2024-2025学年北师大版九年级数学上册专项复习：正方形中的几何综合（压轴题）解析版

正方形中的几何综合

♦思维方法

正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从

可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。

逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发

进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采

用间接证明。

分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每

一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并

非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：

1.不重（互斥性）不漏（完备性）；

2.按同一标准划分（同一性）；

3.逐级分类（逐级性）。

♦知识点总结

一、正方形的定义

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

二、正方形的性质

1.正方形的四条边都相等，四个角都是直角；

2.正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

3.正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质；

4.两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴.

三、正方形的判定

1.先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；

2.先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；

3.还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定.

♦典例分析

【典例1】问题背景：如图1,在正方形48CD中，点E、F分别在边BC、CD上，N比1F=45。,

(1)求证：EF=BE+DF；

(2)迁移应用：如图2,在正方形48C。中，Q4Q8交CD于点G、H,若NAQB=45。，CH=3,GH=1,

求4G的长；

(3)联系拓展：如图3,在矩形2BCD中，点E、F分别在边BC、CD上，^EAF=45°,若

DF-.AD-.AB=1:2:4,探究8E与EC的数量关系，并给出证明.

【思路点拨】

(1)先判断出RtAABE三RtAADP(SAS),得出4E=2P,NB力E=ZZMP,再判断出三△APF(AAS),

即可得出结论；

(2)先判断出A4BM三△BCH(ASA),得出CH=3=BM,设DG=a,则GM=a+3,CM=a+1,再根据

勾股定理得出(a+3/=42+(a+1尸，求出a=l,即可得出结论；

(3)先判断出四边形2MND是正方形，设=得出AD=2m=DN,再设BE=2x,则fT=x+m,

4

利用勾股定理得出2刀=髀，即可得出结论.

【解题过程】

(1)证明：延长FD至IJ点P使DP=BE,连接4P,

图1

•・•正方形ABC。，

・•.AB=AD,"DP=AABE=90°,

在Rt△ABE和Rt△ADP中，

(AB=AD

]/-ABE=4ADP,

(BE=DP

・•.Rt△ABE=Rt△尸(SAS),

・•.AE=AP,/-BAE=Z.DAP,

vZ-DAE+Z-BAE=90°,

£.DAE+/LDAP=90°,

vAEAF=45°,

・•.LEAF=L.FAP=45°,

在△AEF和AAPF中，

(AE=AP

]^EAF=Z.FAP,

IAF=AF

・••△AEFw△4PF(SAS),

・•.EF=PF,

DP=BE,

•••EF=BE+DF；

(2)如图2,过点A作交BC于M,交BH于I,连接GM,

Q

图2

A^LBAM+/.ABI=90°,

•••/-ABI+乙CBH=90°,

Z.BAM=乙CBH,

v/-ABM==90°,AB=BC,

・•.△ABM=△BCH(ASA),

CH=3=BM,

•・•4Q=45°,

/.Z.QAM=45°,

由(1)知，GM=BM+DG,

设。G=a,

*'.GM=BM+DG=a+3,

BC=CD=a+4,

*'.CM=a+4—3=a+l,

在山△MCG中,GM2=GC2+CM2,

(a+3)2=42+(a+l)2,

•*,CL—2,

DG=2,

在Rta/lDG中，根据勾股定理得，AG=V62+22=2V10；

(3)BE=2EC,

证明：如图3,分别取48,4E的中点M,T,连接MT并延长MT交CD于N,连接TF,

图3

MT||BE,MT=^BE,

・••乙AMN=90°=乙DAM=乙D,

・•・四边形ZMND是正方形，

DF\AD\AB=1:2:4,

设。F=m,

AD=2m=DN,

・•.矩形AMNO是正方形，

vAEAF=45°,

.•.由(1)知,FT=DF+TM,

■■■MT=^BE,

设BE=lx,

・•.FT=DF+TM=%+m,

在Rt△FTN中,FT2=FN2+T/V2,

•••(%+m)2=m2+(2m—%)2,

c4

2x=-m,

4

•••BE=-m,

2

EC=BC—BE=-m,

・•.BE=2EC.

