广东省汕头市潮南区2025届高三年级上册摸底考试数学试题（含答案）

广东省汕头市潮南区2025届高三上学期摸底考试数学试题

一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共55分。

1.设集合a={1,3},B=（x\x2-3x+m=0],若2nB={1},则集合8=（）

A.{1,-2}B.{1,2}C.{1,0}D.{1,5}

2.设复数z在复平面内对应的点为则作的模为（）

A.1B.2dD.0

3.|a|=6,"为单位向量，当江，"的夹角为135。时，向量1在向量之上的投影向量为（）

A,V2eB.一#eC.3V2eD.-3巡？

4.双曲线C:冷a=l（a>0,b>0）的一条渐近线为y=3,则C的离心率为（）

A.A/2B.A/3C.2D.4

5.已知数列an=:二标需。€N*）,则数列{册}的前100项中的最小项和最大项分别是（）

A.。100B.。45，。44C.。45，D.。44，。100

6.已知三棱锥P—ABC中，AP=AC=BP=BC=2^,AB=PC=2@,则其外接球表面积为（）

A.mB.8mnC.8兀D.247r

7.已知函数g。）的图象与人吗=/_„|久的图象关于点（1,1）对称，且。（久）的图象与直线y=4%-6相切，则

实数机=（）

A.2B.-1C.-4D.4

8.如图为一款3*3电子触控灯面板，每个方格中的灯只有“亮”与“不亮”两种状态，触摸灯一次，将导

致自身和所有相邻的灯状态发生改变.例如，在面板灯全不亮状态下，触摸E号灯时，E号灯亮起，周围的

B、D、F、”号灯也发亮，其他号灯仍保持“不亮”状态.如果在面板灯都“不亮”状态下，只要4号灯

亮，则需要触摸面板灯最少次数为（）

ABC

DEF

GHI

A.5B.7C.1D.9

9.某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的

分数转换区间为[30,100],若等级分X〜N（80,25）,贝|（）参考数据：P^-a<X<fi+（r）=0.6827；P

（〃一2。<X<〃+2a）=0.9545；P（〃-3。<%<//+3。）=0.9973

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A.这次考试等级分的标准差为5

B.这次考试等级分超过80分的约有45人

C.这次考试等级分在［70,80］内的人数约为48人

D.P(65<X<75)=0.1573

10.函数/(x)=2sin®久+")(3>0,\(p\<兀)图象上相邻的最高点与最低点的横坐标相差方，/(%)的一条对

称轴％=苫，且/9)>/(1)，下列叙述正确的是()

A,函数/(%)的解析式为/'(%)=2sin(2x+§

B.f(x)的一个对称中心修,0),且在，，图上单调递减

C./(久)向左平移看个单位得到的图象关于y轴对称且/(0)<0

D.对任意xe后引，a>聂(幻—cos2久恒成立时，满足条件的a值可为1

11.已知曲线C上点满足：到定点(1,0)与定直线y轴的距离的差为定值小，其中41，42分别为曲线c上的两

点，且点4恒在点①的右侧，选项正确的为()

A.若则曲线C的图像为一条抛物线

B.若爪=1,则曲线C的方程为y2=4x(x>0)

C.当m>1时，对于任意的4(久i，yo)和42。2，丫0)，都有Wil<%1

D.当m<-1时，对于任意的4i(xi,yo)和42(%2,、0)，都有必|<|久2］

二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若3sina—sin0=1,a+0=5,则sina=.

13.已知函数/(*)的定义域为R,数列｛an｝满足斯=/0),已知两个条件：①函数/(%)在［1,+8)是减函

数；②是递减数列.写出一个满足①和②的函数八久)解析式：；写出一个满足②但不满足①的

函数/'(%)解析式：.

14.某填空题有两小问，按目前掌握信息：十个人中有四人能够答对第一问；在第一问答错情况下，第二

问答对的概率仅为0.05；第一问答对的情况下，第二问答错的概率为0.7.用频率估计概率，选择有效信息

估计该题两小问均答错的概率：.

三、解答题：本题共5小题，每小题12分，共60分。

15.在五边形2BCDE中，乙BCD=^BAE=冬，乙CBD=今cos4DBE=|,CD=2m，DE=8.

