湖南省永州市宁远县某中学2025届高三年级上册入学联考数学试卷

湖南省永州市宁远县第三中学等学校2025届高三上学期入学联

考数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4={小2-4x+3<o},J5={x|o<x<2},则4nB=()

A.[0,3)B.(0,3)C.(1,3)D.(1,2)

2.若z—3i=3+i,则忖=()

A.3B.V13C.5D.V10

3.已知向量a=(2,冽)，6=(m+l,-l),若£_11，则冽的值为()

A.2B.1C.-1D.-2

4.在等差数列{%}中，若%+。5+%+。9+41=100,则q+%3的值为()

A.20B.30C.40D.50

5.若sina+VJcoscif=1，则cos

11

A.V3B.-C.——D.

T222

6.已知加〃是两条不同的直线，见"是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若7"_La,a_L£,则/〃夕

B.若加〃a,"〃a,则m//n

C.若m1a,m〃小n工/3,则a〃6

D.若inua,nua,m〃/3,n〃(},则a〃尸

试卷第1页，共4页

8.现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景

区附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，每个房间最多住

2人，且男女不能混住.则不同的安排方法有（）种

A.1960B.2160C.2520D.2880

二、多选题

9.下列求导过程正确的选项是（）

D.（logax）=—1—

\\lnaJxIna

10.设函数〃x）=2sin（2x+mj,则下列结论正确的是（）

A.f（x）的最小正周期为兀

B.7（尤）的图象关于直线x=9对称

C./⑺的一个零点为尤=-3

D./（x）的最大值为1

11.下列说法中正确的是（）

A.线性回归分析中可以用决定系数后来刻画回归的效果，若代的值越大，则模型的

拟合效果越好

B.已知随机变量X服从二项分布5（〃,p）,若E（X）=20,D（X）=10,则〃=40

C.已知y关于X的回归直线方程为j=0.3-0.7x,则样本点（2,-3）的残差为T.9

试卷第2页，共4页

3?9

D.已知随机事件A,B满足尸(3)=丁P(AB)=-,则尸(团团=§

三、填空题

12.已知平面向量％=(若,1),S=(l,-V3),求B+24=.

22

13.已知直线y=是双曲线1=1(°>0,6>0)的一条渐近线，则该双曲线的离心率

ab

为.

14.若函数〃尤)=[2，-3卜1-加只有1个零点，则加的取值范围是.

四、解答题

15.已知。、6,。分别是A4BC内角A,B,C的对边，(6—q)cosC=c(cos/—cosB),b2=2ac-

(1)求cosC；

(2)若/力BC的面积为小，求c.

16.如图，在三棱锥尸一/BC中，ABLBC,AB=BC'PA,点O、。分别是/C、PC的

2

中点，底面48c.

⑴求证：OD〃平面尸48；

⑵求直线PA与平面PBC所成角的大小.

(3、22

17.已知A0,3)和Fl3,-I为椭圆c：]+方=1(〃>6>0)上两点.

(1)求。的离心率；

(2)若过尸的直线/交C于另一点8,且的面积为9,求/的方程.

18.已知函数/'(x)=a(x-l)-lnx+l.

⑴求;'(x)的单调区间；

试卷第3页，共4页

(2)当aV2时，证明：当x>l时，/(x)<ei恒成立.

19.已知数组4：为，。2,…,%，如果数组4:4也,…也满足4=。,，且瓦+瓦-i=4+4-1，其中

k=2,3,­••,«,则称久为4的“兄弟数组”.

(1)写出数组4：4,2,3,7,1,8的“兄弟数组”为；

⑵若4的“兄弟数组”是用，试证明：Mm吗成等差数列；

(3)若〃为偶数，且4的“兄弟数组”是用，求证：

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案DCDCBCDCBCDAC

题号11

答案ABCD

1.D

【分析】先求集合/,再根据交集运算求解.

【详解】因为/={x|x2-4x+3<0}={x[l<x<3},JB={x|0<x<2）,

所以/ng=（i,2）.

故选：D.

2.C

【分析】根据题意求得z=3+4i,进而求模长.

【详解】因为z-3i=3+i,则z=3+i+3i=3+4i,

所以国=J3?+4?=5.

故选：C.

3.D

【分析】由向量垂直的坐标表示列方程等于零求解，可得结论.

【详解】根据题意知4=（2,加），S=（m+1,-1）,alb<

则a5=(2,〃z)•(%+1,—1)=2m+2-m=0,解之可得机=-2

故选：D

4.C

【分析】直接由等差数列的性质即可求解.

