2024年中考数学试题分类汇编：等腰三角形与直角三角形（含勾股定理）（24题）解析版

专题15等腰三角形与直角三角形（含勾股定理）（24题）

一、单选题

1.（2024.四川巴中.中考真题）如图，在ABC中，。是AC的中点，CELAB,BD与CE交于点、0,且

BE=CD.下列说法错误的是（）

A.3。的垂直平分线一定与48相交于点E

B.NBDC=3ZABD

C.当E为AB中点时，ABC是等边三角形

D.当E为AB中点时，=Z

【答案】D

【分析】连接DE，根据CE1AB,点。是AC的中点得OE=AD=C£>=gAC,则座=DE,进而得点。

在线段8。的垂直平分线上，由此可对选项A进行判断；设NAaD=c,根据跳；=/）£得ZEDB=Z4Br>=”,

ZAED=ZEDB+ZABD=2a,再根据0£=&£）得NA=NA£D=2a,贝I]NBZ）C=NA+N/®）=3a,由止匕可对选

项B进行判断；当E为A8中点时，则CE是线段A8的垂直平分线，由此得AC=3C,然后

根据=CD=^-AC,BE^CD^AB^AC,由此可对选项C进行判断；连接AO并延长交BC于

22

F,根据A5C是等边三角形得/OBC=NQ4C=30。，则。4=03,进而得03=20尸，AF=3OF,由此

113

^S&OBC=-BCOF,SMBC=-BCAF=-BCOF,由此可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案.

【详解】解：连接DE,如图1所示：

CELAB,点。是AC的中点,

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/.DE为RtZXAEC斜边上的中线，

.\DE=AD=CD=-AC,

2

BE=CD,

BE=DE,

，点。在线段BD的垂直平分线上，

即线段8。的垂直平分线一定与AB相交于点E,故选项A正确，不符合题意;

设=

BE=DE,

Z.EDB=ZABD=a,

ZAED=ZEDB+ZABD=2a,

DE=AD,

XA.=XAED=Iccf

ZBDC=ZA+ZABD=3a,

即=故选B正确，不符合题意；

当E为AB中点时，则=

CELAB,

：.CE是线段AB的垂直平分线，

AC=BC,

BE=-ABCD=-ACBE=CD,

2f2f

AB=AC,

AC—BC-AB,

：.ABC是等边三角形，故选C正确，不符合题意；

连接A0,并延长交BC于尸，如图2所示：

图2

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当E为AB中点时，

点。为AC的中点，

..根据三角形三条中线交于一点得：点厂为8c的中点，

当E为AB中点时，ABC是等边三角形，

:.ZABC=ZBAC=a）°,AF1BC,■平分NOAC,平分NABC,

ZOBC=ZOAC=30°,

OA=OB,

在尸中，OB=2OF,

：.OA=OB=2OF,

.\AF=OA+OF=3OF,

113

••鼠BC^BCOF，SAABC=-BCAF=-BCOF,

，2=］故选项D不正确，符合题意.

故选：D.

【点睛】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质,

等边三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形

的判定与性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键.

2.（2024.四川眉山・中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽

的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将

这四个直角三角形拼成图2,则图2中大正方形的面积为（）

C.40D.44

【答案】D

【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为“，b,斜边为c,根据图1,结合已知条件

得到/+从=°2=24,（a-b^=cr+b2-2ab=4,进而求出时的值，再进一步求解即可.

【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为。，b,斜边为c,

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图1中大正方形的面积是24,

小正方形的面积是4,

(a—Z?)"=a2+b2—2ab=4,

/.ab=10,

・••图2中最大的正方形的面积=廿+4*工。6=24+2*10=44；

2

故选：D.

3.(2024.四川巴中.中考真题)“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深

几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即AC=5,DC=1,BD=BA,则3C=()

10C.12D.13

【答案】C

【分析】本题考查勾股定理的实际应用.设3C=x,则BD=B4=(x+l),由勾股定理列出方程进行求解

即可.

