2022年高考数学一轮复习-第四节函数的奇偶性课件-新人教版2

第一页，编辑于星期一：十点二十八分。第一页，编辑于星期四：二十一点三十五分。结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.

第二页，编辑于星期一：十点二十八分。第二页，编辑于星期四：二十一点三十五分。第三页，编辑于星期一：十点二十八分。第三页，编辑于星期四：二十一点三十五分。1.奇偶性的定义第四页，编辑于星期一：十点二十八分。第四页，编辑于星期四：二十一点三十五分。[思考探究](1)奇偶函数的定义域有何特点？(2)是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？提示：奇偶函数的定义域关于原点对称.提示：存在.该函数的特点是定义域关于坐标原点对称，且解析式化简后等于0.第五页，编辑于星期一：十点二十八分。第五页，编辑于星期四：二十一点三十五分。2.奇偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性

，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性

(填“相同”、“相反”).(2)在公共定义域内，①两个奇函数的和函数是

，两个奇函数的积函数是

；②两个偶函数的和函数、积函数是

.③一个奇函数，一个偶函数的积函数是

.(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝

.

相反奇函数偶函数偶函数奇函数0相同第六页，编辑于星期一：十点二十八分。第六页，编辑于星期四：二十一点三十五分。1.设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是(

)A.f(x)f(－x)是奇函数B.f(x)|f(－x)|是奇函数

C.f(x)－f(－x)是偶函数

D.f(x)＋f(－x)是偶函数解析：令F(x)＝f(x)＋f(－x).F(－x)＝f(－x)＋f(x)为偶函数，故D正确.答案：D第七页，编辑于星期一：十点二十八分。第七页，编辑于星期四：二十一点三十五分。2.对任意实数x，下列函数中的奇函数是(

)A.y＝2x－3B.y＝－3x2C.y＝ln5xD.y＝－|x|cosx解析：若f(x)＝ln5x，则f(－x)＝ln5－x＝ln(5x)－1＝－ln5x＝－f(x).∴函数y＝ln5x为奇函数.答案：C第八页，编辑于星期一：十点二十八分。第八页，编辑于星期四：二十一点三十五分。3.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(

)A.－

B.C.D.－解析：∵函数f(x)＝ax2＋bx在x∈[a－1,2a]上为偶函数，∴b＝0，且a－1＋2a＝0，即b＝0，a＝.∴a＋b＝.答案：B第九页，编辑于星期一：十点二十八分。第九页，编辑于星期四：二十一点三十五分。4.已知函数y＝f(x)为奇函数，若f(3)－f(2)＝1，则f(－2)－f(－3)＝

.解析：由题意得f(－2)－f(－3)＝－f(2)＋f(3)＝f(3)－f(2)＝1.答案：1第十页，编辑于星期一：十点二十八分。第十页，编辑于星期四：二十一点三十五分。5.设函数f(x)＝为奇函数，则a＝

.解析：∵f(x)为奇函数，∴由f(－1)＝－f(1)得a＝－1.

答案：－1第十一页，编辑于星期一：十点二十八分。第十一页，编辑于星期四：二十一点三十五分。第十二页，编辑于星期一：十点二十八分。第十二页，编辑于星期四：二十一点三十五分。

判断函数奇偶性的一般方法(1)首先确定函数的定义域，看其是否关于原点对称的.否则，既不是奇函数也不是偶函数.(2)若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断：①定义判断：f(－x)＝f(x)⇔f(x)为偶函数，

f(－x)＝－f(x)⇔f(x)为奇函数.第十三页，编辑于星期一：十点二十八分。第十三页，编辑于星期四：二十一点三十五分。②等价形式判断：f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数，

f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数.或等价于：，则f(x)为偶函数；＝－1，

则f(x)为奇函数.

(3)对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行.[特别警示]分段函数的奇偶性判定，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x范围取相应的解析式化简.此类问题也可利用图象作判断.第十四页，编辑于星期一：十点二十八分。第十四页，编辑于星期四：二十一点三十五分。判断下列函数的奇偶性：[思路点拨](1)f(x)=x();(2)f(x)=log2(x+);(3)f(x)=;(4)f(x)=(5)f(x)=x2-|x-a|+2.第十五页，编辑于星期一：十点二十八分。第十五页，编辑于星期四：二十一点三十五分。[课堂笔记]