故选：C.

5.B

【分析】根据辅助角公式求得sin[a+g]=g,再用诱导公式即可求解.

【详解】因为sina+Gcosa=l，所以2sin[a+g]=1nsin[a+；）=g,

答案第1页，共12页

故选：B

6.C

【分析】利用空间点线面的位置关系判断各项；

【详解】对于A,若加_La,c_L£,则〃？〃£或机u",A错误；

对于B,若加〃巴〃〃(/,则加〃〃或加，"相交或异面，B错误；

对于C,因为加_La,m〃"，所以"_La,又因为"_L尸，所以e〃夕，C正确；

对于D,若mua,nua,m〃1口〃0,则a〃户或两平面相交，D错误；

故选：C.

7.D

【分析】先利用奇函数定义判断函数/(x)为奇函数，排除A；再利用了轴右侧有两个零点

排除B；在根据函数值的符号排除C,即可判断.

【详解】函数〃x)的定义域为

因为所以/(x)为奇函数，排除A；

易知/(1)=/1]]=0，排除B；

当x>0且无限趋近于0时，!一尤>0,cosx>0,即/(x)>0,排除C.

X

故选：D

8.C

【分析】就3名女生需要的房间数分类讨论后可得正确的选项.

【详解】3名女生需要住2个房间或3个房间.

若3名女生住2个房间，则不同的方法种数为C；C；A；,

若3名女生住3个房间，则不同的方法种数为,

则不同的安排方法有C；C：A；+1cX=2520种.

故选:C.

9.BCD

【解析】利用导数的计算公式逐一判断即可.

答案第2页，共12页

【详解】解：根据题意，依次分析选项:

对于A,(―)，=(/，)，=--f,A错误；

xx

L11-11

对于B,(五)，=(丁)r=-xx2=T7=,B正确;

对于C,(xa)'=axcTi,C正确;

InYj

对于D,(logax)'=(--),=——,D正确;

In。xInQ

则B、C、D计算正确.

故选：BCD.

【点睛】本题考查导数的运算，是基础题.

10.AC

【分析】根据/(%)=Xsin(tox+0)的性质逐一判断即可.

2兀

【详解】7=?=兀，故A正确；

2

/ff]=2sin^=V3,所以x=f不是对称轴，故B错误；

16/36

/；-0=2$皿0=0,所以x=-看是/'(x)的一个零点，故C正确；

因为振幅/=2,所以/(无)的最大值为2,故D错误.

故选：AC.

II.ABCD

【分析】根据决定系数的性质、二项分布的期望和方差的计算公式、线性回归方程的残差以

及条件概率的计算公式，对每个选项进行逐一分析，即可判断.

【详解】对于A,线性回归分析中可以用决定系数火2用来刻画回归的效果，若夫2的值越大,

则模型的拟合效果越好，故A正确；

对于B,随机变量服从二项分布3(%P),若E(X)=20,D(X)=10,

[np=20p=—

则zi、m,解得2,故B正确；

"P)=l。[〃=40

对于C,＞关于x的线性回归方程为f=03-0.7无，将x=2代入回归方程中得

7=0.3-1.4=-1.1,即残差为-3-(-1.1)=-1.9,故C正确；

32

对于D,因为22)=1,口/5)=不

答案第3页，共12页

2

所以P(4|5)=g^=尹J故D正确;

lyDJ。S

5

故选：ABCD

12.2A/5

【分析】利用向量坐标的加减运算和模长计算公式得到答案.

【详解】£+2书=(6，1)+2(1,-8)=(6+21-26),所以模长为

故答案为：2石.

aV30

5

【分析】根据题意可得：=若，由e=£

ba

【详解】由题意可知:=逐，所以e=£

ba

故答案为：叵

5

14.[2,+oo)o{-l}

【分析】函数〃x)=[2,-311-优只有1个零点等价于函数

x

2-2,x<log23

g(力=|2,-3/1=与函数歹=加有且只有1个焦点，借助指数函数的图象与

x

2-4,x>log23

性质可得函数g(x)的大致图象，即可得解.

【详解】由/(防=忙_311一加=0,得五一3卜1=加,

2-2x,x<log3

设函数g(x)=|2<3卜1=<2

x

2-4,x>log23

由指数函数性质可知，函数g(X)在(-8,10g23)上单调递减,

在(1%3,+8)上单调递增,且2—(0,+8),g(log23)=0-l=-l,

可作出g(x)的大致图象，如图所示，

答案第4页，共12页

由图可知，"7的取值范围是［2,+8)。{-1}.