【详解】解：设3C=x,则8D=54=(x+l),

由题意，得：(x+l『=52+尤2,

解得:x=12,即BC=12,

故选：C.

4.(2024・四川广元・中考真题)如图①，在ASC中，/ACB=90。，点P从点A出发沿A—C—8以lcm/s

的速度匀速运动至点8，图②是点尸运动时，./RP的面积y(cn?)随时间x(s)变化的函数图象，则该三

角形的斜边43的长为()

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A.5B.7C.3亚D.2A/3

【答案】A

【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理，

由图象可知，面积最大值为6,此时当点尸运动到点C,得到;AC-2C=6,由图象可知AC+BC=7,

根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解.

【详解】解：由图象可知，43P面积最大值为6

由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大，

：.^ACBC=6,BPACBC=n,

由图象可知，当x=7时，y=0,此时点P运动到点8,

AC+BC=1,

"：ZC=90°,

AB2=AC2+BC2=（AC+BC）2-2AC-BC=72-2X12=25,

AB=5.

故选：A

5.（2024・四川南充・中考真题）如图，已知线段A8,按以下步骤作图：①过点2作3CLAB,使3C=gA3,

连接AC；②以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交AC于点。；③以点A为圆心，以AO长为半径画弧,

交43于点E.若钻=加43,则机的值为（）

A/5—1A/5-2

ARC.V5-1D.75-2

22

【答案】A

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【分析】本题考查了勾股定理，根据垂直定义可得NABC=90。，再根据=设=然后在

Rt^ABC中，利用勾股定理可得AC=好°,再根据题意可得：AD=AE,CD=BC=^-a,从而利用线段

22

的和差关系进行计算，即可解答.

【详解】解：

ZABC=90°,

*.*BC=；AB,设AB=a

BC=—a,

2

・•・AC==------Cl9

2

由题意得：AD=AE,CD=BC=ga,

・•・AE=AD=AC-CD=—a--a=^^-a,

222

AE=mAB,

・—1

••m=---，

2

故选：A

6.（2024・山东泰安・中考真题）如图，RtZVIBC中，ZABC=90°,分别以顶点A,C为圆心，大于：AC的

长为半径画弧，两弧分别相交于点/和点N,作直线MN分别与3C,AC交于点E和点/；以点A为圆

心，任意长为半径画弧，分别交AB,AC于点H和点G,再分别以点H,点G为圆心，大于的长为

半径画弧，两弧交于点尸，作射线AP,若射线AP恰好经过点E,则下列四个结论：

①NC=30。；②AP垂直平分线段所；③CE=2BE；@S^=yS^.

BEF6ABC

C.3个D.4个

【答案】D

【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息,

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灵活运用所学知识解决问题是解题的关键.

由作图可知垂直平分线段AC、平分/B4C,进而证明NC=N石4C=NB4E=3O。可判定①；再说

明=可得"垂直平分线段成可判定②；根据直角三角形的性质可得AC=2AB,AE=25E可判定

③，根据三角形的面积公式即可判定④.

【详解】解：由作图可知MN垂直平分线段AC,

:.EA=EC,

：.ZEAC=ZC,

由作图可知平分ZBAC,

ZBAE=ZCAE,

9：ZABC=9Q0,

・・・NC=NC4E=/B4E=30。，故①正确，

・•・AC=2AB,

AF=FC,

：-AB=AF,

・•・”垂直平分线段正，故②正确，

•：AE=2BE,EA=EC9

：.EC=2BE,故③正确，

,•SBEF=]SBCF，

•；AF=FC,

•v-J-v

,•OBFC-2”■ABC，

**S4BEF=^SAABC,故④正确.

6

故选：D.

7.（2024.山东烟台•中考真题）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下,

【答案】D

【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质

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和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可.