(1)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).∴f(x)是偶函数.∵f(-x)=-x()=f(x).第十六页，编辑于星期一：十点二十八分。第十六页，编辑于星期四：二十一点三十五分。(2)函数定义域为R.∴f(x)是奇函数.∵f(-x)=log2(-x+)=log2=-log2(x+)=-f(x),第十七页，编辑于星期一：十点二十八分。第十七页，编辑于星期四：二十一点三十五分。(3)由得x＝－，或x＝.∴函数f(x)的定义域为{－，}.又∵对任意的x∈{－，}，－x∈{－，}且f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数.第十八页，编辑于星期一：十点二十八分。第十八页，编辑于星期四：二十一点三十五分。(4)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)；当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x).∴对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x).故f(x)为奇函数.第十九页，编辑于星期一：十点二十八分。第十九页，编辑于星期四：二十一点三十五分。(5)函数f(x)的定义域为R.当a＝0时，f(x)＝f(－x)，∴f(x)是偶函数；当a≠0时，f(a)＝a2＋2，f(－a)＝a2－2|a|＋2.f(a)≠f(－a)，且f(a)＋f(－a)＝2(a2－|a|＋2)＝2(|a|－)2＋≠0，∴f(x)是非奇非偶函数.第二十页，编辑于星期一：十点二十八分。第二十页，编辑于星期四：二十一点三十五分。

判断(或证明)抽象函数的奇偶性的步骤(1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现f(－x)，

f(x))；(2)巧妙赋值，合理、灵活变形配凑；(3)找出f(－x)与f(x)的关系，得出结论.第二十一页，编辑于星期一：十点二十八分。第二十一页，编辑于星期四：二十一点三十五分。已知函数f(x)对一切x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y).(1)试判断f(x)的奇偶性；(2)若f(－3)＝a，用a表示f(12).[思路点拨]第二十二页，编辑于星期一：十点二十八分。第二十二页，编辑于星期四：二十一点三十五分。[课堂笔记]

(1)显然f(x)的定义域是R，关于原点对称.又∵函数f(x)对一切x、y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y).∴令x＝y＝0，得f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.再令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数.(2)∵f(－3)＝a且f(x)为奇函数，∴f(3)＝－f(－3)＝－a.又∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，x、y∈R，∴f(12)＝f(6＋6)＝f(6)＋f(6)＝2f(6)＝2f(3＋3)＝4f(3)＝－4a.第二十三页，编辑于星期一：十点二十八分。第二十三页，编辑于星期四：二十一点三十五分。(1)对抽象函数解不等式问题，应充分利用函数的单调性，

将“f”脱掉，转化为我们会求的不等式；(2)奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的

单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间

上有相反的单调性.第二十四页，编辑于星期一：十点二十八分。第二十四页，编辑于星期四：二十一点三十五分。函数f(x)的定义域为D＝{x|x∈R且x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2).(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围.[思路点拨]第二十五页，编辑于星期一：十点二十八分。第二十五页，编辑于星期四：二十一点三十五分。[课堂笔记]

(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数.第二十六页，编辑于星期一：十点二十八分。第二十六页，编辑于星期四：二十一点三十五分。(3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2.f(16×4)=f(16)+f(4)=3,∵f(3x+1)+f(2x-6)≤3,即f((3x+1)(2x-6))≤f(64).（*）第二十七页，编辑于星期一：十点二十八分。第二十七页，编辑于星期四：二十一点三十五分。法一：∵f(x)为偶函数，∴f(|(3x＋1)(2x－6)|)≤f(64).又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴0＜|(3x＋1)(2x－6)|≤64.解上式，得3＜x≤5或－≤x＜－或－＜x＜3.∴x的取值范围为{x|－≤x＜－或－＜x＜3或3＜x≤5}.第二十八页，编辑于星期一：十点二十八分。第二十八页，编辑于星期四：二十一点三十五分。法二：∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴(*)等价于不等式组

或

或第二十九页，编辑于星期一：十点二十八分。第二十九页，编辑于星期四：二十一点三十五分。∴3＜x≤5或≤x＜－或－＜x＜3.∴x的取值范围为{x|－≤x＜－或－＜x＜3或3＜x≤5}.第三十页，编辑于星期一：十点二十八分。第三十页，编辑于星期四：二十一点三十五分。将本例中的条件f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)改为f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，定义域D＝{x|x≠0}改为D＝R，求解第(2)，(3)问.∴f(x)为奇函数.解：(2)令x1＝x2＝0，得f(0)＝0；令x1＝x，x2＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)，