♦学霸必刷

1.（23-24九年级上•河南郑州•阶段练习）如图，在△4BC中,AC=6,BC=8,AB=10.分别以4B、

AC,BC为边在AB的同侧作正方形ACPQ,BCMN,四块阴影部分的面积分别为Si、S2、S3、S4.则

C.24D.12

【思路点拨】

此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、勾股定理、根据面积等式列方程求线段的长度、运用转化

思想求图形面积等知识与方法，正确地作出所所需要的辅助线是解题的关键，设2尸交BP于点/,EF交CM于

点。，作CGq/于点G,CHJ.AB于点H,求出=再根据勾股定理求得CG=AH=费，由"争/=

1cq27

"6G=求得4/=fC/,再根据勾股定理列方程求得G=I，即可求得5△"/=彳，则Si=S正方形"PQ

—S&4c/=募，再证明△凡4。三△48/，则S2=S△尸—S&4C/=S443/—S&4C/=万x6x8=24,然后证

77

明△ErBN=△ABC,则S4=S公ABC=24,S四边形=S正方形幺招尸一$2-S^ACI-S^ABC=彳,所以S3=

S正方形BCMN一S四边形BCDE一54=万，取后求得Si-2S2—3S3+4S4=66；

【解题过程】

解：如图，设4尸交BP于点/,EF交CM于点、D,作CGL4于点G,CHLAB于点H,

■,■AC=6,BC=8,AB=10,

.-.AC2+BC2=极=100,

aaBC是直角三角形，且乙4cB=90°,

•••|x10CH=|X6X8=SAABC,

24

・•・CH，，

•.•四边形4BEF、四边形4CPQ、四边形BCMN都是正方形,

：.^CHA=4HAG=^AGC=AACP=乙BCM=90°,

二.四边形AHCG是矩形，

；.CG=AH=VAC2—CH2=J62—偿)=竽，

X?/=jx6CI=SAAC/f

­.AI=|C/,

.•.(|C/)2=C/2+62,

9

-,-rCjI=

1Q27

=5X6X5=3，

2745

'Si=S正方形/CPQ—S^ACi=6x6——=~,

+Z.ACP=180°,乙ACB+乙BCM=180°,

：,B、C、尸三点在同一条直线上，A,C、河三点在同一条直线上，

-FA=AB,Z.F=Z.BAI=90°,

：.Z-FAD=乙ABi=90°-4BAD,

.\AFAD=AABI(ASA)f

•••S"/Z)=SA4B/，

1

・・・S2=S△尸4。—SAAC/=S^ABi—SMCI—S/UBC=-x6x8=24,

设射线BE交MN于E',

..ZN=乙ACB=/.ABE=乙CBN=90°,BN=BC,

"E，BN=AABC=90°一乙CBE,

・•.△ENN三△ZBC(ASA),

:.E'B=AB=EB,

・••点E在MN上，

•••^4=S^ABC=24,

2777

•••S四边形BCOE=S正方形4BEF一$2一/^ACl-^ABC=102~24-彳-24=3，

773

2

•••S3=S正方形BCMN-S四边形BCDE—S4=8——--24=

453

••S\—2s2—3s3+4S4—~—2x24—3x—+4x24—66,

故选：A.

2.(23-24九年级下•湖南邵阳•阶段练习)如图，在正方形4BCD中，E是对角线BD上一点，且满足

BE=BC.连接CE,并延长交4。于点R连接4E,过8点作BG14E于点G,延长BG交4。于点在下列

结论中：①垂直平分AE；@AH=DF；③DF=DE；④乙4EF=45°；⑤S四边形EFHG=SADEF+

SAAGH，其中正确的结论有()个.

A.2B.3C.4D.5

【思路点拨】

先根据正方形的性质和BE=8C得到48=BE,进而判断垂直平分4E,故①正确，然后判断出

乙DAE=乙ABH,再判断△ADE^△CDE得出AD4E=乙DCE=22.5°,UBH=乙DCF,再判断出Rt

△48”三口△DCF从而得到②正确，根据三角形的外角求出=45。，得出④正确；结合②④可得

DF=DE即可得③正确；连接HE,判断出S^EFH力S^EFD得出⑤错误.

【解题过程】

解:•••8D是正方形4BCD的对角线，

•••^ABE=乙ADE=乙CDE=45°,4F=BC,

•••BE=BC,

AB=BEf

,:BG1AE,

・•・是线段ZE的垂直平分线，乙ABH=乙DBH=22.5°,

故①正确；

在RtZkZBH中，AAHB=90°-£.ABH=67.5°,

•・•UGH=90°,

Z.DAE=Z.ABH=22.5°,

(DE=DE

在△ADE^△COE中，｛乙ADE=乙CDE=45°,

IAD=CD

•••△/OEwZkCDE(SAS),

ZP^E=ZDCE=22.5°,

・•・乙ABH=2DCF,

qBAH=乙CDF

在Rt△ZB”和Rt△DCF中，［AB=CD,

JABH=乙DCF

Rt△ABH=Rt△DCF(ASA),

・•・AH=OF,Z.CFD=乙AHB=67.5°,

故②正确；

vZ.CFD=Z.EAF+Z.AEF,

・•・67.5°=22.5°+Z.AEF,

・•・AAEF=45°,

故④正确；

•・•"DE=4$o/DFE=Z.FAE+Z.AEF=22.5°+45°=67.5°,

“DEF=180°-45°-67.5°=67.5°,

DF=DE,

故③正确；

如图，连接

・•・是4E垂直平分线，

AG—EG,

・••^AAGH=S/\HEG，

•・,AH=HE,

・•・Z.AHG=Z-EHG=67.5°,

・•・乙DHE=45°,

•・・Z.ADE=45°,

・•・乙DEH=9O°ZDHE=乙HDE=45°,

：・EH=ED,

・•.△DEH是等腰直角三角形，

vEF不垂直D”，

・•.FH手FD,

•••S^EFHWS^EFD，

•••S四边形EFHG=S^HEG+S&EFH=^AAHG+^AEFH。^/\DEF+SAAGH，故⑤错误，

・•・正确的是①②③④，

故选：C.