【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，0P为/A03的平分线；

第二个图，由作图可知：OC=OD,OA=OB,

AC^BD,

ZAOD=ZBOC,

：.^AOD^^BOC,

：.NOAD=NOBC,

•：AC=BD,ZBPD=ZAPC,

：.BPD^.APC,

：.AP=BP,

"：OA=OB,OP=OP,

：.△AOP^ABOP,

ZAOP=ZBOP,

OP为/AC®的平分线；

第三个图，由作图可知NACP=NAO3,OC=CP,

:.CP〃BO,NCOP=/CPO,

：.?CPO?BOP

：.NCOP=NBOP,

为NAQ5的平分线；

第四个图，由作图可知：OPVCD,OC=OD,

为的平分线；

故选D.

二、填空题

8.（2024.辽宁・中考真题）如图，四边形ABCD中，AD//BC,AD>AB,AD=a,AB=10.以点A为

圆心，以A8长为半径作图，与3C相交于点E,连接AE.以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与E4,

EC相交于点N,再分别以点N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在/AEC的内部相

交于点尸，作射线与AD相交于点尸，则ED的长为（用含。的代数式表示）.

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【分析】本题考查了作图-作角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关

键.

利用基本作图得到短=钻=10,E尸平分/AEC,,接着证明NAEF=NAPE得到〃=〃=10,然后

利用FD=AD-AF求解.

【详解】解：由作法得AE=AB=10,EF平分/AEC,

：.ZAEF=ZCEF,

,：AD/7BC,

：.ZAFE=ZCEF,

：.ZAEF=ZAFE,

：.AF=AE=\Q,

：.FD^AD-AF^a-10.

故答案为：a-10.

9.(2024.吉林・中考真题)图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，

其示意图如图②，其中=AB_LB'C于点C,3C=0.5尺，B'C=2尺.设AC的长度为x尺，可

列方程为.

q诗文：波平如镜一湖面，半尺高匚

处生红莲，亭亭多姿湖中立，突

遭狂风吹一边。离开原处二尺

远，花贴湖面象睡莲。.

A

U图①

图②

【答案】X2+22=(X+0.5)2

【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键.

设AC的长度为无尺，则AB=AB'=x+0.5在RtAWC中，由勾股定理即可建立方程.

【详解】解：设AC的长度为x尺，则=二AB'=x+0.5,

,：ABLB'C,

由勾股定理得：AC2+3Y=AB”，

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AX2+22=(X+0.5)2,

故答案为：X2+22=(X+0.5)2.

10.(2024•黑龙江大庆•中考真题)如图①，直角三角形的两个锐角分别是40。和50。，其三边上分别有一个

正方形.执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40。和50。的直角三角形，再分别以所得到的

直角三角形的直角边为边长作正方形.图②是1次操作后的图形.图③是重复上述步骤若干次后得到的图

形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”.若图①中的直角三角形斜边长为2,则10次操作后图形中所,正方形

的面积和为

图①图②图③

【答案】48

【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识.根据题意分别

计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解.

【详解】解：图①中，：NACB=90。，

图①图②

根据勾股定理得，AC2+BC2=AB2=22=4,

图①中所有正方形面积和为：4+4=8,

图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为:

8+4=12,

图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为:

8+4x2=16,

次操作后的图形中所有正方形的面积和为8+4%

；.10次操作后的图形中所有正方形的面积和为8+4x10=48,

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故答案为：48.

11.（2024•甘肃兰州•中考真题）如图，四边形ABCD为正方形，VADE为等边三角形，防，A?于点忆

若AD=4,贝.

【答案】2

【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据正方形和等边三角

形的性质，得到AAFE为含30度角的直角三角形，AE^AD=4,根据含30度角的直角三角形的性质求

解即可.

【详解】解：：四边形ABCD为正方形，VADE为等边三角形，EF1.AB,4）=4,

ZFAD=90°,ZEAD=60°,ZAFE=90°,AD=AE=4,

：.ZFAE=30°,

：.EF=-AE=2-

2

故答案为：2.

