2023-2014年北京十年中考数学《新定义》含答案解析

2023~2014北京十年中考数学分类汇编一一新定义

1.(2023•北京)在平面直角坐标系中，OO的半径为1.对于OO的弦48和。。外一

点C给出如下定义：若直线C4,C8中一条经过点。，另一条是。。的切线，则称点C

是弦的“关联点”.

(1)如图，点/(-1,0),以(近)，B-i(乏，

2222

①在点C1(-1,1),c2(-42,o),c3(o,&)中，弦血的“关联点”是；

②若点c是弦/班的“关联点”，直接写出。。的长；

(2)已知点M(0,3),N(©遥,0),对于线段上一点S,存在。。的弦尸。，使

5

得点S是弦尸。的“关联点”.记P0的长为/,当点S在线段MV上运动时，直接写出/

的取值范围.

第1页(共10页)

2.（2022•北京）在平面直角坐标系x0y中，已知点b）,N.

对于点P给出如下定义：将点尸向右（a20）或向左（6?<0）平移同个单位长度，再向

上（620）或向下（6<0）平移回个单位长度，得到点P,点P'关于点N的对称点

为Q,称点。为点尸的“对应点

（1）如图，点M（1,1）,点N在线段（W的延长线上.若点尸（-2,0）,点0为点P

的“对应点”.

①在图中画出点0；

②连接PQ,交线段CW于点T,求证：NT=LOM；

2

（2）。。的半径为1,M是。。上一点，点N在线段。河上，且ON=f（工若

2

P为。。外一点，点。为点P的“对应点”，连接P。.当点M在。。上运动时，直接写

第2页（共10页）

3.(2021•北京)在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为1.对于点/和线段3C,给出如

下定义：若将线段8C绕点N旋转可以得到的弦夕C(夕，C分别是3,。的

对应点)，则称线段2C是OO的以点/为中心的“关联线段

(1)如图，点/,B\,Ci，Bi,Ci，Bi,。3的横、纵坐标都是整数.在线段囱Ci，32c2,

83c3中，。。的以点/为中心的“关联线段”是；

(2)△NBC是边长为1的等边三角形，点/(0,/),其中/W0.若是。。的以点/

为中心的“关联线段”，求f的值；

(3)在中，AB=1,AC=2.若是的以点/为中心的“关联线段”，直接

写出。4的最小值和最大值，以及相应的BC长.

第3页(共10页)

4.（2020•北京）在平面直角坐标系xQy中，。。的半径为1,A,3为。。外两点，48=1.

给出如下定义：平移线段N3,得到的弦4夕（4,B'分别为点/,8的对应点），

线段区4'长度的最小值称为线段到OO的“平移距离”.

（1）如图，平移线段得到O。的长度为1的弦尸欠2和尸3P4，则这两条弦的位置关

系是;在点尸1,Pl,P3,尸4中，连接点/与点的线段的

长度等于线段到。。的“平移距离”；

（2）若点/,2都在直线了=逐》+2北上，记线段42到OO的“平移距离”为由，求

d\的最小值；

（3）若点N的坐标为（2,2）,记线段到。。的“平移距离”为d2,直接写出为

2

的取值范围.

第4页（共10页）

5.(2019•北京)在△A8C中，D,£分别是△NBC两边的中点，如果窟上的所有点都在4

N8C的内部或边上，则称宛为△48C的中内弧.例如，图1中血是△NBC的一条中内

弧.

(1)如图2,在RtZ\/BC中，AB=AC=272-D,£分别是N3,NC的中点，画出△

/8C的最长的中内弧而，并直接写出此时赢的长;

(2)在平面直角坐标系中，己知点/(0,2),B(0,0),CC4t,0)(f>0),在△48C

中，D,£分别是NC的中点.

①若t=X,求△NBC的中内弧廉所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；

2

②若在△N8C中存在一条中内弧宛，使得茄所在圆的圆心尸在△/BC的内部或边上，

直接写出/的取值范围.