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(1)求BE的长度；

(2)求三角形力BE周长的最大值为多少？

16.已知椭圆噂+\=l(a>b>0)的左、右顶点分别为4B,点(1,|)在该椭圆上，且该椭圆的右焦点F

(2)如图，过点F且斜率为k的直线I与椭圆交于M,N两点，记直线2M的斜率为的，直线BN的斜率为矽，求

证：的=京2.

17.多面体E-4BCD的底面为梯形，AB//CD,AB=2CD=2也，EA=ED=BC,乙BCD=2乙CBD=9

0°,且四边形BDEN为矩形，点P为线段EN上一点(异于点E、N).

(1)若点P为线段EN中点，求证：CP〃平面ZME；

(2)是否存在点P,使直线BE与平面24。所成的角的正弦值为坐？若存在，求出P|；若不存在，请说明理

由.

18.为提高我国公民整体健康水平，2022年1月，由国家卫生健康委疾控局指导、中国疾病预防控制中心和

国家体育总局体育科学研究所牵头组织编制的《中国人群身体活动指南(2021)》(以下简称《指南》)正式

发布.《指南》建议18-64岁的成年人每周进行150-300分钟中等强度或75-150分钟高强度的有氧运动(以

下简称为“达标成年人”).经过两年的宣传，某体育健康机构为制作一期《达标成年人》的纪录片，采取

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街头采访的方式进行拍摄，当采访到第二位“达标成年人”时，停止当天采访■记采访的18-64岁的市民数

为随机变量X(X22),且该市随机抽取的18-64岁的市民是达标成年人的概率为看抽查结果相互独立.

(1)求某天采访刚好到第五位可停止当天采访的概率；

(2)若抽取的18-64岁的市民数X不超过n的概率大于|,求整数九的最小值.

19.悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过建立坐标系，悬链线可表示为双

曲余弦函数丽(x)=丝芽二的图象,现定义双曲正弦函数sh(x)=心舁，回答以下问题：

(1)类比三角函数的导数关系：(sin%)，=cos%,(cosx)z=-sin%,写出sh(%)与ch(%)的导数关系式，并证

明；

(2)对任意第>0,恒有s/i(%)>a%成立，求实数a的取值范围；

(3)求/(%)=ch(%)-cos%-/的最小值.

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参考答案

1.5

2.2

3.0

4.C

5.B

6.D

7.C

8.A

9.ACD

10.XBD

11.AD

12.|或0

13.〃>)=®"(答案不唯一)；；•/(久)=—/+2/(答案不唯一)

14.0.57

15.1?：(1)

在中，由正弦定理知肃而=而海，所以器=筌，解得B0=6，

在人皿£中，由余弦定理知cosWBE=比第捍，所以江啜骑能

化简得5BE2—36BE—140=0,解得BE=10或—3舍负)，

故BE的长度为BE=10；

(2)

在84BE中，由余弦定理知，BE2=BA2+AE2-2BA-AE-cos^BAE,

^T^lOO=BA2+AE2+BA-AE,所以(BZ+AE')2-BA-AE=100,

即(BA+AE)2-100=BA-AE<+当且仅当84AE=型晅时，等号成立,

43

此时aB2+AE)2=100,BA+HE的最大值为苧，

所以三角形ABE周长的最大值为亨+10.

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16.解：(1)

a2a=2

依题意，可得,b=F

+4b2

故椭圆C的标准方程为：[+9=1；

4,D

如图，当直线/的斜率k=0时，可得的=七=0,显然满足的=92

'%=my+1

当kHO时，不妨设直线/:%=my+1,由名+及.=1，消去工,整理得，(3/n2+4)y2+6my-9=0,

,43

y1+y2~—1-------a

显然4>0,设M(xi,yi),N(%2,y2)，则由韦达定理，，3啄+4,故=a(+),

yi•丫2=—2

32m2+4

因4(—2,0),B(2,0),贝收1=^^,七=登,

贝|]3自_的=膏7丫23丫1(久2—2)一丫2(为1+2)3yiOy2-l)-y2Oyi+3)

%2-2—(%1+2)(%2-2)(汽1+2)(%2—2)

此式的分子为：3y1(my2-l)-y2(my1+3)=2my1y2-3y1-3y2=3(yt+丫2)-3(%+y2)=。，

故得3kl=k2,即七="k2，得证.

