青海省西宁市沛西中学2025届高二数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

青海省西宁市沛西中学2025届高二数学第一学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若方程表示圆，则实数m的取值范围为（）A B.C. D.2．已知函数在上可导，且，则与的大小关系为A. B.C. D.不确定3．已知椭圆及以下3个函数：①；②；③，其中函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有（）A.0个 B.1个C.2个 D.3个4．下列直线中，倾斜角为45°的是（）A. B.C. D.5．如果双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则双曲线的标准方程是（）A. B.C. D.6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7＝28，则a4＝（）A.4 B.7C.8 D.147．圆心在x轴上且过点的圆与y轴相切，则该圆的方程是（）A. B.C. D.8．在棱长为1的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有（）A.不存在点使得异面直线与所成角为90°B.存在点使得异面直线与所成角为45°C.存在点使得二面角的平面角为45°D.当时，平面截正方体所得的截面面积为9．已知一个几何体的三视图如图，则其外接球的体积为（）A. B.C. D.10．下列说法错误的是（）A.“若，则”的逆否命题是“若，则”B.“”的否定是”C.“是"”的必要不充分条件D.“或是"”的充要条件11．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；②从统计量中得知有的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有的可能性使得推断出现错误；③回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；④如果两个变量的线性相关程度越高，则线性相关系数就越接近于；其中错误说法的个数是（）A. B.C. D.12．某市统计局网站公布了2017年至2020年该市政府部门网站的每年的两项访问量，数据如下：年度项目2017年2018年2019年2020年独立用户访问总量（单位：个）2512573924400060989网站总访问量（单位：次）23435370348194783219288下列表述中错误的是（）A.2017年至2018年，两项访问量都增长幅度较大；B.2018年至2019年，两项访问量都有所回落；C.2019年至2020年，两项访问量都又有所增长；D.从数据可以看出，该市政府部门网站的两项访问量都呈逐年增长态势二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在直棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为___________.14．若圆心坐标为圆被直线截得的弦长为，则圆的半径为______.15．记为等比数列的前n项和，若，公比，则______16．过点的直线与抛物线相交于，两点，，则直线的方程为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）写出下列命题的逆命题、否命题以及逆否命题：（1）若，则；（2）已知为实数，若，则18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别是，，离心率，请再从下面两个条件中选择一个作为已知条件，完成下面的问题：①椭圆C过点；②以点为圆心，3为半径的圆与以点为圆心，1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上（只能从①②中选择一个作为已知）（1）求椭圆C的方程；（2）已知过点的直线l交椭圆C于M，N两点，点N关于x轴的对称点为，且，M，三点构成一个三角形，求证：直线过定点，并求面积的最大值.19．（12分）已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）已知点，直线l与曲线C交于A，B两点，且，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由20．（12分）在平面直角坐标系中，圆C：，直线l：（1）若直线l与圆C相切于点N，求切点N的坐标；（2）若，直线l上有且仅有一点A满足：过点A作圆C的两条切线AP、AQ，切点分别为P，Q，且使得四边形APCQ为正方形，求m的值21．（12分）已如空间直角标系中，点都在平面内，求实数y的值22．（10分）已知动圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为（1）求动点的轨迹方程；（2）已知直线交轨迹于两点，，且中点的纵坐标为，则的最大值为多少？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据，解不等式即可求解.【详解】由方程表示圆，则，解得.所以实数m的取值范围为.故选：D2、B【解析】由,所以.3、C【解析】由椭圆的几何性质可得椭圆的图像关于原点对称，因为函数,函数为奇函数,其图像关于原点对称，则①②满足题意,对于函数在轴右侧时，，只有时，，即函数在轴右侧的图像显然不能等分椭圆在轴右侧的图像的面积,又函数为偶函数,其图像关于轴对称，则函数在轴左侧的图像显然也不能等分椭圆在轴左侧的图像的面积,即函数的图像不能等分该椭圆面积，得解.【详解】解：因为椭圆的图像关于原点对称，对于①，函数为奇函数，其图像关于原点对称，即可知的图象能等分该椭圆面积；对于②，函数为奇函数，其图像关于原点对称，即可知的图象能等分该椭圆面积；对于③，对于函数在轴右侧时，，只有时，，即函数在轴右侧的图像（如图）显然不能等分椭圆在轴右侧的图像的面积,又函数为偶函数,其图像关于轴对称，则函数在轴左侧的图像显然也不能等分椭圆在轴左侧的图像的面积,即函数的图像不能等分该椭圆面积，即函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有2个，故选C.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、函数的奇偶性及函数的对称性，重点考查了函数的性质，属基础题.4、C【解析】由直线倾斜角得出直线斜率，再由直线方程求出直线斜率，即可求解.