云南省曲靖市沾益区某中学2023-2024学年高二年级上册期末考试数学试题（含答案解析）

云南省曲靖市沾益区第一中学2023-2024学年高二上学期期末

考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合人={尤，-3x<0},3={1,2,3,4},则仅A)B=()

A.{4}B.{3,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3}

2.已知复数z满足2z-W=l+3i，则三=()

1

A.-1+iB.1-iC.1+iD.-1-i

22

3.若方程」r-工=1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数机的取值范围为()

4-m\+m

A.(-oo,-2)B.(-2,-1)

C.(-2,2)D.(—1,1)

4.两平行直线4：x+y—1=0和，2：x+y-3=o之间的距离为()

A.y[iB.2C.2V2D.3

13

4=()

5.等比数列{”“}的前〃项和为s“，若％yn%,53=y,则公比

A.3B.-C.3或工D.2

33

6'函数"尤)=寄才的部分图象大致是

7.已知向量m=,且m_L平面_1_平面B,若平面a与平面0的夹角

的余弦值为逆，则实数/的值为()

3

11、1

A.—或—1B.—或1C.—1或2D.—

252

8.在平面直角坐标系中，已知圆+(y-a『=/(q>0),&(_3,0),若圆C上

存在点P,使得|网=2俨。|,则正数。的取值范围为()

A.(0,1]B.[1,2]

C.[石,2]D.[1,3+26]

二、多选题

9.若直线平面。，且直线。不平行于平面a.给出下列结论正确的是()

A.a内的所有直线与。异面B.a内存在直线与。相交

C.a内存在唯一的直线与。平行D.a内不存在与。平行的直线

10.在等差数列｛%｝中，其前”的和是S“，若q=-9,1=3,贝U()

A.｛4｝是递增数列B.其通项公式是g=3〃-12

C.当S“取最小值时，〃的值只能是3D.S"的最小值是-18

22

11.设点招，工分别为椭圆C：/+[=1的左、右焦点，点尸是椭圆C上任意一点，若使

得罚『尸工=机成立的点恰好是4个，则实数加的取值可以是()

A.1B.3C.5D.4

12.已知抛物线C：/=12x,点产是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上的一点，点M(4,3),

则下列说法正确的是()

A.抛物线C的准线方程为x=-3

B.若|尸尸|=7,则APM尸的面积为

试卷第2页，共4页

C.|P同一|RW|的最大值为加

D.APMF的周长的最小值为7+M

三、填空题

13.设a,6为单位向量，且|a+b|=l,贝！)|a-b|=.

14.过点A(3,-l)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是-

15.已知四位数4521,任意交换两个位置的数字之后，两个奇数相邻的概率为.

16.已知各项均为正数的递增等差数列｛q｝,其前“项和为S"，公差为d,若数列｛后｝也

Q

是等差数列，则％+S的最小值为.

四、解答题

17.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S”*=15,兀=222.

⑴求｛4｝的通项公式；

⑵若b„=——，求数列也｝的前〃项和T„.

anan+\

18.已知圆C:尤2+_/+7噂+④+1=0,直线4：彳一y一1=0,l2：x-2y=0,且直线乙和乙均

平分圆C.

(1)求圆C的标准方程

(2)直线瓜+y+a-2百=0与圆C相交于Af,N两点，且NMCN=120。，求实数。的值.

19.在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,设VA3C的面积为S,且满足

22

S=^-^+b-c).

⑴求角C的大小；

(2)求sinAsinB的最大值.

22

20.已知双曲线C：—-4=1(b>0),直线/与双曲线C交于尸，。两点.

2b2

(1)若点(4,0)是双曲线C的一个焦点，求双曲线C的渐近线方程；

⑵若点P的坐标为卜6,0),直线/的斜率等于1,且忸。|=|,求双曲线C的离心率.

21.如图，在长方体ABCD-ABGA中，AB=AAl=4,A0=2,AE=^AB.

⑴证明：AC平面。口石；

(2)求直线D,E与平面DEC,所成角的正弦值.

22

22.已知椭圆C:7+方=：1,〉人〉。)的短轴长和焦距相等，长轴长是2拒.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)直线/与椭圆C相交于P,。两点，原点0到直线/的距离为华.点M在椭圆C上,

UUL1ULUIuum

且满足OM=OP+OQ,求直线/的方程.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案BBAACABDBDABD

题号1112

答案BDACD

1.B

【分析】解出集合A、B,利用补集和交集的定义可求得集合（9A）CB.

【详解】因为A={无产_3无<0}=30<元<3},贝|%4={尤|妇0或转3},

因此，（aA>3={3,4}.

故选：B.

2.B

【分析】设复数z,由题设条件求得z=l+i,最后代入所求式即得.

【详解】设2=。+历（aeR,6eR）,则』="历，

由2z-W=o+3历=l+3i，可得a=6=L

miz1+i1.