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6.(2018•北京)对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义：P为图形M上

任意一点，0为图形N上任意一点，如果P,。两点间的距离有最小值，那么称这个最

小值为图形跖N间的“闭距离“，记作4(M,N).

已知点/(-2,6),3(-2,-2),C(6,-2).

(1)求d(点。，AABC)；

(2)记函数后W0)的图象为图形G.若d(G,△45C)=1,直接

写出发的取值范围；

(3)。7的圆心为TG,0),半径为1.若“(07,△/8C)=1,直接写出/的取值范

围.

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7.（2017•北京）在平面直角坐标系x0y中的点P和图形给出如下的定义：若在图形M

上存在一点。，使得产、。两点间的距离小于或等于1,则称P为图形〃的关联点.

（1）当。。的半径为2时，

①在点P1（X0）,尸2（X近），P3（5，0）中，OO的关联点是.

2222

②点P在直线y=-x上，若P为的关联点，求点P的横坐标的取值范围.

（2）OC的圆心在x轴上，半径为2,直线y=-x+1与x轴、y轴交于点/、B.若线段

AB上的所有点都是（DC的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围.

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8.（2016•北京）在平面直角坐标系xOy中，点尸的坐标为（xi,〃），点。的坐标为（x2,

y2）,且xi#x2,yiW”，若P,。为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴

垂直，则称该矩形为点尸，0的“相关矩形”，如图为点P,0的“相关矩形”示意图.

（1）已知点/的坐标为（1,0）,

①若点2的坐标为（3,1）,求点4,2的“相关矩形”的面积；

②点C在直线x=3上，若点n,C的“相关矩形”为正方形，求直线NC的表达式；

（2）。。的半径为加，点M的坐标为（m,3）,若在OO上存在一点N,使得点M,N

的“相关矩形”为正方形，求加的取值范围.

J'A

5-

4

3

2

1

□12345.x

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9.（2015•北京）在平面直角坐标系xOy中，的半径为r,P是与圆心C不重合的点，

点尸关于OC的反称点的定义如下：若在射线C尸上存在一点P,满足CP+CP'=2r,则

称P为点P关于0c的反称点，如图为点P及其关于OC的反称点P的示意图.

特别地，当点P与圆心C重合时，规定CP=0.

（1）当。。的半径为1时.

①分别判断点M（2,1）,N（2,0）,T（1,圾）关于OO的反称点是否存在？若存

2

在，求其坐标；

②点P在直线y=-x+2上，若点尸关于。。的反称点尸'存在，且点P不在x轴上，

求点P的横坐标的取值范围；

（2）OC的圆心在x轴上，半径为1,直线y=-叵什2%b与x轴、y轴分别交于点

3

B,若线段48上存在点尸，使得点P关于OC的反称点P在。。的内部，求圆心C的

横坐标的取值范围.

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10.(2014•北京)对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0,对于任意的函数值外

都满足-MWyWM,则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为

这个函数的边界值.例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1.

(1)分别判断函数>=工(x>0)和y=x+l(-4<xW2)是不是有界函数？若是有界函

x

数，求其边界值；

(2)若函数y=-x+l(aWxWb,b>a)的边界值是2,且这个函数的最大值也是2,求

b的取值范围；

(3)将函数%20)的图象向下平移加个单位，得到的函数的边界

值是3当比在什么范围时，满足

第10页(共10页)

2023~2014北京十年中考数学分类汇编一一新定义

参考答案与试题解析

1.在平面直角坐标系xOy中，的半径为1.对于的弦和。。外一点C给出如

下定义：若直线C4,CB中一条经过点。，另一条是。。的切线，则称点C是弦A3的

“关联点”.

（1）如图，点/（-1,0）,Bi（红），52（亚，

2222

①在点C1（-1,1）,C2（-V2，0）,。3（0,、历）中，弦/为的“关联点”是C1，

工；

②若点。是弦/历的“关联点”，直接写出。。的长；

（2）已知点”（0,3）,N（耳£,0）,对于线段上一点S,存在。。的弦尸。，使

得点S是弦尸。的“关联点”.记P。的长为3当点S在线段九W上运动时，直接写出,

的取值范围.

【分析】（1）根据题目中关联点的定义分情况讨论即可；

（2）根据3）,N（县氏，0）两点来求最值情况，共有两种情况，分别位于点M

5

和经过点O的的垂直平分线上，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.

【解答】解：（1）①由关联定义可知，若直线。、C8中一条经过点。，另一条是。。

的切线，则称点。是弦43的“关联点”，

:点/（-1,0）,Bi（匹），点Ci（-1,1）,。2（-^2，0）,C3（0,&）,

22

直线/C2经过点。，且历。2与O。相切,

•..C2是弦N81的“关联点”，

第1页（共26页）

,/Cl（-1,1）,/（-1,0）的横坐标相同，与囱（二巨，巨）都位于直线y=-X

22

上，

・・・4。与。。相切，5cl经过点O,

**•Ci是弦AB\的"关联点”；

故答案为：Cl,C2；

②（-1,0）,B1（亚，

22

则。比，NG所在直线为［yr-&，

ly=0

解得（xS,

ly=0

ACi（加，o）,

b、若/。2与。。相切，经过点。,

则直线。2比，/C2所在直线为h二-1,

ly=-x

解得［x=-L,

ly=l

：.Ci（-1,1）,

，。。2=加,

综上所述，oc=&；

（2）:线段ACV上一点S,存在OO的弦尸0,使得点S是弦尸0的“关联点”,

第2页（共26页）

:弦P。随着S的变动在一定范围内变动，且M(0,3),N(&d，0),OM>ON,

5

；.s共有2种情况，分别位于点"和经过点。的的垂直平分线上，如图所示，

①当S位于点M(0,3)时，MP为。。的切线，作尸JLLOM,

'：M(0,3),。。的半径为1且是。。的切线，

C.OPLMP,

"CPJLOM,

：.△MPOsXPOJ,

A0P_^0M(即工

ojOPojQ

解得。J=L,

3

.*.PJ=jQ[p2+Q]j2=2^,Q\J=^，

.••P0=Jpj2+Q]j2=_^,

22

同理PQ2=^/pj+Q2J=

...当S位于M(0,3)时，尸0的临界值为变短口义⑥;

33

②当S位于经过点。的儿W的垂线上的点K时，，

'：M(0,3),N0),

5_

-'-MV=VOM2-H3N2

b

第3页(共26页)

QM»QN

•<-0K==2,

MN

・・・。0的半径为1,

：.ZOKZ=30°,

：./\OPQ为等边三角形，

：.PQ=1或正，

...当S位于经过点O且垂直于〃N的直线上即点K时，PQi的临界点为1和

...在两种情况下，尸0的最小值在IWfW芈■内，最大值在2近4t<F，

33

综上所述，f的取值范围为IW/wZY：,

33

【点评】本题是圆的综合题，考查了最值问题，切线的性质，等边三角形的判定和性质，

勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握心概念“关联点”是解题的关键.

2.在平面直角坐标系宜打中，已知点M(a,b),N.

对于点P给出如下定义：将点尸向右(。20)或向左(a<0)平移同个单位长度，再向

上(620)或向下(6V0)平移向个单位长度，得到点P,点P关于点N的对称点

为Q,称点。为点尸的“对应点”.

(1)如图，点M(1,1),点N在线段的延长线上.若点尸(-2,0),点0为点P

的“对应点”.