【详解】由直线倾斜角为45°，可知直线的斜率为，对于A，直线斜率为，对于B，直线无斜率，对于C，直线斜率，对于D，直线斜率，故选：C5、D【解析】根据渐近线方程设出双曲线方程，然后将点代入，进而求得答案.【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，所以设双曲线方程为，将代入得：，即双曲线方程为.故选：D.6、A【解析】由等差数列的性质可知，再代入等差数列的前项和公式求解.【详解】数列{an}是等差数列，，那么，所以.故选：A.【点睛】本题考查等差数列的性质和前项和，属于基础题型.7、A【解析】根据题意设出圆的方程，列式即可求出【详解】依题可设圆的方程为，所以，解得即圆的方程是故选：A8、D【解析】由正方体的性质可将异面直线与所成的角可转化为直线与所成角，而当为的中点时，可得，可判断A；与或重合时，直线与所成的角最小可判断B；当与重合时，二面角的平面角最小，通过计算可判断C；过作，交于，交于点，由题意可得四边形即为平面截正方体所得的截面，且四边形是等腰梯形，然后利用已知数据计算即可判断D.【详解】异面直线与所成的角可转化为直线与所成角，当为中点时，，此时与所成的角为90°，所以A错误；当与或重合时，直线与所成角最小，为60°，所以B错误；当与重合时，二面角的平面角最小，，所以，所以C错误；对于D，过作，交于，交于点，因为，所以、分别是、的中点，又，所以，四边形即为平面截正方体所得的截面，因为，且，所以四边形是等腰梯形，作交于点，所以，，所以梯形的面积为，所以D正确.故选：D.9、D【解析】根据三视图还原几何体，将几何体补成长方体，计算出几何体的外接球直径，结合球体体积公式即可得解.【详解】根据三视图还原原几何体，如下图所示：由图可知，该几何体三棱锥，且平面，将三棱锥补成长方体，所以，三棱锥的外接球直径为，故，因此，该几何体的外接球的体积为.故选：D【点睛】方法点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段两两互相垂直，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解10、C【解析】利用逆否命题、命题的否定、充分必要性的概念逐一判断即可.【详解】对于A，“若，则”的逆否命题是“若，则”，正确；对于B，“”的否定是”，正确；对于C，“”等价于“或，∴“是"”的充分不必要条件，错误；对于D，“或是"”的充要条件，正确.故选：C11、C【解析】根据统计的概念逐一判断即可.【详解】对于①，方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，①正确；对于②从统计量中得知有的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有的可能性使得推断出现错误；故②正确；对于③，线性回归方程必过样本中心点，回归直线不一定就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线，也可能不过任何一个点；③不正确；对于④，如果两个变量的线性相关程度越高，则线性相关系数就越接近于，不正确，应为相关系数的绝对值就越接近于；综上，其中错误的个数是；故选：C.12、D【解析】根据表格数据，结合各选项的描述判断正误即可.【详解】A：2017年至2018年，两项访问量分别增长、，显然增长幅度相较于后两年是最大的，正确；B：2018年至2019年，两项访问量相较于2017年至2018年都有回落，正确；C：2019年至2020年，两项访问量分别增长、，正确；D：由B分析知，该市政府部门网站的两项访问量在2018年至2019年有回落，而不是逐年增长态势，错误.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】建立空间直角坐标系后求相关的向量后再用夹角公式运算即可.【详解】如图，以C为坐标原点，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，所以，所以，故异面直线与所成角的余弦值为，故答案为:.14、【解析】利用垂径定理计算即可.【详解】设圆的半径为，则，得.故答案为：.15、4【解析】根据给定条件列式求出数列的首项即可计算作答.【详解】依题意，，解得，所以.故答案为：416、##【解析】根据抛物线方程可得焦点坐标，进而点P为抛物线的焦点，设，利用抛物线的定义可得，有轴，即可得出结果.【详解】由题意知，抛物线的焦点坐标，又，所以点P为抛物线的焦点，设，由，由抛物线的定义得，解得，所以AB垂直与x轴，所以直线AB的方程为：.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】（1）（2）根据逆命题、否命题以及逆否命题的定义作答即可；【小问1详解】解：逆命题：若，则；否命题：若，则；逆否命题：若，则【小问2详解】解：逆命题：已知为实数，若，则；否命题：已知为实数，若或，则；逆否命题：已知实数，若，则或18、（1）（2）证明见解析，【解析】（1）若选①，则由题意可得，解方程组求出，从而可求得椭圆方程，若选②，，再结合离心率和求出，从而可求得椭圆方程，（2）由题意设直线MN的方程为，设，，，将直线方程代入椭圆方程中，消去，再利用根与系数的关系，表示出直线的方程，令，求出，结合前面的式子化简可得线过的定点，表示出的面积，利用基本不等式可求得其最大值【小问1详解】若选①：由题意知，∴.所以椭圆C的方程为.若选②：设圆与圆相交于点Q.由题意知：.又因为点Q在椭圆上，所以，∴.又因为，∴，∴.所以椭圆C的方程为.【小问2详解】由题易知直线MN斜率存在且不为0，因为，故设直线MN方程为，设，，，∴，∴，，因为点N关于x轴对称点为，所以，所以直线方程为，令，∴.又，∴.所以直线过定点，∴.当且仅当，即时，取等号.所以面积的最大值为.19、（1），；（2）过，.【解析】（1）根据两圆内切和外切的性质，结合双曲线的定义进行求解即可；（2）设出直线l的方程与双曲线的方程联立，利用一元二次方程根与系数关系，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解判断即可.【小问1详解】设圆E的圆心为，半径为r，则，，所以由双曲线定义可知，E的轨迹是以M，N为焦点、实轴长为6的双曲线的右支，所以动圆的圆心E的轨迹方程为，；【小问2详解】设，，直线l的方程为由得，且，故又，所以又，，所以，即．又故或若，则直线l的方程为，过点，与题意矛盾，所以，故，所以直线l的方程为，过点【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.20、（1）或（2）3.【解析】（1）设切点坐标，由切点和圆心连线与切线垂直以及切点在圆上建立关系式，求解切点坐标即可；（2）由圆的方程可得圆心坐标及半径，由APCQ为正方形，可得|AC|＝可得圆心到直线的距离为，可得