故答案为：［2,+8)。{-1}.

7

15.(1)-；(2)2.

O

【解析】(1)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，然后结合余弦定理可求;

(2)由已知结合三角形的面积公式即可直接求解.

【详解】(1)由S-a)cosC=c(cos/-cos5)及正弦定理可得，

sinBcosC-sinAcosC=sinCcosA-sinCcosB,

所以sin3cosC+sinCeos5=sinCeos/+sin4cosc,

即sin(5+C)=sin(Z+C),

所以sin4=sin3,

所以a=6,

因为Z/=2ac=2bc，

所以6=2c,

4C2+4C2-C2_7

由余弦定理可得，cosC

2ab2x2cx2c8

(2)由(1)知sinC=

因为ZMBC的面积为&?，所以LabsinC=L〃2=,解可得Q=4,

228

贝！jc=L=2

2

【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面积公式在求解三角

形中的应用，属于中档试题.

16.(1)证明见解析

力.VHo

(2)arcsin-------

30

【分析】(1)由已知，根据点。、。分别是/C、PC的中点，可知。。〃/弘，然后利用线面

答案第5页，共12页

平行的判定定理即可完成证明；

(2)取8c的中点E,连接尸E,过点。作。尸，PE交尸E于尸，连接。尸，先证明3CL平

面尸0E,得到8C_L0尸，从而证明OF_L平面P8C,得到NOZ)下是。。与平面P8C所成的

角，设边长，计算即可.

【详解】(1)由已知，点。、。分别是ZC、尸C的中点，所以0D//P4,

又取u平面P/8,OD<Z平面尸N3,所以平面尸N8,

得证.

(2)

因为N8_LBC,OA=OC,所以04=03=。。,

又因为OP，平面4BC,所以P4=PB=PC,

取3c的中点E,连接PE,则尸EL3C,

。尸_L平面48C,BCu平面/8C,所以。P_L2C,

OP,PEuPOE,且。尸cPE=P,所以3C_L平面POE,

过点。作。/J-PE交PE于尸，连接。尸，

因为8C_L平面POE,。尸u平面POE,所以8C_L。尸，

又因为。尸_LPE,BC,PEuPBC,且BCcPE=E,所以OF_L平面PBC,

因为。D//P/,所以直线P/与平面尸8C所成角就是。。与平面尸8c所成的角,

所以ZODF是OD与平面PBC所成的角，

可设/8=3C=：/M=1,所以P/=2,PO—^^-,

22

”岳cc।mPOEOV2W

22PE30

在氏AOD尸中，sinZOr>F=—=^2.

OD30

所以直线P/与平面PBC所成角的大小为arcsin'巫.

30

答案第6页，共12页

1

17.⑴5

⑵直线/的方程为3X-2尸6=0或x-2y=0.

【分析】(1)代入两点得到关于6的方程，解出即可;

(2)方法一：以|“尸|为底，求出三角形的高，即点8到直线4P的距离，再利用平行线距离

公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到3点坐标，则得到直线/的方程；方法二:

同法一得到点5到直线AP的距离，再设3(%,%),根据点到直线距离和点在椭圆上得到方

程组，解出即可；法三：同法一得到点8到直线/尸的距离，利用椭圆的参数方程即可求解;

法四：首先验证直线斜率不存在的情况，再设直线>=辰+3,联立椭圆方程，得到点3

坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线所斜率不存在的情况，再设

PB:y-j=k(x-3),利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与

法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘!表达面积即可.

2

b=3

【详解】(1)由题意得。2，解得，?二?，

2_AIk=12

[a2+b2~=

(2)法一：3一|i,则直线"的方程为〉=-乙+3,即x+2y-6=0,

3鼠3二一52

叫=J(°-3)2+[3-|)=孚’由⑴知+

2x9A

J/J—_1_2_/5_____

设点3到直线ZP的距离为d,则3君—5，

则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移区I单位即可，

5

此时该平行线与椭圆的交点即为点B,

设该平行线的方程为：x+2y+C=0,

|C+6|_12A/5

则解得C=6或C=-18,

出一^~~

答案第7页，共12页

x=-3

H+f=1,解得x=0

当C=6时，联立I或'3，

x+2j+6=0y=-2

即川0,-3）或13,-

33

当3(0,-3)时，止匕时勺=彳，直线/的方程为歹=5尤-3,即3x-2y-6=0,

时，此时&1直线/的方程为了=

当叫-3,-=g,—x,即x-2y=0,

22

22

土+匕=1

当C=-18时，联立129得2r-27歹+117=0,

x+2y—18=0

A=272-4x2x117=-207<0,此时该直线与椭圆无交点.