12.（2024・四川资阳・中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=2.以点A为圆心，AD长为半径

作弧交AB于点E,再以A3为直径作半圆，与DE交于点F,则图中阴影部分的面积为.

【分析】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质和判定，扇形的面积，解题的关键是学会利用分割法

求阴影部分的面积.

设弓形AmF,连接AF,FE,由题意知AE=AF=FE=2,即△AFE■为等边三角形，ZFAE=ZFEA=60°,

即可得出阴影部分面积为%=S半圆-Ssm-品形-代入数值即可求出结果.

【详解】解：：以点A为圆心，AD长为半径作弧交48于点E,AB=4,45=2,

AE=AD=BE=2,

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...以AB为直径作半圆时，圆心为点E,

设弓形Amb,连接川，FE,AE=AF=FE^2,如图:

•*./XAFE为等边三角形,

ZFAE=ZFEA=60°,

故阴影部分面积为%=S半圆一S扇形。尸E-S弓形4机尸,

22、

代入数值可得s阴=gx2x2兀-60Kx2f6071x273百+2兀

x22

36036043

7

故答案为^3+§71，

13.（2024.四川雅安・中考真题）如图，在‘ABC和VADE中，AB=AC,ZBAC=ZDAE=4O°,将VAD石

绕点A顺时针旋转一定角度，当ADI5c时，2B4石的度数是.

【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，旋转的性质，分两种情况分别画出图形，再结合等腰三角形的

性质与角的和差运算可得答案;

【详解】解：如图，当ADI5c时，延长AO交3c于J,

*：AB=AC,ZBAC=ZDAE=4Q°,

ZBAJ=ZCAJ=20°,

：.ZBAE=200+40°=60°；

如图，当AD13C时，延长ZM交3。于/,

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D

'：AB=AC,ZBAC=ZDAE=40°,

：.ZBAJ=ZCAJ=20°,

：.ZBAE=180°-20°-40°=120°,

故答案为：60。或120。

14.（2024・江苏常州•中考真题）如图，在中，ZACB=90°,AC=6,BC=4,。是边AC的中

点，E是边BC上一点，连接3nDE.将，一CDE沿OE翻折，点C落在8。上的点尸处，则CE=.

3

【答案】|

【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出即的长，折叠得到CD=止，CE=EF/EFD=90°,

设CE=x,在RtZXBEE中，利用勾股定理进行求解即可.

【详解】解：：/ACB=90。，AC=6,BC=4,。是边AC的中点，

CD=-AC^3,

2

BD=YIBC2+CD2=5>

:将CDE沿DE翻折，点C落在8。上的点尸处，

/.CD=DF=3,CE=EF,ZEFD=90°,

：.BF=BD—DF=2,NBFE=90°,

设CE=x,则：EF=x,BE=BC-CE=4-x,

在Rt△班E中，由勾股定理，得:（4-X）2-X2+22,

3

解得：x=；;

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3

故答案为：—.

15.（2024•山东潍坊・中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为（0,4）,点、B,C

均在无轴上.将「ABC绕顶点A逆时针旋转30。得到△AB'C',则点C'的坐标为.

【分析】本题主要考查旋转的性质，三角函数的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.作CNJ_AO,

求出。尸，的值即可得到答案.

ABC是等边三角形，AO1BC,

•*.AO是ZBAC的角平分线，

.•.NOAC=30。，

OC=-AC,

2

在RtAOC中，AO2+OC2AC2,

即I6+（」AC）2=AC2,

2

解得AC二型

3

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…C与

4月

OF=AO-AF=4-ACcos600=4—--,

3

FC'=AC'•sin60°二—x—=4,

32

z.C(4,4-

故答案为：（4,4-

16.（2024.四川遂宁.中考真题）如图，在正方形纸片ABCD中，E是A5边的中点，将正方形纸片沿EC折

叠，点3落在点P处，延长CP交AO于点。，连结"并延长交8于点尸.给出以下结论：①△AEP为

3

等腰三角形；②尸为8的中点；③AP:Pb=2:3；@cosZDCQ=~.其中正确结论是____.（填序号）

4

【答案】①②③

【分析】设正方形的边长为2a,Nl=/2=a,根据折叠的性质得出E4=EP,根据中点的性质得出AE=EB,

即可判断①，证明四边形AECF是平行四边形，即可判断②，求得tan/4=殷=2,设AP=x,则8尸=2尤,

AP

勾股定理得出=进而判断③，进而求得AQ,DQ,勾股定理求得CQ,进而根据余弦的定义,

5

即可判断④，即可求解.