①在图中画出点Q；

②连接P0,交线段ON于点7,求证：NT=1OM；

2

(2)。。的半径为1,M是。。上一点，点N在线段■上，且ON=»若

2

尸为O。外一点，点。为点尸的“对应点”，连接尸。.当点M在O。上运动时，直接写

第4页(共26页)

【分析】(1)①根据定义，先求出尸的坐标，从而得出。的位置;

②连接尸尸，利用三角形中位线定理得NT=L>P,从而证明结论;

2

(2)连接尸。，并延长至S,使。尸=。乱延长SQ到T,使ST=OM,由题意知，PP\

//OM,PPi=OM,PxN=NQ,利用三角形中位线定理得。7的长，从而求出SQ的长，

在△P0S中，PS-QS<PS+QS,则的最小值为尸S-QS,尸。的最大值为PS+QS,从

而解决问题.

【解答】解：(1)@由题意知,P(-2+1,0+1),

：.P'(-1,1),

如图，点。即为所求；

②连接PP,

VZP1PO=ZMOx=45°,

:・PP'〃ON,

,:P'N=QN,

：.PT=QT,

:.NT=LPP,

2

':PP'=OM,

:.NT=LOM-,

2

(2)如图，连接尸。，并延长至S,使。P=OS,延长S。到7,使ST=(W,

第5页(共26页)

：.TQ=2MN,

'：MN=OM-ON=1-t,

：.TQ=2-It,

：.SQ=ST-TQ=\-(2-2.t)=2t-l,

■:PS-QS^PQ^PS+QS,

：.PQ的最小值为PS-QS,PQ的最大值为PS+QS,

长的最大值与最小值的差为(尸S+QS)-(PS-QS)=2QS=4t-2.

【点评】本题是圆的综合题，主要考查了三角形中位线定理，三角形三边关系，平移的

性质等知识，解题的关键是理解定义，画出图形，利用三角形中位线定理求出。7的长

是解题的关键.

3.在平面直角坐标系xOy中，的半径为1.对于点N和线段3C,给出如下定义：若将

线段3c绕点/旋转可以得到OO的弦女CCB1,C分别是2,C的对应点)，则

称线段8c是。。的以点/为中心的“关联线段

(1)如图，点/,Bi,Ci,B2,CI,Bi，C3的横、纵坐标都是整数.在线段8C1,32c2,

33c3中，。。的以点/为中心的“关联线段”是B2c2;

(2)是边长为1的等边三角形，点/(0,/),其中tNO.若3c是。。的以点/

为中心的“关联线段”，求才的值；

(3)在△NBC中，48=1,NC=2.若2C是OO的以点/为中心的“关联线段”，直接

第6页(共26页)

写出。工的最小值和最大值，以及相应的3c长.

【分析】（1）利用旋转的性质以及点/到圆上一点距离的范围，结合图形判断，即可求

出答案.

（2）利用旋转的性质，“关联线段”的定义以及等边三角形的性质，求出夕C'的位置,

从而求出r的值.

（3）利用旋转的性质以及“关联线段”的定义，可知四边形NB'OC的各边长，利用

四边形的不稳定性，画出。/最小和最大时的图形，利用等腰三角形的性质以及勾股定

理求出答案.

【解答】解：（1）由旋转的性质可知：AB=AB',AC^AC',ZBAB'=NC4C',

由图可知点A到圆上一点的距离d的范围为&-,

"：ACi=?>>d,

.■.点G'不可能在圆上，

•••81。不是。。的以/为中心的“关联线段”，

'：ACi=\,AB?=述,

：.Ci'（0,1）,B2‘（1,0）,

..•B2C2是。。的以/为中心的“关联线段”，

：/C3=2,AB3=正,

当23,在圆上时，Bi'（1,0）或（0,-1）,

由图可知此时C3‘不在圆上，

.•.23C3不是。。的以/为中心的“关联线段”.

故答案为：B2c2.

第7页（共26页）

(2)..•△48C是边长为1的等边三角形，

根据旋转的性质可知△/女C'也是边长为1的等边三角形,

'：A(0,t),

：.B'C_Ly轴，且"C'=1,

:.AO为B1C边上的高的2倍，且此高的长为近,

2

.•“=正或--./3.

