四边形/BCD是平行四边形，

：.AD//CB,AB=CD=3,AD=BC=4,

：.ADFC=AFCB,

又：CF平分/BCD,

：,ADCF=AFCB,

：,ADFC=ADCF，

：,DF=DC=3,

同理可证：AE=AB=3,

AF=DE

•/AD=4,

AF=4—3=1,

/.EF=4—1—1=2.

故答案为：2.

根据平行四边形的性质证明。F=。。，AE=AB，进而可得/尸和即的长，然后可得答案.

本题主要考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用

等腰三角形的性质解题.

15.【答案】①②⑤

【解析】解：①/。=/。1（旋转后所得三角形与原三角形完全相等）

又：ADFC=NBFG（对顶角相等）

："CDF=NCiBF=a,故结论①正确；

②？AB=BC，A-"：：''/：■■■■y-C,

：,N4=NC,

:.AAX=AC,

在△AiBF和△CBE中

ZAi=AC

ArB=CB

Z.AXBF=ZCBE

...△ApBF之△CBE(ASA),

:,BF=BE,

：.AXB-BE=BC-BF,

第H页，共19页

：.AiE=CF,故②正确；

③在三角形DFC中，N。与不一定相等，所以。尸与尸C不一定相等，

故结论③不一定正确；

④•.•4E不一定等于CD,

40不一定等于CE,

故④错误.

@ZAi=ZC,BC=AiB,NAiBF=NCBE

/XAiBF^/\CBE{ASA）

那么ArF=CE.

故结论⑤正确.

故答案为：①②⑤.

①两个不同的三角形中有两个角相等，那么第三个角也相等；

②根据ASA进而得出博加0/\CBE,即可得出AXE=CF；

③NCDF=a，而NO与顺时针旋转的度数不一定相等，所以。尸与FC不一定相等；

@AE不一定等于CD,则AD不一定等于CE,

⑤用角角边证明△/iBFgACBE后可得AiF=CE.

此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质.此题难度适中，注意掌握旋转

前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用.

16.【答案】解：由z—3（2—2）》4,得：7<1,

由—L得：x>4,

则不等式组无解.

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找

不到确定不等式组的解集.

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大

小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

丁2-o7T—3

17.【答案】解：原式=（一9—-（八

\力一3x-32x{x-4）

x2—16力一3

力一32力（力—4）

（1—4）（优+4）x—3

力一32x{x—4）

第12页，共19页

①+4

2x

在24/<4中，整数x有2、3、4,

由题意得：a#3，4,

:.x=2<

当十=2时，原式9=J号-4=1R

【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定X的值，代入计算即可.

本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式的混合运算法则.

18.【答案】证明：:OM平分/POQ,MA1OP，MB1OQ,

：.AM=BM.

在Rt/XAOM和中，（?以

Iyiyvz—IDjvi

：,OA^OB,

：,AOAB=AOBA.

【解析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得=然后利用“HL”证明RtA4O&T和

Rtz^BOM全等，根据全等三角形对应边相等可得。4=。8,再根据等边对等角的性质即可得证.

本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质，

熟记性质是解题的关键.

(2)如图2,

第13页，共19页

・「DE是8C边的垂直平分线，

：,BD=DC,

-：AB=4：cm<AC=Qcm.

：,△AB0的周长=AB+BD+AD=AB+AC=4+6=10cm.

【解析】（1）运用作垂直平分线的方法作图，

⑵运用垂直平分线的性质得出BD=DC，利用△ARD的周长=AB++4。=AB+4。即可求解.

本题主要考查了作图-复杂作图及垂直平分线的性质，解题的关键是熟记作垂直平分线的方法.

20.【答案】解：（1）如图1所示：

（2）如图2所示:

第14页，共19页

»x;

⑶找出N的关于x轴的对称点4(1,—1),

连接BA，与x轴交点即为点P；

如图3所示：点尸坐标为(2,0).

【解析】本题考查了利用平移变换作图、旋转变换作图(关于原点成中心对称的点的坐标特征)、轴对称-

最短路线问题有关知识.

(1)根据网格结构找出点/、2、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；

(2)找出点/、B,。关于原点。的对称点的位置，然后顺次连接即可；

(3)找出点/的关于x轴的对称点连接BA，与x轴交点即为点P.

21.【答案】解：(1)设/品牌的保暖衣服售价为x元/件，8品牌的保暖衣服售价为y元/件,

根据题意得：｛-XV黑,

解得:｛；湍

经检验：符合题意，

答：/、8两种品牌保暖衣服的售价各是200元和100元;

第15页，共19页

(2)由题意得，9月份/品牌保暖衣服销售量为1000+300=1300(件)，

B品牌保暖衣服的销售量为500+100=600(件)，

则1300x200(1-m%)+600x100(1-1m%)2233000,

解得：6430,

即:m的最大值为30.

【解析】(1)根据“/品牌保暖衣服3件和8品牌保暖衣服4件，销售额为1000元，第二周售出/品牌保暖

衣服17件和B品牌保暖衣服8件，销售额为4200元”建立方程组求解即可得出结论；

(2)先确定出9月份两种品牌的保暖衣服的单价和销售量，最后用“9月份的销售额不低于233000元，”建

立不等式求解即可得出结论.

此题主要考查了一元一次不等式和二元一次方程组的应用，审题题意，找出相等关系和不等关系是解本题

的关键.

22.【答案】证明：⑴

:.NDAF=NE,

•.•点尸是CD的中点，

：,DF=CF,

在△4DF与△EOF中，

'ADAF=ZE

<ZAFD=AEFC,

DF=CF

/\ADF^/\ECF{AAS)；

(2)^ADF^/XECF,

：,AD^EC,

-：CE=BC，

：,AD=BC,

-：AD//BC,

四边形/BCD是平行四边形.

【解析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质有关知识.

⑴根据平行线的性质得到NZMF=NE,根据线段中点的定义得到。F=。F，根据全等三角形的判定定

理即可得到结论；

第16页，共19页

(2)根据全等三角形的性质得到4。=EC，等量代换得到4。=8。，根据平行四边形的判定定理即可得

到结论.

23.【答案】解：(1)依题意，点3在。咒上.

在中，ZABC=90°>

-：AB=BC,AC=2,。为NC的中点，

CD=AD=BD=—AC=1,

则