贝!）二=二-=1-i.

11

故选：B

3.A

F尤2I—1—Z72>0

【分析】原方程可变形为‘-----J=l，根据已知有“，八，解出即可.

-m-1m--4[-4+m->0

22

【详解】因为方程」r-工=1表示焦点在y轴上的双曲线，

4-m1+m

上y-上=1可变形为上-----J=L

4-m1+m-m-1m-4

-l-m>0m+1<0

所以有即解得m<-2.

-4+m2>0m2-4>0

故选：A.

4.A

【分析】利用平行线间距离公式计算即得.

【详解】平行直线4：x+y-1=。和4：x+y-3=。之间的距离d=

答案第1页，共12页

故选：A

5.C

【分析】利用等差数列的通项公式，化简求出电，判断qwi,利用前〃项和公式表示S3,

联立方程即可解出4.

【详解】数列｛%｝为等比数列，设首项为q,公比为4,根据题意有q

13

即=l①，所以电=1，若0=1,则有$3=3,与$3=可不符，所以4*1,

/3]收4=1

所以邑="।")=与②,联立①②两式有：，40-/)_13，即

j311F=5

q(j)(l+q+q)：”,-10^+3=0,解得4=3或4=1

1-q~33

故选：C

6.A

【分析】根据函数的奇偶性及。<尤时，/。)>。进行排除即可得解.

【详解】因为/(无)=等二，所以"-尤)=-/(尤)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对

称，所以B,D错误，

当0<x<?时，/(%)>0,所以C错误.

故选A.

【点睛】本题主要考查了识别函数图像，一般从以下几个方面进行选择即可：奇偶性，定义

域，特殊值，极限值，属于基础题.

7.B

【分析】利用向量的夹角公式列方程求解即可

【详解】因为“2=(12-1),〃=1,-7)

所以“2・77=2+2t,|//z|==A/1+2/2,

因为办平面“平面夕，若平面a与平面夕的夹角的余弦值为咨

\2+2t\2A/2解得^^或1.

所以化简得5产一6/+1=0

后，1+2/

答案第2页，共12页

故选：B

8.D

【分析】设P(x,y)，根据条件得到(X-1)2+y2=4,从而将问题转化成(X-1)2+V=4与圆c

有交点，再利用两圆的位置关系即可求出结果.

【详解】设P(x»),则由|以|=2|叫，得到J(x+3)2+y2=2jf+y2,

整理得到(x-l)2+y2=4,又点在圆C上，所以0-1)2+产=4与圆C有交点，

又(尤-以+:/=4的圆心为(1,0),半径为厂=2,圆C的圆心为(〃,〃)，半径为R="，

所以|2-a|wJg-lA+a?w2+a,解得lVaV3+2百，

故选：D.

9.BD

【分析】由题意可判断直线。与平面。相交，即可判断。内的直线与。的位置关系，即得答

案.

【详解】由直线。0平面a,且直线。不平行于平面a,

可知直线。与平面a相交，设交点为。，

则平面a内必存在过点。的直线，这些直线与a相交，故A错误，B正确；

假设a内存在直线与a平行，由于直线平面则直线。平行于平面a,

与题意矛盾，则a内不存在与“平行的直线，C错误，D正确，

故选：BD

10.ABD

【分析】由公差的正负性判断等差数列的单调性，由首项、公差写出等差数列通项公式，进

而可得前”项和公式，即可判断各选项的正误.

【详解】由d=3>0,可知等差数列伍」为递增数列，A正确；

由题设，an=—V)d=—9+3(n—1)=3n—12,B正确;

2)4，故当〃=3或4时，S“取最小值且为一18,故C

Jw———

“222

错误，D正确.

故选：ABD

答案第3页，共12页

11.BD

【分析】首先设点P（%%）,得到助=（—2-%,—%）,尸耳=（2-%,—%）,结合点尸在椭圆

上得到其=罔」，若成立的点有四个，则/在（-3,3）有两实数解，

则有0〈怨9m—一9＜9,解出其范围结合选项即得.

4

【详解】设P（9%）,：耳（一2,0）,6（2,0）,.•.助=（一2-%,一%）,尸鸟=（2-%,一%）,

22

由防.尸另=利可得君+尤=»7+4,又：点P在椭圆C上，即无+与=1,

...片=3，2,要使得尸勺嗨=加成立的点恰好是4个，则0＜二宁＜9,解得1＜相＜5.

故选：BD

12.ACD

【分析】根据抛物线的标准方程可得准线方程为了=-3,即可判断A,根据抛物线定义得到

%＞=4,故尸点可能在第一象限也可能在第三象限，分情况计算三角形面积即可判断B,利

用三角形任意两边之差小于第三边结合三点一线的特殊情况即可得到

二.（|尸刊-］「河|）2=性团，计算即可判断C,三角形PMF的周长

=\PM\+\MF\+\PF\=\PM\+\PF\+4IO,再结合抛物线定义即可求出1PMi+1尸产I的最小值,

即得到周长最小值.