3.（23-24九年级下•江苏无锡•阶段练习）如图，在正方形4BCD中，AB=4,对角线AC上的有一动点尸，

以DP为边作正方形DPFG.下列结论：①在尸点运动过程中，尸点始终在射线BC上；②在尸点运动过程中,

NCPD可能为135。；③若E是DC的中点，连接EG,则EG的最小值为鱼；④△CDP为等腰三角形时，4P的

值为2鱼或4V^-4.其中结论正确的是（）

A.①②③B.①③④C.①③D.②④

【思路点拨】

由“SAS”可证三可得/PHD=々PCF=135°,可证点8,点C,点尸三点共线，故①正确;

由三角形的外角可得NCPD不可能为135。，故②错误；由三△DGE（SAS）,可得EG=PN,当NP14C

时，NP有最小值为五，即EG有最小值为五，故③正确；由等腰三角形的性质可得2P的值为2包或4立

-4,故④正确，即可求解.

【解题过程】

解：连接CF,过点P作PH1PC交C。于〃，如图所示:

•.•四边形4BCD和四边形DPFG是正方形,

.-.PD=PF/DPF=4HPC=90°,AACB=AACD=45°,

：/DPH=乙CPF,乙PCH=4PHC=45°,

：.PH=PC,/.PHD=135°,

△DPH三△FPC(SAS),

;/PHD=乙PCF=135°,

:.Z.ACB+Z.PCF=180°,

.•点B,点C,点尸三点共线，

・•・在尸点运动过程中，尸点始终在射线BC上，故①正确;

假设NCPD=135°,

•••ZCPD=^CAD+^ADP^CAD=45°,

：./.ADP=90°,

则点尸与点C重合，

此时/CPD不存在，故②错误；

取4。的中点N,连接PN,如图所示：

AND

BCF

•・•点N是/O的中点，点£是。0中点，

；.AN=DE=DN=2,

-/.ADC=乙PDG=90°,

：.Z-ADP=乙GDE,

又,:DP=DG,

△DPN=△OGE(SAS),

­.EG=PN,

・・•点尸是线段AC上一点，

.•.当NP14C时，NP有最小值，

■■^CAN=45°,

止匕时4P=NP=争IN=V2，

•••EG有最小值为VL故③正确；

'.'AD=CD=4,

：.AC=y/2AD=4V2,

当点尸是ac中点时，HP=PD=PC=2鱼，则△PCD是等腰三角形,

当CP=CD=4时，△PCD是等腰三角形，

止匕时力P=4V2-4,

.•.△CDP为等腰三角形时，AP的值为2五或4五—4；故④正确；

综上分析可知，①③④正确，

故选：B.

4.(22-23八年级下•辽宁铁岭•阶段练习)如图，£是正方形力BCD外一点，连接AE、BE、DE,AF1AE交

DE于点,F,若4E=4F=2,BF=2V5.下列结论：(1)AAFD=AAEB-,@BE1DE：③四边形4EBF的

面积是2+4茄：④点8到直线4E的距离为巡；⑤4/=16+4e.其中结论正确的个数是()

AD

A.4个B.3个C.2个D.1个

【思路点拨】

可证△AFD三/XAEB(SAS),可判断①；可得N4GD+N4DF=90。，从而可证乙4BE+NBGE=90。，可

判断②；EF-V2XE=2V2,可求BE=2U，由S四边形AEBF=SAIEF+SABEF即可求解，可判断③；过点B

作BH14E延长线于点H,可证△BE"是等腰直角三角形，由BE=&BH,可判断④；可求4"=2+连,

由ZB?=BH2+4”2即可求解，可判断⑤.

【解题过程】

解：••・四边形2BCD是正方形，

•••Z_B4D=90°,AD=AB,

vAF1AE,

・♦・Z-DAF+Z.BAF=Z.BAE+乙BAF,

・♦・Z-DAF=Z.BAE,

在△4FD和aAEB中

(AF=AE

{/.DAF=/-BAE,

(AD=AB

•t.AAFD=AAEB(SAS),

故结论①正确；

如图，

AD

由①得：^ADF=^.ABE,

^AGD+^ADF=90°,

Z-AGD=乙BGE,

^LABE+^LBGE=90°,

・•・Z.BEF=90°,

・••BE1DE,

故结论②正确；

AE=AF=2,

EF=y[2AE=2V2,

•••BF=2V5,

•••BE=7BF2-EF2

=J(2㈣2_q回2=2V3,

S四边形/EBF=^AAEF+S^BEF

11

=-T4E-AF-V-BE•EF

11

=—x2x2+—x2V3x2V2

=2+2V6；

故结论③错误；

如图，

过点B作BH14E延长线于点H,

由①得：AAEF=45°,

•••乙BEF=90°,

:.乙BEH=45°,

是等腰直角三角形，

BE=y/2BH,

2>/3=V2BH,

•••BH=EH=V6,

点B到直线力E的距离为历，

故结论④错误；

•••AH=AE+EH

—2+V6,

AB2=BH2+AH2

22

=(V6)+(2+V6)