第三十一页，编辑于星期一：十点二十八分。第三十一页，编辑于星期四：二十一点三十五分。(3)∵f(4)＝1，∴f(8)＝f(4)＋f(4)＝2，f(12)＝f(4＋8)＝f(4)＋f(8)＝3.又∵f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，∴f(3x＋1＋2x－6)≤f(12)，即f(5x－5)≤f(12).又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，f(x)为奇函数，∴f(x)在R上是增函数，∴5x－5≤12，∴x≤.第三十二页，编辑于星期一：十点二十八分。第三十二页，编辑于星期四：二十一点三十五分。函数奇偶性的判定以及利用函数的奇偶性求参数是高考对函数奇偶性的常规考法，09年山东、陕西等省将函数的奇偶性、单调性以及比较大小等问题综合出现在高考试题中，这是高考新的一个考查方向.第三十三页，编辑于星期一：十点二十八分。第三十三页，编辑于星期四：二十一点三十五分。

[考题印证](2009·山东高考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(

)A.f(－25)＜f(11)＜f(80)B.f(80)＜f(11)＜f(－25)C.f(11)＜f(80)＜f(－25)D.f(－25)＜f(80)＜f(11)第三十四页，编辑于星期一：十点二十八分。第三十四页，编辑于星期四：二十一点三十五分。【解析】∵f(x－4)＝－f(x)，∴T＝8.又f(x)是奇函数，∴f(0)＝0.∵f(x)在[0,2]上是增函数，且f(x)＞0，∴f(x)在[－2,0]上也是增函数，且f(x)＜0.又x∈[2,4]时，f(x)＝－f(x－4)＞0，且f(x)为减函数.同理f(x)在[4,6]为减函数且f(x)＜0.如图.第三十五页，编辑于星期一：十点二十八分。第三十五页，编辑于星期四：二十一点三十五分。∵f(－25)＝f(－1)＜0，f(11)＝f(3)＞0，f(80)＝f(0)＝0，∴f(－25)＜f(80)＜f(11).【答案】

D第三十六页，编辑于星期一：十点二十八分。第三十六页，编辑于星期四：二十一点三十五分。

[自主体验](2009·陕西高考)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)(f(x2)－f(x1))＞0.则当n∈N*时，有(

)A.f(－n)＜f(n－1)＜f(n＋1)B.f(n－1)＜f(－n)＜f(n＋1)C.f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1)D.f(n＋1)＜f(n－1)＜f(－n)第三十七页，编辑于星期一：十点二十八分。第三十七页，编辑于星期四：二十一点三十五分。解析：由(x2－x1)(f(x2)－f(x1))＞0得f(x)在x∈(－∞，0]为增函数.又f(x)为偶函数，所以f(x)在x∈(0，＋∞)为减函数.又f(－n)＝f(n)且0≤n－1＜n＜n＋1，∴f(n＋1)＜f(n)＜f(n－1)，即f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1).答案：C

第三十八页，编辑于星期一：十点二十八分。第三十八页，编辑于星期四：二十一点三十五分。第三十九页，编辑于星期一：十点二十八分。第三十九页，编辑于星期四：二十一点三十五分。1.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()A.y＝－x3，x∈RB.y＝sinx，x∈RC.y＝x，x∈RD.y＝()x，x∈R解析：y＝－x3为奇函数且为减函数；y＝sinx为奇函数，但不是单调函数；y＝x为增函数；y＝()x不是奇函数.答案：A第四十页，编辑于星期一：十点二十八分。第四十页，编辑于星期四：二十一点三十五分。2.(2010·泉州模拟)若x∈R、n∈N*，定义：＝x(x＋1)(x

＋2)…(x＋n－1)，例如

＝(－5)(－4)(－3)(－2)(－1)

＝－120，则函数f(x)＝的奇偶性为(

)A.是奇函数而不是偶函数

B.是偶函数而不是奇函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数又不是偶函数第四十一页，编辑于星期一：十点二十八分。第四十一页，编辑于星期四：二十一点三十五分。解析：∵＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n－1)，∴＝(x－9)(x－8)(x－7)…(x＋9)＝(x2－92)(x2－82)…(x2－12)x.∴＝(x2－92)(x2－82)…(x2－12)x2，∴f(x)＝是偶函数.答案：B第四十二页，编辑于星期一：十点二十八分。第四十二页，编辑于星期四：二十一点三十五分。3.函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为(

)A.3B.0C.－1D.－2解析：f(a)＝a3＋sina＋1，①f(－a)＝(－a)3＋sin(－a)＋1＝－a3－sina＋1，②①＋②得f(a)＋f(－a)＝2，∴f(－a)＝2－f(a)＝2－2＝0.答案：B第四十三页，编辑于星期一：十点二十八分。第四十三页，编辑于星期四：二十一点三十五分。4.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)

－g(x)＝()x，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是

.解析：∵f(x)和g(x)分别为奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝(