江西省某中学2023-2024学年高一年级下册6月期末考试数学试题（含答案解析）

江西省丰城中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设z=（2+if-（l+2i）2,则|z+8i|=（）

A.10B.9C.4A/5D.3屈

2.已知qwO,AGR,a=ex+Ae2,b=2elf则3与Z?共线的条件为（）

A.4=0B.c2=0

C.ex//e2D.q//%或丸=。

3.已知向量a=（2,4）涉=（3,-1）,则“％=正”是“（a+姑）M"一心）"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.下列函数中，周期为兀且在上单调递增的是（）

A.y=tan|x|B.y=sin|x|

C.y=|sinx|D.y=cosx|

5.已知sm1'+而卜“则。叫产-7）的值为（）

D.-1

A.-B.-C.--

3838

6.已知函数〃x）=Asin（ox+9）+/?]A>0,o>0,9<

的部分图象如图所示，给出下列结

论：

①振幅为1,最小正周期为2兀；

②振幅为2,最小正周期为兀；

③点[g，-1）为/⑺图象的一个对称中心；

-

"OQTT17ir

④/（X）在一五，一元上单调递减.

其中所有正确结论的序号是（）.

A.①②B.②③C.③④D.②④

7.已知名户为三角形的两个内角，cosa=g,sin(a+£)=等，则£=()

A.30°B.60°C.120°D.150°

8.已知角A,B,C满足A+B+C=7t,且cosA+cos3+cosC=l,则

(1-cosA)(l-cosB)(l-cosC)=()

A.0B.1

C.V2D.V3

二、多选题

9.下列命题中，正确的是（）

A.sinl5°sin30°sin75°=L

8

B.在VABC中，是sinA>sin3的充要条件；

C.在VABC中，若比osA=Zx»sB,则VABC必是等腰直角三角形；

D.在锐角VA2C中，不等式sinA>cos3恒成立.

TT

10.在VASC中，角AB,C的对边分别为a,6,c,若4=2,4,则下列结论正确的是（）

6

A.若匕=3,则VABC有两解

B.若3=45。，则c=0+#

C.VABC的周长有最大值6

D.VABC的面积有最大值2+6

11.对于非零向量4=（x,y）,定义变换/（洒）=量+y,x-y）,得到一个新的向量，则关于该

变换，下列说法正确的是（）

A.若4为任意实数，贝：尸（忌）=您而B.若a/lb，则尸（。）//尸S）

试卷第2页，共4页

C.若a，b，则D.存在a,6使得

cos(F(i?),F(Jby)-cos{a,b')+—

三、填空题

12.已知角e的顶点为坐标原点，始边为X轴的非负半轴.若P（m,2）是角。终边上一点，

且cos6=-±"^，贝!!机=.

10

13.已知复数z满足|z-1-i|=2,i为虚数单位，z在复平面上对应的点为Z,定点

Af（-l,0）,。为坐标原点，则QZ-OM的最小值为.

14.已知函数"x）=2sinNx-：J（。＞0）在［0,2兀］上的图象有且仅有3个最高点.下面

四个结论：

①〃尤）在（0,2兀）上的图象有且仅有3个最低点；

②〃尤）在（0,2无）至多有7个零点；

③“X）在单调递增；

-1927A

④。的取值范围是V'V•

则正确的结论是.（填写序号）

四、解答题

15.化简求值:

(2)cos40°^l+^tanl001；

16.如图，在平面四边形ABC。中，ZABC=—,BC=2y/2,ABACADAC,CD=2AB=4.

4

，A

CB

(1)求线段AC的长度；

(2)求sin/ADC的值.

17.已知函数“X)=万8$4尤+J5sin尤cos尤-天/尤+〃/的最大值为].

(1)求常数加的值，并求函数/(元)取最大值时相应尤的集合；

(2)求函数/(x)的单调递增区间和对称中心.

18.在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知S为VABC的面积且

4^5+3(fe2-a2)=3c2.

(1)若6=2,求VABC外接圆的半径R；

(2)若VABC为锐角三角形，求“一:"的取值范围.