【详解】.y=i2x,"=6,.一（3,0）,准线方程为x=-3,故A正确；

根据抛物线定义得附|=无「%＞+3=7,巧.=4,"（4,3）,

PM//y轴，当x=4时，y=±4石，

若尸点在第一象限时，此时尸（4,4力），

-1Q

故尸—3,△PMF的IWJ为1,故S「MF=—3卜1=2^/5—万，

若点P在第四象限，此时尸（4,-4石），故尸加=46+3,

△PMF的高为1,故5M=；x（4』+3）xl=2石+：,故B错误；

\PF\-\PM\＜\MF\,（|PF|-1PM|）max=\MF\=J（4-3）?+（3-Op=质，故C正确；

（连接月0,并延长交于抛物线于点P,此时即为12巴-1尸加1最大值的情况，

答案第4页，共12页

图对应如下)

过点尸作准线，垂足为点。,

APMF的周长=归河|+\MF\+\PF\=\PM\+\PF\+^10\PM\+\PD\+y/lO,

若周长最小，则1PM+忸。长度和最小，显然当点尸,位于同一条直线上时，忸时+|画|

的和最小,

此时1PM+0阳=|尸4=7,

故周长最小值为7+故D正确.

故选：ACD.

13.G

【分析】整理已知可得：+而+,再利用。力为单位向量即可求得2Q2=-1，对

1-0变形可得：|"_"|=，,|_2。2+忖，问题得解.

【详解】因为〃1为单位向量，所以同=网=1

所以卜+0="〃+〃)='忖+2々2+忖=12+2a.b=1

解得：2a-b=-l

所以卜-0=《(a—b)=^|a|-2a-Z?+|z7|=石

故答案为：出

【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.

14.x+3y=0或x+y-2=0.

【解析】分截距为0以及截距不为0两种情况分别求解即可.

答案第5页，共12页

【详解】当截距为。时，满足在两坐标轴上的截距相等.此时设直线方程为丁="，则

-1=3%n左=一：,故y=，化简得x+3y=0.

当截距不为0时,设直线方程为土+1=1,则°+匚=1n。=2.故;+W=1,化简可得

aaaa22

x+y-2=0.

故答案为：x+3y=0或x+y-2=°.

【点睛】本题主要考查了根据直线的截距关系式求解直线方程的问题，需要注意分截距为0

与不为0两种情况进行求解.属于基础题.

15.-/0.5

2

【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.

【详解】4521任意交换两个数的位置之后有：5421,2541,1524,4251,4125,4512,

共6种,

两个奇数相邻有1524,4251,4512共3种，

所以两个奇数相邻的概率为5.

故答案为：—

2

16.3

【分析】根据｛。“｝为等差数列，求出s“=£/+-?卜，又"+[4一g]为等差数列，

结合等差数列通项公式的特征，得到生=：,从而利用基本不等式求出答案.

【详解】因为｛七｝为等差数列，且”>0,

d2(d、

故c=—n-5r,

则横+]q-弓｝为等差数列，即要能化成一个关于n的一次函数,

则有％一■|=。，,

|71.|8d8等+3心产3》2口1,

贝！Ja,+------=—+-------

d+22d+2

当且仅当T="=2时’等号成立,

答案第6页，共12页

Q

故4+3的最小值为3・

d+2

故答案为：3

17.(l)a„=3«-1

⑵4=31

O9〃+6

【分析】（1）根据公式法求解即可；

（2）由于优丁1-J｝］，根据裂项相消求和即可解决.

313〃一13〃+2）

【详解】⑴由题知，等差数列｛%｝的前凡项和为sa,S3=154=222,

降，+出+%=15（a.+d=5

所以&=12（“；％）=222,叫2%+nd=37'

所以为=2+(“-1)-3=3九-1,

所以｛%｝的通项公式为%=3〃-1；

(2)由(1)得，an=3n-l,

11=1(1______

所以么=〃〃(〃〃)

44+1(3-1).(3+2)33-13+2

所以方=上1]]__!_L1__!_

3n+2)_3_23n+2_69n+6

所以数列也｝的前〃项和北.

69〃+6

18.(1)(A:-2)2+(J；-1)2-4

(2)a=]或a=—3

【分析】（1）根据直线4和4均平分圆c,可知两条直线都过圆心，通过联立求出两条直线

的交点坐标，由此得到圆心坐标即可得到圆的标准方程.

（2）根据NMCW=120。，及△MOV为等腰三角形可得到NCMV=30,可得圆心到直线的距

离，=小也/。^,再根据点到直线的距离公式即可求出实数a的值.