=16+4-\/6,

故结论⑤正确；

二结论正确的是①②⑤，个数是3个.

故选：B.

5.(2023•江苏南通•二模)如图，在边长为4的正方形A8CD中，点E为边BC的中点，点F为边4B上的动点,

以EF为一边在EF的右上方作等边三角形FEG,当CG最小时，^ECG的周长为.

【思路点拨】

以CE为一边在正方形力BCD内作等边△CEH,连接FH,过点H作HP1BC于点P,过点F作尸T1HP于点7,

先证四边形8FTP为矩形，再证和aEGC全等得FH=CG,再由NFEH=90。得FH2FT,由此可得

出当点T与点H重合时，FH=BP=3为最小，即CG为最小，最小值为3,然后再求出FB,EF即可得出当CG

最小时，△ECG的周长.

【解题过程】

解：以CE为一边在正方形48CD内作等边连接FH,

过点H作HP1BC于点P,过点F作尸T1HP于点T,

•.•四边形力BCD为正方形，且边长为4,

：.BC=4,NB=90°,

•・•点E为BC的中点，

BE=CE=2,

•••△EFG和△CEH均为等边三角形，HP1BC,

：.EF=EG,EH=EC,^FEG=ACEH=60°,EP=PC=1,

vHPIBC,FTVHP,NB=90。，

•••四边形BFTP为矩形，

・•・FB=TP,BP=FT=BE+EP=3,

•・•乙FEG=ACEH=60°,

•••乙FEG+乙HEG=乙CEH+乙HEG,

BP：乙FEH=^CEG,

(EF=EG

在和△EGC中，］/-FEH=Z.CEG,

IEH=EC

AEGC(SAS),

・•・FH=CG,

v^FTH=90°,

・•.FH>FT,

・•・当点T与点“重合时，FH=BP=3为最小,

即CG为最小，最小值为3,

在RtZXHEP中，EP=1,AEHP=30°,

■■.EH=2EP=2,

由勾股定理得：HP=7EH2一EP2=VJ,

•••FB=HP=W

在Rt2XBEF中，BE=2,FB=曲,

由勾股定理的EF=7BE2+BF2=V7,

•1•EG=EF=V7,

••.AECG的周长为：EG+EC+CG=V7+2+3=5+V7.

即当CG最小时，AECG的周长为5+V7.

故答案为：5+V7.

6.（23-24九年级上•辽宁丹东•期末）如图，正方形4BCD,点E是射线A8上的动点，过点E作EFII08,交

直线力。于点F,连接DE,取DE中点G,连接FG并延长交直线DB于点H,若AB=4,EB=3,则FH的长为.

【思路点拨】

当点E在线段4B上时，作HM_L/W于M,由正方形的性质可得乙4=90°,AD=AB=4,^ADB=^ABD=45°,

证明△4EF是等腰直角三角形，AE=AF=AB-AE=1,EF=V2,证明△EFG三△DHG得出

DH=EF=V2,证明是等腰直角三角形得出D"=HM=LMF=AD-AF-DM=2,最后由勾

股定理FH=VMF2+M//2,计算即可得出答案；当点E在射线4B上时，同样的方法即可求解.