C

19.对于集合4=但,%…0｝和常数为，定义：

〃=cos2(〃d)+cos2®q)+…+cos?m为集合A相对外的“余弦方差，，.

n

⑴若集合A=D%=0，求集合A相对4的“余弦方差”；

⑵求证：集合A个方,，，相对任何常数。。的“余弦方差”是一个与为无关的定值，并求

此定值；

(3)若集合A=,ae[0,兀),尸e阮2兀)，相对任何常数00的“余弦方差”是一个与为无

关的定值，求出B.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案ADACDDBAABDABD

题号11

答案ABC

1.A

【分析】根据复数运算化简求得z=6,然后由复数的模的公式可得.

［详解］因为z=（2+i）2_（l+2i）2=（3+3i）（l_i）=3（l+i）（l_i）=3（l—i2）=6,

所以|z+8i|=|6+8i|=j6?+82=10.

故选：A.

2.D

【分析】对耳、e；是否共线进行分类讨论，结合平面向量共线的基本定理可得出结果.

【详解】当q〃Z时，因为乌力"则存在实数上，使得e；=

则a=G+Akex=（1+求）0=,此时allb;

当q、不共线时，因为；〃力，则存在实数上使得a=防，即q+/le2=2咐，

⑵=1

所以

因此，a与。共线的条件为q/色或4=0.

故选：D.

3.A

【分析】先计算（4+助），姑）时人的取值，再根据必要与充分条件的定义判断即可.

【详解】因为。=（2,4）,6=（3,-1）,

所以a+必=（2+3%,4-左），a-kb=（^2-3k,4+k）,

当（a+姑）_L（a-AZ?）时，

（a+如）（a—如）=0,即（2+3上）（2—34）+（4—左）（4+左）=0

解得k=±5/2

答案第1页，共13页

所以“4=0”是（。+的）-姑）的充分不必要条件.

故选：A.

4.C

【分析】根据三角函数的性质及函数图象的变换规则一一判断即可.

【详解】对于A：y=tanW的图象是将y=tanx在y轴右侧的图象关于y轴对称过去，y轴

及'轴右侧部分不变，

函数图象如下所示：

所以y=tanW不具有周期性，故A错误；

对于B：y=sin|M的图象是将y=sinx在y轴右侧的图象关于y轴对称过去，，轴及y轴右

侧部分不变，

函数图象如下所示：

所以y=sin|x|不具有周期性，故B错误;

对于C：，=卜足H的图象是将y=sinx在x轴下方部分关于x轴对称上去，x轴及x轴上方

部分保持不变，

函数图象如下所示:

又了=$也无的最小正周期为2兀，所以，=卜反耳的最小正周期为兀,

答案第2页，共13页

又〉=$山》在［ogj上单调递增且函数值为正，所以y=binx|在上单调递增，故C正

确；

对于D：y=|cos%|的图象是将y=cosx在X轴下方部分关于X轴对称上去，X轴及X轴上方

部分保持不变，

函数图象如下所示：

又'=8$》的最小正周期为2兀，所以y=|cos,的最小正周期为兀，

又〉=8$了在1上单调递减且函数值为正，所以y=|cos,在1上单调递减，故D错

误；

故选：C

5.D

【分析】利用换元法，结合三角函数的诱导公式与倍角公式即可得解.

【详解】因为Sin净$=令/罟+唳，则a=2七，Sin"；,

以cos(a——=cos^2?————=cos(2t—IT)=-cos2t

=-(l-2sin2f)=2sin2Z-l=2xW-1=-1.

故选：D.

6.D

A+Z?=1Titit

【分析】根据函数图象得到T+八-3,即可求出人、"再由，二一历求出0,最后

展,求出即可得到函数解析式，最后根据正弦函数的性质判断即可.

由函数过点1J

A+b=lb=-lT_TI兀—兀

【详解】由图可知…一3,解得A=2'X4=3_12=4

兀

所以7=兀=」2，解得。=2,

(O

答案第3页，共13页

71

所以〃x)=2sin(2x+0-l,又函数过点⑶，所以/=2sinf2x5+0）-1=1,

12

TTTTTT

即sin［2x自+°=1,所以一+。=—+2E,左£Z,解得。=一+24兀,左£Z,

623

又ld<g，所以夕=g,

所以/(尤)=2sin(2尤+2卜1,所以/(x)的振幅为2,最小正周期为兀，故①错误，②正确;

5兀

因为了2sin2x?+i

所以点T)不是八元)图象的对称中心，故③错误;

当尤一驷17K,-77i177K兀5K

,-----时2x+—£--------

1212322~2

.77r57r23兀17兀

因为）=sin%在―--上单调递减，所以在-71s上单调递减，故④正确.