17.解：⑴

由条件可知NCBD=4ABD=45°,BC=CD=",BD=2,

则4D=yjAB2+BD2-2AB-BDcoszXBD=2=yjAB2-BD2

即-2D8为等腰直角三角形，所以乙4DC=135。，

取的中点F,连接CF,；.乙DCF=45°今。/〃力。，

因为ZDu平面DAE,CFC平面ZME,

所以CF〃平面D4E,

又因为四边形BDEN为矩形，点P为线段EN中点，所以PF〃DE,

同理有PF〃平面D4E,

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而PFnCF=F,PF、CFU平面CFP,

所以平面CFP〃平面D4E,

因为CPu平面CFP,所以CP〃平面D4E；

取AD的中点0,连接E0,OB,

根据题意知=瓦42+E02,即AADE为等腰直角三角形，

EO1AD,BO=居E。=1,BE=^BD2+DE2=m=^JBO2+EO2,

贝怩。1BO,

因为B。CiAD=OQB、ADu底面ABCD,所以E。1底面ABCD,

过。作Oy1AD,易知。y〃BD〃EN,

如图所示建立空间直角坐标系，易知4(1,0,0),。(―1,0,0),B(—1,2,0),E(0,0,1),

设P((U,1)(4G(0,2)),则而=(1,A,1),^4=(2,0,0),丽=(-1,2-1),

设平面PAD的一个法向量为三=(久,y,z),

(n-DA=2x—0

,令z=-A,则x=0,y=1,即71=(0,1,—2),

[n-AP=x+Ay+z=0

n-EB12+^176

设直线BE与平面PAD所成的角为a,sina=|cosn,EB|=

|n|.\EB\—J6Q+斗)一丁

解之得即|EP|/

18.解：(1)

依题意，采访的前四位中有一位是达标成年人，第五位必是达标成年人,

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因抽取的市民只有“是达标成年人”或“不是达标成年人”两个结果，且抽查结果相互独立，故这是个打

重伯努利概型.

故“这一天采访刚好到第五位可停止当天采访”的概率为盘X^X《)3X，急；

(2)

依题意，可列出随机变量X(XN2)的分布列：

X2345n

心X(/x|WX《)2X(|)2或X0)2x(,)3*X《)2x(|)n-2

P学

2

于是&2+禺X©)2X|+C|X(j)X(|)2+..•+*X(j)2X哥一2>

化简得，![l+2x|+3x(|)2+-+(n-1)x(|)"-2]>|,

即1+2)|+3)(|)2+­••+(n-1)X(|)n-2>6(*)

不妨记S=1+2X|+3X(|)2+.••+(n-1)X(§n-2①

贝u|s=lx|+2x(|)2+3x(|)3+-+(n-1)x(|)时1②

由①一②，可得，=1+|+(|)2+(|)3+…+(|)n-2-(n-l)x俞1,

sn1

即1=[0-1)x(|)T=3-3x(|)n-i-(n-l)x(|)nT=3-(n+2)x(j)"-,

故得，S=9-(2n+4)x(令n-2,代入(*)整理得，(2n+4)x仔产菖<3.

2

设册=(2n+4)x(j)n-2,(n>2,neN*),

।.Q/i+i(2TI+6)xi4n+12-一-r心一r、口、耳、一山八七」

由河=3+4)X(7-2=藐。<1可知，｛册｝是递减数列，

又。6=16*《)4=誉>3,而。7=18*(|)5=塞<3,故整数n的最小值为7.

Jo1oZ4-a

19.解：⑴

平方关系：ch2(x)-sh2(x)=1；

和角公式：ch(x+y)=ch(x)ch(y)+sh(%)式(y)；

h(x)=ch(x)

导数:

'-ch(x)=sh(x)

理由如下：平方关系，Ch2(x)-s/l2(x)=("号二)2一(笆蓑二)?

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=-+i+2»+i2=

44'

入，।、e%+y+e*y

ch(x+y)=---------------,

一J,1,、PX+p~xpy+p~yx_-xy_-y

和角公式：c/i(x)c/i(y)+s/i(%)sh(y)=---------------------+--P---p-------p---p---

Qx+y_i_Qx~y+x+y_i_^―%—y^x+y_Qx~y—x+y_i_y

=---------------------4---------------------+--------------------4--------------------

ex+y+e~x~y

二2

故ch(久+y)=ch(x)ch(y)+sh(x)sh(y')；

导数：sh'(X)=e_：e_)=e或e_=丽刀，ch!(x)=-=shx；

(2)

构造函数F(x)=sh(x)-ax,xG[0,+oo),由(1)可知F'(x)=c/i(x)-a,

i.当aW1