【解题过程】

解：点E在线段4B上时，如图，作HM14D于M,

ZX=90°,AD=AB=4,乙ADB=^ABD=45°,

•・•EF||BD,

••・^AEF=/LABD=45°,^AFE=^ADB=45°,

・•・/LAFE=Z.AEF=45°,

・・・△/EF是等腰直角三角形，

：.AE=AF=AB-AE=4-3=1,

・•・EF=y/AF2+AE2=Vl2+l2=V2,

•・•EF||BD,

・••乙FEG=乙HDG,

・・・G为DE的中点，

:.DG=EG,

(AFEG=乙HDG

在△EFG和△D"G中，｛/-FGE=2LHGD,

IDG=EG

*'•△EFG=△DHG(ASA),

•••DH=EF=V2,

■.■HMLAD,^HDM=45°,

•.ADMH是等腰直角三角形，

DM=HM,

DM2+HM2=DH2=2,

■■.DM=HM=1,

MF=AD-AF-DM=4-1-1=2,

...FH=7MF2+MH2=722+12=Vs-

当点E在射线48上时，如图，作HN14D于N,

F

~~|C

"四边形4BCD是正方形，AB=4,

・••乙DAB=90°,AD=AB=4,乙ADB=乙ABD=45°,

•・•EF||BD,

・•・^AEF=乙ABD=45°,Z.AFE=2ADB=45°,

・•・^AFE=^AEF=45°,

・・.△ZEF是等腰直角三角形，

：.AE=AF=AB+AE=4+3=7f

・•・EF=yjAF2+AE2=V72+72=7VL

•・•EF||BD,

・•・乙FEG=乙HDG,

・・・G为OE的中点，

DG=EG,

（^FEG=乙HDG

在△EFG和△DUG中，］Z-FGE=/LHGD,

IDG=EG

EFG=△DHG（ASA）,

•••DH=EF=7vL

HNLAD,AHDN=45°,

・•.△DNH是等腰直角三角形，

：.DN=HN,

■：DN2+HN2=DH2=98,

：.DN=HN=7,

NF=DF+DN=7+3=10,

...FH=7NF2+NH2=V1024-72=V149；

故答案为：石或V149.

7.（2024•山东临沂•二模）如图，已知四边形ABC。为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE,过点E作

EF1DE,交BC的延长线于点尸，以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.下列结论：①矩形DEFG是正方

形；@CE+CG=V2AD；③CG平分NDCF；@CE=CF.其中正确的是（填序号）.

【思路点拨】

过E作EM18C,过E作ENLCD于N,如图所示，根据正方形性质得NBCD=90。，/.ECN=45°,推出四边

形EMCN是正方形，由矩形性质得EM=EN,4DEN+乙NEF=4MEF+乙NEF=90°,根据全等三角形的

性质得ED=EF,推出矩形DEFG是正方形，故①正确；根据正方形性质得2D=DC,^ADE+^EDC=90°

推出△>!£>£'三△CDG,得到4E=CG,/.DAE=^DCG=45°,由此推出CG平分NDCF,故③正确；进而求

得4C=4E+CE=CE+CG=«a。，故②正确；当DEIAC时，点C与点F重合，得到CE不一定等于CF,

故④错误.

【解题过程】

解：过E作EMLBC,过E作EN1CD于N,如图所示，

•.•四边形4BCD是正方形，

:/BCD=90°,乙ECN=45°,

:.乙EMC=4ENC=4BCD=90°,

.-.NE=NC,

.•・四边形EMCN是正方形，

：.EM=EN,

•.•四边形DEFG是矩形，

:ZDEN+乙NEF=乙MEF+乙NEF=90°,

.-.ADEN=Z.MEF,

(LDNE=/-FME

在△OEN和△FEM中，(EN=EM

JDEN=Z.FEM

：.△DEN=△FEM(ASA),

・・.EO=EF,

・・.矩形OEFG是正方形，故①正确；

­.DE=DG,乙EDC+Z-CDG=90°

•・•四边形48CD是正方形

.-.AD=DC,/LADE+乙EDC=90°

：.Z-ADE=Z.CDG

(AD=CD

在△AOE和△COG中，l^ADE=Z.CDG

IDE=DG

A71£)E=ACDG(SAS)

：.AE=CG,Z.DAE=乙DCG=45°

MDCF=90°

r.CG平分NDCF,故③正确；

■.AC=AE+CE=CE+CG=y/2AD,故②正确；

当DEIAC时，点C与点F重合，

・•・CE不一定等于CF,故④错误.

故答案为：①②③.

8.（2024八年级下•山东•专题练习）如图，现有边长为4的正方形纸片力BCD,点P为4。边上的一点（不与

点/点。重合）将正方形纸片沿EF折叠，使点8落在尸处，点C落在G处，PG交DC于H,连结BP、BH,

下列结论：

①BP=EF；②当尸为4。中点时，△P2E三边之比为3:4:5；③4APB=4BPH；④△「£）//周长等于8.其

中正确的是（写出所有正确结论的序号）

【思路点拨】

过点尸作于点M,易得MF=BC=4B,由折叠可知EF18P,于是利用同角的余角相等可得

乙MEF=LAPB,以此可通过AAS证明aaBP三△MFE,即可判断①；由折叠可知8P=PE,设

BP=PE=x,则4E=4—x,在Rt^PAE中，利用勾股定理建立方程，求解即可判断②；利用等角的余角

相等即可判断③；过点8作BNLPH于点M易通过AAS证明△力BP三△N8P,得到ZB=BN,AP=PN,

以此再通过HL证明RtzXBNH三得到NH=CH,贝IJCAPDH=24。，即可判断④.

【解题过程】

解：如图，过点尸作FM14B于点

"四边形28CD为正方形，

ZX=4ABe=90°,AB=BC,

FM148,

二四边形MBCF为矩形，MF=BC=AB,Z.FME=90°,

由折叠可知，EFLBP,

•••乙PBE+乙BEF=90°,

・••乙PBE+^APB=90°,

:,乙BEF=^APB,BPZMEF=/.APB,

(Z.APB=Z.MEF

在△/BP和△MFE中，｛/-BAP=Z.FME,

IAB=MF

.-.△^P=AMFE(AAS),

•••BP=EF,故①正确;

由折叠可知，BP=PE,

设BE=PE=x,贝ME=4—x,

•；P为4。中点，

■■.AP=2,

在RtZ\P4E中，AP2+AE2=PE2,

・•・22+(4—%)2=x2,

解得X=I，

・・・/E=4—%=卞3PE=j5,

3S

・・・ZE:ZP:PE=宗2:|=3:4:5,

即△PAE三边之比为3:4:5,故②正确；

由折叠可知，BE=PE,^EBC=^EPG=90°,

・•.Z.PBE=乙BPE,Z.BPE+(BPH=90°,

,:乙PBE+Z.APB=90°,

•••Z.APB=^BPH,故③正确；

如图，过点2作BN，PH于点N,

Q

(Z.BAP=乙BNP

在和△NBP中，］Z-APB=^NPB,

IPB=PB

•••△4BP三△NBP(AAS),

AB=BN,AP=PN,

・•・BC=BN,

在RtZXBN”和中，借［：工工，

・•・Rt△BNH=Rt△^CH(HL),

・•・NH=CH,

•••CAPDH=PD+PN+NH+DH=PD+AP+CH+DH=2AD=8,

故④正确.

综上，正确的结论有①②③④.

故答案为：①②③④.

9.(2024•浙江杭州•模拟预测)正方形力BCD中，P是对角线BO所在直线上一点.若尸在对角线BD上(如图

1),连接PC,过点P作PQ1CP交2B于点。.若PD=2近,,AB=6,贝UBQ的长为；

若尸在BD的延长线上(如图2),连接力P,过点尸作PE1AP交BC延长线于点£,连接DE,若CE=8,△DPE

的面积是20,贝UPE的长为.

【思路点拨】

本题考查正方形的性质和判定，熟练运用正方形的性质和勾股定理以及正确的添加辅助线是解题的关键,

(1)过点P作PE14B,PH1DC,PF1BC,由正方形的性质可得NBDC=45。，根据PH1DC,可得

Z.BDC=AHPC=45°,继而可证△PHD是等腰三角形，由勾股定理可得D"=P"=2,根据矩形的判定可

得四边形PFCH是矩形和四边形4DHE是矩形，继而得到FC=PH=4E=OH=2,继而求出QE=FC=2,

从而得到BQ；(2)过点「作2”148#尸18。，根据正方形的性质可得8。是乙48。的角平分线，由角平分线

的性质可得PH=PF,根据三角形的判定定理可证△HP4三aFPE,继而可得H4=FE,再由正方形的性质

求出CF=EF=gcE=4,设小正方形的边长为a,则大正方形的边长为(a+4),根据S4PDE=S梯形加依+

SAPFE-S^DCE列方程求出a，最后根据勾股定理进行计算.

【解题过程】

解：过点P作PE14B,PH1D&PF18C,

•••正方形4BCD中，BD是对角线,

.-.ABDC=45°,

-PH1DC,

"BDC=乙HPC=45°,

：.DH=PH,

是等腰直角三角形，

由勾股定理可得：PH2+DH2=PD2,

即2P”2=（2V2）,

解得：PH=2,

：,DH=PH=2,

MFPH=乙PFC=Z.PHC=90°,

・•・四边形PFCH是矩形，

.'.FC=PH=2,

同理可证：四边形是矩形，

：,AE=DH=2,

-PQ1CP,PFIBC,

"EPQ+（QPF=9O0ZQPF+乙CPF=90°,

：.Z.EPQ=乙CPF,

'.'PE=PF/QEP=乙PFC,

・•.△EPQzAFPC,

••.QE="=2,

：.BQ=AB-AE-EQ=6-2-2=2.

故答案为：2.

过点P作PH,4如图，

•.•正方形4BCD中，BD是对角线，点P在乙4BC的平分线BD上，PH1AB,PF1BC,

.-.PH=PF,

MHPF=90°f^APE=90°,

••ZHPA+Z-APF=90°f^APF+乙FPE=90°,

：.Z.HPA=乙FPE,

(Z,PHA=乙PFE

在和中，［PH=PF

JHPA=乙FPE

・•.△HPA=△FPE,

.-.HA=FE,

•・・四边形BHPF和ZBCO均为正方形，

；,BH=BF,AB=BC,

•.AH=CF,

；.CF=EF==4,

设小正方形的边长为a,则大正方形的边长为(a+4),

''△PDE—S梯形DCFP+S&PFE-^ADCE^

・•.(a+a+4)X4x|+4(a+4)x|-|xaX8=20,

解得：a=2,

.-.PF=6,

■.PE=7PF2+EF2=V52=4V13.