12

故选：D

7.B

【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系式得到sine、cos(a+〃)，再用凑角求解.

为三角形的两个内角，且

【详解】cosa=g<g,

•一71>a>一71,

237

••,sin（a+£）=等（昌C71

a+0>a>一,

3

:.TI>a+f3>-^,cos（cr+尸）=—^1-sin2（a+=~~~，

sin/?=sin［（a+4）一二］=sin（a+尸）cos。-cos（a+siner=X+X~，

兀.c兀

a>—,a+1n3<TI,.•・£=一

33

故选：B

8.A

【分析】结合诱导公式与和差化积公式进行求值.

【详解】因为4+3+。=兀nC=TI-（A+5）ncosC=cos［兀一（A+B）］=—cos（A+B）.

由和差化积公式得:

,八「1cA+BA-B

cosA+cosB+cosC=ln2cos-------cos---------cos（A+B）=l=

22

答案第4页，共13页

cA+BA-BA+R

2cos-------cos--------=1+cos(A+B)=2cos2---

2；2

A+BA-BA+BCBAAR

所以coscos---------cos---=--0---nsin-sin-sin一=0=>sin一=0或sin—=0或

22222222

・C八

sm——=0.

2

若sing=0ncosA=l-2sin2t=1,贝！J(l-cosA)(l-cosi3)(l-cosC)=0；

同理，当sin，=0或sin：=0时，都有(1—COSA)(1—COS5)(1—COSC)=0.

故选：A

9.ABD

【分析】由诱导公式和二倍角的正弦公式可得A正确；由正弦定理结合充要条件的定义可

得B正确；由正弦定理和二倍角正弦公式可得C错误；由诱导公式及正弦函数单调性可得

D正确.

【详解】A：sin15°sin30osm75o=sin15°sin30°cos15°=』sin30°xsin30°=工x—x4=!，故A

22228

正确；

B：在VABC中，由正弦定理可得一二=二，

sinAsmB

所以sinA>sinB<=>〃>boA>jB,

所以是sinA>sin3的充要条件，故B正确；

C：在VASC中，若gosA=Z?cos5,

由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB,所以sin2A=sin2B,

TT

所以2A=23或2A+23=7i,即A=B或A+B=不，

2

所以VA3C是等腰或直角三角形，故C错误；

D：在锐角VA5C中，且A+B>—,所以一>A>B>0,

12J222

所以sinA>sin((-B)=cosB,故D正确;

故选：ABD.

10.ABD

【分析】综合运用正弦定理，面积公式及周长可得选项.

【详解】对于A,因为a=2,A=y,由正弦定理可得sin2=经町4

6a4

答案第5页，共13页

31

又sin3=->—=sinA,所以VABC有两解，A正确;

42

对于B,由3=45°,A=30°可得C=105°,sin105。=sin(60。+45。)=^；应

由正弦定理可得。=竺里C=#+夜，B正确;

sinA

对于C,由余弦定理/=b2+c2—2Z?ccosA=(Z?+c)2—(2+^)bc

S+c)2-4<(2+6)色?，当且仅当6=c时，取到等号，解得3+C44也+若,C不正

确；

对于D,由余弦定理。2=Z?2+c2-2Z?ccosA>(2-73)Z?c,

即公5^=4(2+@,当且仅当人=c时，取到等号，

所以VABC的面积S=1bcsinAV2+J^,D正确.

2

故选：ABD

11.ABC

【分析】由定义变换的新向量，结合数乘运算定义判断选项A,结合向量平行的条件验证选

项B,结合向量垂直的条件验证选项C,由向量夹角的坐标运算验证选项D.