综上直线/的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.

法二：同法一得到直线/尸的方程为x+2y-6=0,

点B到直线AP的距离d=为5

5

1%+2%_12火

%=-3

V5-5%二0

设3(X(),%),贝上，解得3或

九二

9+比=1%=-3—3

129

即8（0,一3）或13,一|

,以下同法一.

法三：同法一得到直线北的方程为x+2y-6=0,

点B到直线AP的距离d=约5

5

126cos6+6sin6-]2石

设5(2>/Jcos6,3sin夕)，其中6£[0,2兀)，则有-!-----------------------------------=---------,

5

cos^=-—

2cos0=0

联立cos?e+sin?6=1,解得,或

sin*」sin0=-1

2

即8（0,-3）或1-3,-g

,以下同法一;

法四：当直线45的斜率不存在时，此时5(0,-3),

133

3PAB=-x6x3=9,符合题意，止匕时勺=5,直线/的方程为歹=5%—3,即3x—2y—6=0,

当线45的斜率存在时，设直线的方程为〉=履+3,

答案第8页，共12页

y=kx+3

联立椭圆方程有x12y2,贝lj(4左2+3)%2+24左Y=0,其中左。左加,，即左w—,

I-12

1129

解得片。或X制

，上w0,k手—,

2

2-24k

人-24km1—12k+9«.[o-12r+9

令工=-2r，贝仃二——n------，贝

4左2+3/4左2+34左2+3'4左2+3

同法一得到直线AP的方程为x+2歹-6=0,

点B到直线AP的距离d="叵，

5

-24k|2〉＜-12/+9§

则4^+3+*4/+3-12亚，解得后=：,

忑=­

止匕时-3,-£）,则得到此时勺=；,直线/的方程为y=；x,即x-2y=0,

综上直线/的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.

法五：当/的斜率不存在时，/：x=3,313,-1|,*|=3〃至1」尸8距离1=3,

1Q

此时S“昉=/x3x3=］。9不满足条件.

3

当/的斜率存在时，设尸8："5=3-3）,令尸（为必）乃仁,力），

3

y=k(x-3)+-

消y可得（止+3）/-（24万2-12左卜+36左：一36左一27=0,

22

-%------+1---夕------11

[129

21

A=(24F-12^-4(4k2+3)(36^2-36A--27)>0,且左片左心，即左

24k2-12k13k2+9k+]

36左2-36左-274左2+3

4Ar+l.+9k+g\k+i\

|3左+—|

A到直线尸3距离二」2|。_

a-

~r;--QAPAB~

JF+14r+3-#7T

1313

・二左=_或_,均满足题意，:.l:y=-x^y=—x-3,即3%_2y_6=0或x—2y=0.

2222

法六：当/的斜率不存在时，/:x=3,3,,*1=3〃到尸8距离1=3,

1Q

此时S"昉=/x3x3=,。9不满足条件.

答案第9页，共12页

3

当直线/斜率存在时，设/:'=左（、-3）+耳，

设/与V轴的交点为0,令x=0,则。,,-3万+|）,

.3

联立＜＞=近—3"十万，贝|j有（3+4左2）*2—84（3左一3]*+36左2—36左一27=0,

3/+4/=36I2J

（3+4左2）X?-8左（3左一|1x+36左2-36左一27=0,

其中A=8〃[3左一g]—4（3+4公）06公一36万-27）＞0,且左片一；，

36/2-36左一2712左2—12左一9

贝I3XB='->XB=

3+4/3+412

则S=』/。归-x/=33k+弓竽岩=9,解的A=:或后=；,经代入判别式验证均满足

题意.

即3x-2〉-6=0或x-2〉=0.

18.⑴见解析

（2）见解析

【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性;

（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当x＞l时，ei-2x+l+lnx＞0即可.

【详解】（1）/（x）定义域为（0,+s）,/«=«--=-

XX

当aWO时，/'（x）=竺匚＜0,故“X）在（0,内）上单调递减；

X

当。＞0时，xe[,+oo]时，f\x）＞0,〃X）单调递增，

当xe,,£|时，r（x）＜0,/（x）单调递减.

综上所述，当时，〃X）的单调递减区间为（0,+8）；

答案第10页，共