故答案为：4V13.

10.（23-24八年级下•重庆开州•阶段练习）如图，四边形力BCD是正方形，AB=6.

（1）如图1,点M在边BC上（不与端点8、C重合），点N在对角线2C上，且MN14C,连接AM,点G是4M

的中点，连接DN、NG.

①若BM=2,求NG的长;

②求证：DN—V^NG；

（2）如图2,点、E、F分另IJ为48、BC边上的点，且BE=CF,请直接写出4F+CE的最小值.

【思路点拨】

(1)①本题利用正方形的性质，可用勾股定理求解4M,并结合点G是4M的中点以及MN_L力C,利用直角

三角形斜边中线等于斜边一半求解NG.

②先过点。向AC做垂线，继而利用正方形性质求证MN=NC,然后假设未知数利用勾股定理求解GN以及ON,

最后将结果进行对比证明此题.

(2)延长DC至IJG,使CG=BC,连接FG、AG,构造△CGF,得△BCE三△CGF(SAS),进而可得CE=FG,

由此可知AF+CE=4F+FG24G,求出4G长即可.

【解题过程】

(1)①•••四边形4BCD为正方形，

.•"=90°,

在RtzXABM中，

•••AB=6,BM=2,

■■AM=7AB2+BM2=2V10.

・•・MN14C,点G是NM的中点，

：.GN=IAM=V10.

②证明：过点。作DEJ.AC于点E,如下图所示:

•.•四边形4BCD是正方形,

：.AD=DC,DE=-1AC.

•MC为正方形对角线，

.ZCB=45。.

■：MN1AC,

:.MN=NC.

设MN=NC=a,AN=b,

.•.在RtaAMN中，由勾股定理得：AM=VWV2+W=Va2+b2,

■.■MN1AC,点G是4M的中点,

.-.GN=叵运.

2

，：AC=a+b,

:.DE=EC=

■,EN=EC-NC=?，DN='DE?+EN2=逸竺+竺,

N2

.-.DN=42NG.

(2)延长DC至！JG,使CG=BC,连接FG、AG,

A

D

•四边形ABC。是正方形，

：./-B=乙DCB=4BCG=90°,CD=BC=CG=AB=6,

ABCE=ACGF(SAS),

：.CE=FG,

：.AF+CE=AF+FG>AG,即当4、F、G三点共线时，4F+CE取最小值，最小值为4G,

在Rt△4DG中，AG=y/AD2+BG2=收+(6+6)2=6函,

即力F+CE最小值为6西.

11.（23-24九年级上•广东广州•期中）已知正方形2BCD,E为平面内任意一点，连接DE,将线段DE绕点。

顺时针旋转90。得到线段DG,连接EC,AG.

（1）如图，当点E在正方形ABCD内部时，补全图形，判断4G与CE的关系，并写出证明过程;

(2)当点B,D,G在一条直线上时，若2。=4,DG=五,求CE的长.

【思路点拨】

(1)根据题意补全图形，先判断出NGD4=NEDC,进而得出△4GD三△CED,即可得出4G=CE,最后

判断出"FH=乙HDC=90。即可得出结论；

(2)分两种情况，当点G在线段8。的延长线上时和当点G在线段BD上时，构造直角三角形利用勾股定理即

可得出结论.

本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理，关键是判断出△4GDW4CED和

构造直角三角形.

【解题过程】

(1)解：AG=CE,AG1CE,理由如下：

依题意补全图形，如图①，

①

延长CE分别交4G,4。于点尸，H,

在正方形48CD中，AD-CD,Z.ADC=90°,

•••DE绕点D顺时针旋转90。得到DG,

:NGDE=N4DC=90。，GD=ED,

.\Z-GDA=乙EDC,

又・.・4D=CD,

(GD=ED

在△4G。和△CEO中，l^GDA=AEDC,

IAD=CD

・•.△/GO会△CEO(SAS),

：.AG=CE,Z,GAD=乙ECD,

v^AHF=乙CHD,

：.^LAFH=乙HDC=90°,

：.AG1CE.

（2）解：当点G在线段BD的延长线上时，如图②所示,

②

过点G作GM14D,交力。的延长线于点M,

•••BD是正方形48CD的对角线,

：.Z.ADB=Z.GDM=45°,

•••GM±AD,DG=V2,

.・.MD=MG=1,

••・AM=AD+MD=5,

在RtzXZMG中，由勾股定理，得ZG=7AM2+MG2=底,

由（1）,同理可得△/GOv△CEO,

・•・CE=AG=V26,

当点G在线段80上时，如图③所示，

过点G作GM1Z0于点M,

•••8。是正方形的对角线,

.•ZADG=45°,

,：GM1AD,DG=V2,

'.MD=MG=1,

.-.AM=AD-MD=3,

在Rt△力MG中，由勾股定理，得力G=7AM2+MG2=同,

由(1)同理可得△4G。三△「£1£>,

:.CE=AG=V10,

••.CE的长为房或V1U.