【详解】对于选项A,因为。=(x,y),所以而=(而,为)，

所以■F(Xa)=(Xx+/ly,Ar—Xy)=X(x+y,x-y)=/lF3),故A正确;

对于选项B,a=(x,y),设》=(私〃)，若a"b，则期=0,

F(S)=(x+y,x-y),F(h)=(m+n,m-n),

所以(x+y)(冽一〃)—(x-y)(m+")=27wy-2nx=0,即尸⑷〃尸⑸，故B正确;

对于选项C,若aLb，则如+"y=0,

F(^)-F(o)=(x+y)(m+n)+(x-y)(m-n)=2/nx+2n_y=0

所以尸(a)，F@),故C正确;

对于选项D,

mx+ny

cos<F(«),/(6)〉二尸⑷*?=,.+2冲

|F(6Z)||F(Z?)|J(%+y)2+(工一丁)2J(机+〃)2+(加一〃)2

答案第6页，共13页

a-bmx+ny

)

S'=而=收+y2ylm2+几2，所以COS〈/⑷IS)〉=COS〈4〉‘故D错误.

故选：ABC.

12.-6

【分析】根据三角函数定义式列方程，解方程即可.

即10m2=9(利2+4),且加<0,

即m2=36,且根<0,

解得W2=—6,

故答案为：-6.

13.-3

【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义，结合向量数量积的运算律及定义法求出向

量的数量积求解即得.

【详解】依题意，点Z的轨迹是复平面上以点QCM)为圆心，2为半径的圆，

OZOM=(OQ+QZ)OM=0Q0M+QZ0M,Kff=(1,1).(-1,0)=-1,

QZOM=|QZ||OM|cos〈QZ,OM>=2cos(QZ.OM)>-2,当且仅当QZ,0M方向相反时取等

号，

所以0Z.的最小值为-3.

故答案为：-3

14.②③④

【分析】根据第3个正最大值点在区间［0,2可内，第4个正最大值点不在［0,2兀］内列不等式

可得。的范围，可判断④；求出第3个正最小值点，结合。的范围求出其范围即可判断①;

答案第7页，共13页

根据。的范围,求出第7、8个正零点的范围，可判断②；由得-44尤〈登，

2424a）4。

结合外的范围求出产3兀的范围可判断③.

【详解】对于④，由。=]+得/（尤）的最大值点为了=£+臂水eZ,

因为/（x）在[0,2可上的图象有且仅有3个最高点,

3兀4兀八

——+——<2K

4。01927

所以《,解得(40<一④正确;

3兀6兀OO

——+——>2兀

4。3

8kli—7i,_

对于①，由s-：=-+2E,林Z得〃x）的最小值点为x=---------,kwZ,

4G

192781/8

因为《-KGVk,所以云力历

oo

23兀

因为第3个正最小值点为言,所以

274(2)19

所以第3个正最小值点肃不一定在（0,2兀）内，故①错误;

对于②，由GX—二=fai,左EZ得％=4质+"#sz,

44。

第7、&个正零点为等4

因为

274。19274。19

所以第7个正零点有可能在（0,2兀）内，第8个正零点不在（0,2兀）内,

所以/⑺在（0,2兀）至多有7个零点，②正确;

由一与无一得一聂缁

对于③,"XV

因为三＜胃＜!^所以〃x）在（0,白单调递增，③正确.

1294Gl9＜12/

故答案为：②③④

【点睛】关键点睛：本题关键在于利用。的范围，求出关键零点、最值点、端点的范围，然

后即可得解.

15.(l)7-i

(2)1

【分析】（1）根据复数的概念、复数的乘法除法运算化简计算即可.

答案第8页，共13页

(2)化切为弦，运用和差公式和诱导公式化简计算即可.

(2-3i)(l+l)fl-2i-l\fl+2i-l?

【详解】(原式=

1)1-iU+2i-lJ

(4-6i)(l+i)

+l+l=5-i+2=7-i

(l-i)(l+i)

⑵34。。(1+5皿1。。"。54。。(1+氐3。［=04。。回1。。+氐由1。。)

'/Icos10°Jcos10°

_2cos40。sin(30。+10。)_2cos40°sin40°_sin80°_cos10。_1

cos10°cos10°cos10°cos10°

16.(1)275;

⑵;

【分析】(1)利用余弦定理求解即可；

(2)在中，利用正弦定理求出sinN8AC=@,再禾!I用/B4C=/ZMC,

5

在,ACD中根据正弦定理即可求解.

【详解】(1)在VABC中，由余弦定理可得：

AC2*45=AB2+BC2-2-ABBCcosZABC=4+8-2-2-272(-^)=20,

/.AC=275.

故线段AC的长度26.

(2)由(1)知BC=2血,AC=25

BCAC

在VABC中，由正弦定理可得:

sinZBAC-sinZABC

2&_2石/-

即sin/5AC.3兀，sinZ.BAC=——,

sm—5

4

XZBAC=ZZMC,所以sin/ZMC=sinN5AC=H

5

CDAC

在.ACD中，由正弦定理可得:

sinZDAC~sinZADC

4_275i

即75sinBADC，■■sin/ADC=-.

T

所以sin/ADC的值为g.

2

答案第9页，共13页

17.(l)m=—,1xx=fai+-^-,Z:ezj

(2)单调递增区间为far-1，攵兀+^(左cZ),对称中心为(丁-77,77]，keZ

36122J

【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，结合正弦函数的性质求出加及/（%）

取最大值时相应犬的集合;

(2)由(1)可得〃x)=sin]2尤+《+1，根据正弦函数的性质计算可得.

【详解】(1)因为/(x)=gcos4%+百sinxcosx—gsin,x+M

22+且g+〃,

=^(cosx+sinx)(cos2x-sin2%)

2

-sin2xl+^-sin2x+m

cos2X

272

173.

=—cos2xd-----sin2x+m

22

=sin2x+—\+m

I6J

（2苫+0=1时，函数〃尤）取到最大值g,

当sin

31

所以1+m=—,即m=—,

22

jrJTjr

令2xH—=2kitH—,左£Z,解得％—ku-\—,左wZ,

626

所以当函数/'（X）取到最大值时尤的集合为xx=kn+^k.

(2)由⑴得/(%)=5鹏2%+今1

+2,

7T7T7T

令*2kn—<2XH—V2kliH—,kGZ,

262

TTTT

解得E—W%<kuH—,左£Z,

36

■jrjr

所以函数f（x）的单调递增区间为kK--,kK+-（左eZ）,

JTjZTTIT

由2xH—=kn,左£Z,解得％—------,左£Z,

6212

711

所以函数“X）的对称中心为［亏-,左£Z.

1252

答案第10页，共13页

18.⑴毡

3

⑵(L7)

【分析】(1)利用三角形面积公式和余弦定理4石S+3仅2-")=3C2化简可得

百sinB=3cosB,计算可求B,进而利用正弦定理求得VABC外接圆的半径尺；

(2)由8=W，设，=」，由题意可求2＜C＜g,利用正切函数的性质可求tanC＞立,

3tanC623

可得0＜」不＜6,利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求占贵=3产+且-I,

tanCc2322

0＜z＜有,进而可求的取值范围.

C

【详解】(1)TS为VA6C的面积且463+3仅2一〃2)=3。2,S=；〃csinB,

71

4^/3x—cicsin3=3卜2+a2—/)=3x2〃ccosB,即tan3=6，0<B<7t,B=—.

3

2R=-^—2

sin3.71解得：/?=△-.

sm—3

3

rr

(2)由(1)可知，B=~,

.2I一儿10/sinC+gosc]+3

0。0、sinCH—H—

..a+b_sinA+sinB_13J422

7

222

csinCsinC4sin2C

_4sin2C+2^3sinC-cosC+6cos2C

—4sin2C

1出131

=1-1---------------1----------—

2tanC2tan2C

：VABC为锐角三角形，B=-,：.-<C<-,：.twC>—,.,.0<—!—<V3,

3623tanC

、几*1a2+b2

及’=标则

c2

2i2

・・・0</<有时，幺言£(1,7)

5

19.(1)-

8

⑵证明见解析，!

答案第11页，共13页

72311IQ

(3)a=——兀，°=—兀或。=——兀，0=—兀

12121212

【分析】（1）根据余弦方差的定义代入即可求解,

（2）根据余弦差定义可得化简分子，根据和差角公式以及同角平方关系即可求解,

（3）根据余弦差定义列出关系式，利用和差角公式以及二倍角公式化简，根据题意可得

l+sin25篇=。,即可结合三角函数的性质求解

COS2g-oj+cos231

【详解】（1）依题意得，十°—4।—2<5；

4二---

228

2：2兀

cos2y-6>0j+COS-0^I+COS2(71-%)

（2）证明：由“余弦方差”定义得:3

4=

3

22

+fcosycos%+sinysin%

则分子=