答案第7页，共12页

【详解】（1）因为直线4和4均平分圆c,所以直线4和4均过圆心c,

x—y—1=0%=2

因为，解得y],所以直线4和4的交点坐标为（2,1）,

所以圆心C的坐标为（2,1）,

-y,--

--=2

m=-4

所以，解得

n=-2

--=1

I2

所以圆C的方程为尤2+V-4x-2y+l=0,即（x-2）?+（y-11=4,

所以圆C的标准方程为（x-2）2+（y-以=4.

（2）由（1）得圆C的标准方程为（x-2y+（y-l）2=4,圆心C（2,l）,半径厂=2,

因为NMOV=120。，且△MOV为等腰三角形，所以NCMN=30，

因为|CM|=|CN|=r,

所以圆心C到直线底+y+a-2有=0的距离d=rsin/C跖V=2sin30=1,

+l+a-2制卜+“

根据点到直线的距离公式d==1

J（国+F2

HP|a+l|=2,解得a=l或a=-3,

所以实数。的值为。=1或。=一3

71

19.⑴C=§

⑵:

【分析】（1）由5=与（片+〃-02）,利用余弦定理和面积公式化简得tanC=6,可求角C

的大小；

（2）由5出村!12=$也公出目一4）,利用三角恒等变换化简得;sin（2Aq]+；,结合角

_7TTT

A的范围可知，当2A-：=二，sinAsinB取最大值.

62

答案第8页，共12页

【详解】(1)由S+〃一。2)可知，—absinC=^-x2abcosC.

4v724

所以tanC=JL

TT

因为OVCVTT,所以C=1.

(2)由已知sinAsinB=sinAsin(TT-C-A)

[3

=sinAsiny-Aj=sinA5+公

22

7

小.CA\…11/4兀11

=—sin2A—cos2AH—=—sin2A—H—.

4442I4

因为0<A<",所以一

3o66

TTTTTT3

所以当2A—£=£,即A=£时，sinAsin5取最大值:,

6234

3

所以sinAsin5的最大值是—.

4

20.(1)y=±V7x

⑵半

【分析】（1）利用双曲线的焦点坐标及标准方程，结合双曲线中a,"c三者的关系及双曲线

的渐近线方程即可求解.

（2）根据已知条件及直线的点斜式方程，将联立双曲线方程与直线方程，利用韦达定理及

点在直线上，结合两点间的距离公式及双曲线的离心率公式即可求解.

【详解】（1）;点（4,0）是双曲线C的一个焦点，；.c=4,

22

又,/C=片+/且〃2-2,解得Z?=14,

22

•••双曲线C的方程为土-二=1,

214

；•双曲线C的渐近线方程为y=土用x；

（2）设直线/的方程为y=x+0且

y=尤+夜,

联立尤2，可得伊_2产_4缶_4_2/=0,

A，

12

答案第9页，共12页

则一庭+%=言'..•王=与等’即％=%+点=2-Jlb1

b2-2

+玉）一+才=4陷=1

c414

解得廿=,,即由°2="+廿可得02=二，

y/14

故双曲线C的离心率为_c_忑_层.

否=亍

21.⑴证明见解析；

⑵西

63

【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，再利用空间位置关系的向量证明推

理即得.

（2）利用（1）中坐标系，求出平面。EG的法向量，再利用线面角的向量求法求解即可.

【详解】（1）在长方体ABCD-中，以。为坐标原点，向量DA,DC,DR分别为x,y,z

轴建立空间直角坐标系，

有。(0,0,0),A(2,0,0),8(2,4,0),C(0,4,0),E(2,l,0),2(0,0,4),。(0,4,4),

则AC=(-2,4,0),DE=(2,1,0),DD}=(0,0,4),AC-DE=(-2)x2+4x1=0,ACDDX=0,

因此AC_LDE,AC±DDt,又DEIDD、=D,DE,平面£>AE,

所以AC_L平面DDXE.

(2)设平面的法向量为相=(x,y,z),由。E=(2,l,0),DC,=(0,4,4),

答案第10页，共12页

DEm=2x+y=0

有〈，取x=l,得加=(1,—2,2),

DCX-m=4y+4z=0

设直线RE与平面DEC,所成的角为d,而=（-2,-1,4）

则sin6=|cos(ED,,m)|=回「川8_8721

721x3-63

\EDx\\m\

所以直线RE与平面OEC1所成角的正弦值为等

22.(1)^+/=1

3333

(2)y=2x+—^y=2x-—^y=-2x+—^y=-2x-—

【分析】（1）根据题意求出。力，即可得解；

（2）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线/的方程为>=区+机，

/、/、/、UUULUL1UULUU

尸（石,％）,。（%,%）,•（%,%），联立方程,利用韦达定理求出马+々，再根据QW=QP+OQ，

求出Af点的坐标，由M在椭圆上，可得左J