(3)OA的最小值为1时，此时3C的长为我，OA的最大值为2,此时2C的长为

2

理由：由旋转的性质和“关联线段”的定义，

可知AB'=AB=OB'=OC'=1,AC'=/C=2,如图1,

图1

利用四边形的不稳定性可知，

当O,C在同一直线上时，0/最小，最小值为1,如图2,

AZAB'C=90°,

•''B'C'=VAC'2-AB/2=V22-I2=Vs-

当A,B',。在同一直线上时，CM最大，如图3,

第8页(共26页)

A

C

O

图3

此时04=2,过点4作4£_L0C，于E,过点C'作C'于尸.

，：AO=AC,=2,AELOC',

：.OE=EC'

2

•■•^=VA02-0E2=^22-(y)2=^->

'-'S^AOC=^--AO'CF=A»OC,,AE,

22

：.c'b=®L,

4

，B'0f2+FC'2=Je）2+弯）2=坐.

综上ON的最小值为1,此时BC的长为"jW，。4的最大值为2,此时3C的长为限.

【点评】此题属于圆综合题，考查了旋转有关的新定义题，利用旋转的性质，等腰三角

形，等边三角形，勾股定理等知识点，本题的关键画出。/最小和最大时的图形，属于

中考压轴题.

4.在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为1,A,8为。。外两点，AB=\.

第9页（共26页）

给出如下定义：平移线段得到。。的弦49（4,B'分别为点/,2的对应点）,

线段长度的最小值称为线段N8到。。的“平移距离”.

（1）如图，平移线段N5得到。。的长度为1的弦尸1尸2和尸3尸4,则这两条弦的位置关

系是P\P?〃P3PA；在点尸1，P2,P3,尸4中，连接点/与点五的线段的长度等

于线段N5到。。的“平移距离”；

（2）若点/,8都在直线上，记线段N8到。。的“平移距离”为力，求

心的最小值；

（3）若点/的坐标为（2,3）,记线段到。。的“平移距离”为心，直接写出必

2

的取值范围.

【分析】（1）根据平移的性质，以及线段N2到。。的“平移距离”的定义判断即可.

（2）如图1中，作等边△（?£凡点£在x轴上，OE=EF=OF=1,设直线

交x轴于交y轴于N.贝!0）,N（0,2正），过点E作E8_LACV于X,解

直角三角形求出即可判断.

（3）如图2中，以/为圆心1为半径作04作直线。/交。。于交。/于N,以

04/8为邻边构造平行四边形N80O,以为边构造等边△048'和等边△08'A',

则B',AA'的长即为线段到。。的“平移距离”，点/'与河重合时，

的值最小，当点3与N重合时，44'的长最大，如图3中，过点/'作/'H工04于H.

解直角三角形求出44'即可.

【解答】解：（1）如图，平移线段得到。。的长度为1的弦P1P2和尸3尸4,则这两条

弦的位置关系是尸122〃23尸4；在点P1,尸2,尸3,尸4中，连接点/与点P3的线段的长度

等于线段到。。的“平移距离”.

故答案为：P1P2//P3P4,尸3.

（2）如图1中，作等边△OEF,点£在X轴上，OE=EF=OF=l,

第10页（共26页）

设直线V=J^x+2百交x轴于乂交丁轴于N.则M(-2,0),N(0,2%)，

过点E作EHLMN于H,

：(W=2,ON=2近,

tanZNMO=^3，

:./NMO=60°,

EH=EM*sin60°

2_

观察图象可知，线段到。。的“平移距离”为力的最小值为3

2

(3)如图2中，以/为圆心1为半径作。/,作直线O/交。。于交。/于N,

以CM,AS为邻边构造平行四边形N3DO,以OD为边构造等边△OD8',等边△。夕

A',则B',AA'的长即为线段N2到。。的“平移距离”，

当点/'与新重合时，AA'的值最小，最小值=04-(W=5-1=&，

22

当点5与N重合时，44'的长最大，如图3中，过点/'作HLO4于H.