【详解】解：如图所示，

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设正方形的边长为2〃，

I折叠,

/.Z1=Z2,BP±ECfEP=EB=a

EA=EP

•••△AEP是等腰三角形，故①正确；

设/l=/2=a,

：.ZAEP=18Q0-2a

N3=N4=cc

：・N2=N3

：.AF//EC

又•・•AE//FC

・••四边形AECF是平行四边形，

CF=AE=a,

:.CF=FD=a,即b是CD的中点，故②正确；

VBP1EC,AF//EC

・•.BP±AF

在RtAD厂中，A尸=[AD2+DF2=/2a丫+〃=&,

..八BC2a、

・tana=tanZ1==——=2

BEa

.八BP八

・・tanN4==2

AP

设AP=x,贝Ij5尸=2%,

***AB=y/5x=2a

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・2y/5a

・・x=--------

5

：・AP=^^a,PF=y/5a-2A/53非

-----a-------a，

555

・・・b=2:3,故③正确;

连接EQ,如图所示,

VZQAE=90°,ZQPE=ZEPC=ZEBC=90°,AE=EP

又EQ=EQ

.・・AEQ"PEQ

・・・AQ=PQ

XVEA=EP

：.EQLAP

：.ZAQE-^-ZAEQ=90°

XVZAEQ+Z4=90°

Z.AQE=N4=a

*•tancr=2

AE-

••,而=

.13

・・QD=2Q——ci=-tz

在RtQDC中，℃=JR+DC?=J[|j+(2。『=|。

1a

.•.cosNOCQ=^?="故④不正确

a-a5

2

故答案为：①②③.

【点睛】本题考查了正方形与折叠问题，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握

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以上知识是解题的关键.

三、解答题

17.(2024.江苏常州•中考真题)如图，B、E、C、尸是直线/上的四点，AC,DE相交于点G,AB=DF,

AC=DE,BC=EF.

(2)连接AD,则与/的位置关系是

【答案】(1)见解析

(2)ADI

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的判定：

(1)证明A4BC/△以石，得到4CB=NOEF,即可得证；

(2)根据线段的和差关系，易得AG=DG,根据三角形的内角和定理，得到NC4D=NACB,即可得出

结论.

【详解】(1)证明：在ABC和△。尸E■中

AB=DF

<AC=DE,

BC=EF

：.AABC%ADFE,

：.ZACB=ZDEF,

：.EG=CG,

.GEC是等腰三角形；

(2)VAC=DE,EG=CG,

：.AG=DG,

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ZGAD=ZGDA=1(180°-ZAGD)

ZACE=ZDEF=1(180°-NCGE)

"：ZAGD=ZEGC,

：.ZCAD^ZACB,

：.ADI.

18.（2024・湖南长沙•中考真题）如图，在中，ZACB=90°,AB=2如，AC=2,分别以点A,

8为圆心，大于;的长为半径画弧，两弧分别交于点/和M作直线分别交AB,BC于点。，E,

连接8,AE.

A

（1）求CO的长；

（2）求一ACE的周长.

【答案】（1）正

(2)6

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，斜中半定

理：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理等知识点，熟记相关结论是解题关键.

（1）由题意得MN是线段A5的垂直平分线，故点。是斜边的中点.据此即可求解；

（2）根据E4=EB、ACE的周长=AC+CE+£4=AC+CE+EB=AC+BC即可求解；

【详解】（1）解：由作图可知，MN是线段的垂直平分线，

...在Rt^ABC中，点。是斜边的中点.