12.(22-23九年级下•广东汕头•期中)如图，1中，"=90。，Z.CEF,aFE外角平分线交于点N,

过点/分别作直线CE,CF的垂线，B,。为垂足.

(1)^EAF=(直接写出结果不写解答过程)；

(2)①求证：四边形力BCD是正方形；

②试说明EF=BE+DF,若2B=6,求(BE+6)(DF+6)的值.

【思路点拨】

(1)由两个平角的和为360。减去NCTE+NCET,乘I］下乙DFE+NBET,再由角平分线求出乙4EF+乙4/况

利用三角形的内角和即可求解；

(2)①作4G1EF于G,如图所示：贝此AGE=N4GF=90。，先证明四边形力BCD是矩形，再由角平分线

的性质得出48=4。，即可得出四边形2BCD是正方形；

②延长CB至X,使BH=DF,利用SAS证明三△4DF,可得4H=4F,^HAB=Z.FAD,再证明

△4HE三△4FE,则有HE=EF,进而可得EF=BE+DF,设BE=a,DF=b,根据S正方形.CD=S^BE+

S44DF+S&4EF+SECF=^(.^AABE++$ECF，再代入化简即可求解.

【解题过程】

⑴解：•.•"=90。

•••ZCFF+乙CEF=90°

.­.Z.DFE+乙BEF=360°-90°=270°

•••2F平分NDFE,4E平分N8EF

11

Z.AFE=—Z-DFE,Z-AEF——Z.BEF

22

11

・•・/.AEF+/-AFE=-(乙DFE+乙BEF)=-X270°=135°

^EAF=180°-/-AEF-^AFE=45°

故答案为：45°；

(2)①证明：作4GIE尸于G,如图所示

・•・乙AGE=/.AGF=90°,

•・•AB1CE,AD1CF

・♦.z_B=(D=cC=90°,

・•・四边形ABC。是矩形，

•・•/尸平分NOFE,4E平分NBEF

・•.Z.AEB=/.AEG,Z.AFG=^AFD

(Z.AEB=Z.AEG

在△ZEB和△/EG中，］/-ABE=^AGE=90°

IAE=AE

.-.AAEB=△4EG(AAS)

AB=AG,

同理可证明：△/FGw△/尸O(AAS),

AD=AG,

AB=AD

四边形力BCD是正方形；

解：②延长CB至“，使BH=DF,如图所示:

(AB=AD

在△ZB”和△ZOF中，］2LABH=^LADF

(BH=DF

.-.Ai4FH=ATIZ)F(SAS)

：.AH=AF,AHAB=^FADf

由(1)可知乙乙4升=45。,

又vAEAB+/.FAD+^EAF=90°

・•・^EAB+/.FAD=^EAF=45°,

Z.EAB+Z.HAB=Z.EAF=45°

^Z.HAE=/-EAF,

(AE=AE

在和中，］/-HAE=£.EAF

IAH=AF

^.AAHE=AAFE(SAS)

・•.HE=EF,

・•.HB+BE=EF

・•.DF+BE=EF,

设BE=afDF=b,

-AAHE=AAFE,

•••S^ABE+^AADF=S/viE/z，

**,S正方形/BCD=S^BE+^AADF+^AAEF+^ECF=+^ECF

即6x6=2x(gx6a+Tx6b)+g(6—a)(6—&),

化简得：3a+3b+5ab=18

6a+6b+ab=36,

・•・(BE+6)(PF+6)=(a+6)(6+6)=6a+6b+ab+36=36+36=72.

13.(22-23八年级下•浙江台州•期末)如图1,在正方形ZBCD中，点E是线段CD上任意一点(不含端

点)，点尸在射线BE上，且CF=CB,连接DF,过点。作D”1DF交BE于点区连接CH.

图5图2

(1)①若NEBC=20。，求NDFB的度数；

②试判断ADFB的度数是否变化？请说明理由；若不变，请求出它的度数；

(2)若8)=5,当CHIIDF时,求CH的长度;

(3)如图2,当C//1BF时，求证：DE=CE.

【思路点拨】

(1)①由四边形4BCD是正方形，得NBCD=90。，BC=CD,而BC=CF,有4EBC=NCFB=20。，CD=CF,故

ZFCF=18O°-^EBC-^CFB-ABCD=50°,可知4CFD=(180°—NFCE)+2=65°,即得

乙DFB=乙CFD-乙CFB=65°-20°=45°

②设“BF=Z.CFB=x。,同①方法可得4。FB=Z.CFD-/.CFB=(45+x)°一无。=45°；

(2)过C作CK1CH交BF于7,交DF于K,根据DH1DF,CH||DF,可得四边形DHCK是矩形，有

4DKC=90°,CH=DK,△HCT和△FKT是等腰直角三角形，故CT=CH=DK=KF=KT,设

2

CT=CH=DK=KF=