第11页(共26页)

22

【点评】本题属于圆综合题，考查了平移变换，一次函数的性质，等边三角形的判定和

性质，解直角三角形，线段到。。的“平移距离”的定义等知识，解题的关键是理解

题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题.

5.在△48C中，D,E分别是△4BC两边的中点，如果走上的所有点都在△N2C的内部或

边上，则称笳为△ABC的中内弧.例如，图1中一命是△/BC的一条中内弧.

(.1)如图2,在Rt448C中，AB=AC=272>D,£分别是4S,NC的中点，画出△

N8C的最长的中内弧茄，并直接写出此时赢的长;

(2)在平面直角坐标系中，已知点/(0,2),B(0,0),C(460)(?>0),在△45C

中，D,£分别是48,NC的中点.

①若/=工，求△NBC的中内弧笳所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；

2

②若在A/BC中存在一条中内弧品，使得益所在圆的圆心P在A/BC的内部或边上，

直接写出r的取值范围.

第12页(共26页)

【分析】(1)由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得。E=2,最长中内弧即以DE

为直径的半圆，.施的长即以DE为直径的圆周长的一半；

(2)根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上，①当f=工时，要注意

2

圆心P在DE上方的中垂线上均符合要求，在DE下方时必须AC与半径PE的夹角/AEP

满足90°W/AEPO35。；②根据题意，f的最大值即圆心P在/C上时求得的/值.

【解答】解：(1)如图2,以。£为直径的半圆弧窟，就是△48C的最长的中内弧廉，

连接。£,

：//=90°,AB=AC=2/^，D,E分别是NB,/C的中点，

,

:.BC=A，=__=4,JD£=XSC=AX4=2,

sinBsin45022

.,.弧DE=LX2TT=TT；

2

(2)如图3,由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接。E,作。£

垂直平分线尸尸，作EG_L/C交FP于G,

①当时，C(2,0),：.D(0,1),E(1,1),F(X1),

22

设尸(工，小)由三角形中内弧定义可知，圆心在线段。E上方射线尸尸上均可，

2

'：OA=OC,ZAOC=90°

：.ZACO=45°,

'JDE//OC

：.ZAED^ZACO^45°

作EG_L/C交直线尸尸于G,FG=EF=1.

2

根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方(含点G)直线EP上时也符合要求；

2

综上所述，加》1.

2

②如图4,设圆心尸在/C上，

:尸在中垂线上，

尸为/£中点，作PM_LOC于则尸河=3,

2

第13页(共26页)

：.P(63),

2

'."DE//BC

：.ZADE=ZAOC=90°

•■•^=VAD2+DE2=Vl2+(2t)2=V4t2+l'

,:PD=PE,

：.ZAED=ZPDE

'：ZAED+ZDAE=ZPDE+ZADP=9Q°,

ZDAE=ZADP

:.AP=PD=PE=XAE

2

由三角形中内弧定义知，PDWPM

AEW3,即J4t2十产3,解得：fW衣,

Vz>0

.•.0<f^V2.

如图5,设圆心尸在BC上，则P(f,0),

。尸与NC相切于点£为临界状态，过点P作"而为△NBC的中内弧，只需尸M

W1即可，由/XEMPS&4BC,得产〃=2於，故(W四,

V?>0,

综上所述，，的取值范围为：

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【点评】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给

出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题.

6.对于平面直角坐标系xOy中的图形N,给出如下定义：P为图形"上任意一点，Q

为图形N上任意一点，如果尸，0两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形

N间的“闭距离“，记作dCM,N).

已知点N(-2,6),8(-2,-2),C(6,-2).

(1)求d(点。，△NBC)；

(2)记函数kWO)的图象为图形G.若d(G,/\ABC)=1,直接

写出发的取值范围；

(3)。7的圆心为0),半径为1.若4(07,AABC)=1,直接写出,的取值范

围.