CD=-AB=-x2y[5=45.

22

（2）解：在Rt^ABC中，BC=^AB2-AC2=7（2>/5）2-22=V16=4.

,/MN是线段AB的垂直平分线，

EA=EB.

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，.ACE的周长=AC+CE+E4=AC+CE+EB=AC+3C=2+4=6.

19.（2024・湖南长沙•中考真题）如图，点C在线段AD上，AB=AD,ZB=ZD,BC=DE.

(1)求证：AABC^AADE；

(2)若Zfl4c=60。，求/ACE的度数.

【答案】(1)见解析

(2)ZACE=60°

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明ZiACE是等边三角形是解答

的关键.

(1)直接根据全等三角形的判定证明结论即可；

(2)根据全等三角形的性质得到AC=AE,ZCAE=ZBAC=60°,再证明△ACE是等边三角形，利用等

边三角形的性质求解即可.

【详解】(1)证明：在一.ABC与VADE中，

AB=AD

<ZB=ZD,

BC=DE

所以ABC^ADE(SAS)；

(2)解：因为△AfiC丝AWE,ZBAC=60°,

所以AC=AE,ZCAE=ZBAC=^)°,

所以“点是等边三角形.

所以NACE=60。.

20.(2024.青海•中考真题)(1)解一元二次方程：--4彳+3=0；

(2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根，求第三边的长.

【答案】(1)%=1或x=3

(2)第三边的长是可或20

【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理.

(1)用因式分解法解即可；

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（2）分情况讨论，一是两根都是直角边，二是两根一个是直角边，一个是斜边，再用勾股定理分别计算

即可.

【详解】解：（1）%2-4.r+3=0

（x-l）（x-3）=0

x=l或x=3；

（2）当两条直角边分别为3和1时，

根据勾股定理得，第三边为斤丁=而；

当一条直角边为1,斜边为3时，

根据勾股定理得，第三边为后二F=2夜.

答：第三边的长是加或2忘.

21.（2024•甘肃兰州•中考真题）观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，

正如木匠刘师傅的“木条画直角法”，如图1,他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角，具体作法如

下：

①本条的两端分别记为点M，N,先将木条的端点M与点A重合，任意摆放木条后，另一个端点N的位置

记为点8,连接A5；

②木条的端点N固定在点B处，将木条绕点2顺时针旋转一定的角度，端点M的落点记为点C（点A,B,

C不在同一条直线上）；

③连接CB并延长，将木条沿点C到点8的方向平移，使得端点M与点8重合，端点N在CB延长线上的

落点记为点。；

④用另一根足够长的木条画线，连接AO,AC,则画出的是直角.

操作体验：（1）根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法，如图2,BA=BC,请画出以点A为顶点的

直角，记作/ZMC；

推理论证：（2）如图1,小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据：

证明：AB=BC=BD,

：.A5c与是等腰三角形.

:.NBCA=ABAC,ABDA=/BAD.（依据1）

ZBCA+ZBDA=ZBAC+ZBAD=ADAC.

ZZMC+ZBCA+ZBDA=180°,（依据2）

.•.2ZZMC=180°,

../ZMC=90°.

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依据1：;依据2：；

拓展探究：（3）小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法

可以减少误差.如图3,点。在直线/上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以。为顶点的直角，

记作NPOQ,使得直角边。尸（或OQ）在直线/上.（保留作图痕迹，不写作法）

图1

0

图3

【答案】（1）见详解，（2）等边对等角（等腰三角形的性质）；三角形内角和定理；（3）见详解

【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及尺规作图的作垂线，

（1）根据“观察发现”延长CB至点。，且O8=CB,连接C4,AD即可知以点A为顶点的NZMC为直角;

（2）根据作图可知利用了等边对等角，以及三角形内角和定理；

（3）根据过定点作已知直线的垂线的方法作图即可.

【详解】解：［操作体验］（1）

图2

［推理论证］（2）依据1：等边对等角（等腰三角形的性质）；依据2：三角形内角和定理;

故答案为：等边对等角（等腰三角形的性质）；三角形内角和定理；

22.（2024・四川宜宾•中考真题）如图，点E分别是等边三角形ABC边BC、AC上的点，且BD=CE,

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BE与AD交于点,F.求证：AD=BE.

【答案】见解析

【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质得出AB=BC,

ZABD=/BCE=60。,然后根据SAS证明ABD^BCE,根据全等三角形的性质即可得证.

【详解】证明：：ABC是等边三角形，

AAB^BC,ZABD=/BCE=60°,

又BD=CE,

：.△ABD四△BCE(SAS),

AD=BE.

23.(2024•山东泰安・中考真题)如图1,在等腰Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=CB,点、D,E分别在AB,

CB±,DB=EB,连接AE,CD,取AE中点尸，连接8尸.

图1

(1)求证：CD=2BF,CD1BF；

(2)将DBE绕点8顺时针旋转到图2的位置.

①请直接写出与8的位置关系:

②求证：CD=2BF.

【答案】(1)见解析

(2)①所，CD；②见解析

【分析】(1)先证明.48万均。8。得到4£=00,NFAB=NBCD,根据直角三角形斜边中线性质得到

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CD=AE=2BF,根据等边对等角证明NF6A=N5CD,进而可证明班」CD；

(2)①延长砥到点G,使FG=BF,连接AG,延长班到M,使BE=BM,连接AM并延长交8于

点N.先证明.AGF统EB7"得到NE4G=NFE®,AG=BE,进而AG〃防，AG=BD.证明

△AG3也△3QC得到NABG=N3CD,然后利用三角形的中位线性质得到5尸〃AN,则

ZABG=ZBAN=ZBCDf进而证明AN_LCD即可得到结论；

②根据AAGB沿ABDC得到CD=BG即可得到结论.

【详解】(1)证明：在石和△C8O中，

AB=BC,ZABE=ZCBD=9009BE=BD,

,ABE咨.CBD(SAS),

:.AE=CD,/FAB=/BCD.

方是RtAWE斜边A石的中点，

:.AE=2BF,

:.CD=2BF,

BF=-AE=AF,

2

:.ZFAB=ZFBA.

:"FBA=ZBCD,

ZFBA+ZFBC=90°,

:./FBC+/BCD=90。.

:.BFLCD

(2)解：①BF_LCD；

理由如下：延长防到点G,使FG=BF,连接AG,延长班到M,使BE=BM,连接AM并延长交8

于点N.

AF=EF,FG=BF,ZAFG=ZEFB,

.NAGFAEBF(SAS),

:./FAG=/FEB,AG=BE,

:.AG〃BE,

/.ZG4B+ZABE=180°,

ZABC=/EBD=9。。,

ZABE+ZDBC=180°f

，NGAB=/DBC.

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BE=BD,

,\AG=BD.

在MG3和3OC中，

AG=BD,/GAB=/DBC,AB=CB,

AGB^BZ)C(SAS),

.\ZABG=ZBCD.

方是AE中点，8是EM中点，

.•.5/是一ABM中位线，

:.BF//AN.

ZABG=ZBAN=ABCD,

ZABC=ZANC=90°,

.\AN.LCD.

.BF〃AN,

:.BFLCD.

故答案为：BF.LCD；

②证明：•・•AAGS"ABDC,

:.CD=BG,

BG=2BF,

:.CD=2BF.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的判定与性质、三角

形的中位线性质、平行线的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与

运用，灵活添加辅助线构造全等三角形是解答的关键.

24.(2024.辽宁・中考真题)如图，在ABC中，ZABC=90°,ZACB=6^(0°<cr<45°).将线段C4绕点。

顺时针旋转90。得到线段S,过点。作垂足为E.

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（1）如图1,求证：△ABC四△CEE）；

（2）如图2,