【分析】(1)根据点N、B、C三点的坐标作出△N3C,利用“闭距离”的定义即可得；

(2)由题意知了=h在-IWXWI范围内函数图象为过原点的线段，再分别求得经过(1,

-1)和(-1,-1)时人的值即可得；

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(3)分在△N2C的左侧、内部和右侧三种情况，利用“闭距离”的定义逐一判断即

可得.

【解答】解：(1)如图所示，点。到△/2C的距离的最小值为2,

：.d(点O,AABC)=2；

(2)y=Ax(左W0)经过原点，在-IWxWl范围内，函数图象为线段，

当〉=依(-IWxWl,kWO)经过(1,-1)时，k=-1,此时d(G,△48C)=1；

当〉=依(-iWxWl,30)经过(-1,-1)时，k=l,此时d(G,△ABC)=1；

-IWkWl,

二-1W左W1且4WO；

(3)OT与△/8C的位置关系分三种情况：

①当07在△/BC的左侧时，由4(。？，AABC)=1知此时/=-4；

②当在△/2C内部时，

当点T与原点重合时，d(Or,△48C)=1,知此时f=0；

当点7位于？3位置时，由4(。7,△NBC)=1知73M=2,

;AB=BC=8、ZABC=90°,

：.ZC=ZTjDM=45o,

.TqM2r~

则w-历

cos4572

~2~

：.t=4-2后,

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故此时0W/W4-2加；

③当在△/8C右边时，由△/8C）=1知北N=2,

"：ZTADC=ZC=45°,

TN

•T.D-4__2__2./7

・・140----------...-r--2y2，

cos45V2_

2

.1=4+2企;

综上，f=-4或0WK4-2&或/=4+2近.

【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“闭距离”的定义与直

线与圆的位置关系和分类讨论思想的运用.

7.在平面直角坐标系xOy中的点尸和图形给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q,

使得尸、0两点间的距离小于或等于1,则称尸为图形M的关联点.

（1）当。。的半径为2时，

①在点尸1（1,0）,尸2（X近），P3（$，0）中，。。的关联点是P2,尸3.

2222

②点P在直线y=-x上，若尸为OO的关联点，求点P的横坐标的取值范围.

（2）OC的圆心在x轴上，半径为2,直线y=-x+1与x轴、y轴交于点/、8.若线段

AB上的所有点都是OC的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围.

【分析】（1）①根据点P（X0）,尸2（工，工^）,P3（5,0）,求得。p=LOP2

22222

=1,OB=»，于是得到结论；②根据定义分析，可得当最小y=-x上的点P到原点

2

的距离在1到3之间时符合题意，设尸（x,-x）,根据两点间的距离公式即可得到结论;

（2根据已知条件得到/（1,0）,B（0,1）,如图1,当圆过点/时，得到。（-2,0）,

如图2,当直线与小圆相切时，切点为D,得到0）,于是得到结论；如

图3,当圆过点。，则NC=1,得到C（2,0）,如图4,当圆过点3,连接8C,根据勾

股定理得到C（2加,0）,于是得到结论.

【解答】解：⑴①...点Pig,0）,p2（l,p3（l,o>

15

•••OP—，Op=1,op=^>

，尸1与。。的最小距离为3,尸2与。。的最小距离为1，。尸3与。。的最小距离为工，

22

，。。的关联点是尸2,尸3；

故答案为：Pl,尸3；

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②根据定义分析，可得当直线y=-x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意,

.•.设P(x,-x),当OP=\时，

由距离公式得，OFH(x-o)2+(-x-o)2=r

当OP=3时，OP=V(x-0)2+(-x-0)2=3;

解得：+^/2_:

2

点尸的横坐标的取值范围为：小x＜一尊或喙4《平;

(2):直线y=-x+1与x轴、y轴交于点/、B,

：.A(1,0),B(0,1),如图1,当圆过点/时，此时，。=3,

：.C(-2,0),

如图2,当直线与小圆相切时，切共为D,

：.CD=1,

:直线48的解析式为y=-x+1,

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，直线N5与x轴的夹角为45°,

AC=&，

c(1-V2,0),

...圆心C的横坐标的取值范围为：-2WXCW1-&；

如图3,当圆过点。，则/C=l,

：.C(2,0),

如图4,当圆过点3,连接2C,此时，BC=3,

0C=V32-l=2近，

.,.C(272,0).

工圆心。的横坐标的取值范围为：2《乂042\回；

综上所述：圆心C的横坐标的取值范围为：Xc<If历或24

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【点评】本题是圆的综合题，考查了一次函数的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系,

两点间的距离公式，正确的作出图形是解题的关键.

8.在平面直角坐标系苫3＞中，点尸的坐标为（XI,V），点。的坐标为（X2,二），且X1W

X2,yi^y2,若尸，。为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称

该矩形为点P,。的“相关矩形”，如图为点P,。的“相关矩形”示意图.

（1）已知点/的坐标为（1,0）,

①若点2的坐标为（3,1）,求点4,2的“相关矩形”的面积；

②点C在直线x=3上，若点4C的“相关矩形”为正方形，求直线NC的表达式；

（2）。。的半径为我，点M的坐标为（加，3）,若在。。上存在一点N,使得点M,N

的“相关矩形”为正方形，求加的取值范围.

VA

5-

4

O

3

2

1

j-------1-------1-------1-------1->

□12345x

【分析】（1）①由相关矩形的定义可知：要求/与2的相关矩形面积，则必为对角

线，利用N、8两点的坐标即可求出该矩形的底与高的长度，进而可求出该矩形的面积；

②由定义可知，/C必为正方形的对角线，所以/C与x轴的夹角必为45,设直线/C的

解析式为；y=kx+b,由此可知人=±1,再（1,0）代入〉=履+6,即可求出6的值；

（2）由定义可知，必为相关矩形的对角线，若该相关矩形的为正方形，即直线

与x轴的夹角为45°,由因为点N在圆。上，所以该直线九W与圆。一定要有交点，

由此可以求出m的范围.

【解答】解：⑴①♦.1（1,0）,B（3,1）

由定义可知：点/,2的“相关矩形”的底与高分别为2和1,

...点/,8的“相关矩形”的面积为2X1=2；

②由定义可知：/C是点/,C的“相关矩形”的对角线，

又；点4,。的“相关矩形”为正方形

直线/C与x轴的夹角为45°,

设直线/C的解析为：y=x+m^y=-x+n

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把（1,0）分别y=x+%

••m=-1,

・,・直线4C的解析为：＞=%-1,

把（1,0）代入y=-x+n,

・・〃=1,

••y='~x+1,

综上所述，若点aC的“相关矩形”为正方形，直线/C的表达式为y=x-1或＞=-

x+1；

（2）设直线MN的解析式为》=京+儿

..•点M,N的“相关矩形”为正方形，

,由定义可知：直线与x轴的夹角为45°,

'.k=+\,

:点N在O。上，

当直线与。。有交点时，点M,N的“相关矩形”为正方形，

当斤=1时，

作。。的切线和8C,且与直线MN平行，

其中/、。为。。的切点，直线与y轴交于点直线3c与了轴交于点3,

连接。4,OC,

把M（〃?，3）代入y=x+6,

.".b=3-m,

直线跖V的解析式为：y=x+3-m

VZADO=45°,ZOAD=90°,

：.OD=®OA=2,

：.D（0,2）

同理可得：B（0,-2）,

・••令x=0代入y=x+3-m,

•\y=3-m,

：.-2W3-mW2,

1WmW5,

当左=-1时，把Af（加，3）代入y=-x+b,

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.".b—3+m,

，直线MN的解析式为：y=-x+3+m,

同理可得：-2W3+/