2023年中考数学一轮复习：反比例函数

数学学科学生讲义

学生姓名：年级：九年级科目：数学学科教师：

课题反比例函数综合复习

授课类型经典例题巩固提升

1.掌握反比例的基础知识；

教学目标

2.掌握反比例函数综合题目的求解。

教学重难点反比例函数综合题目：面积问题，根据面积求k。

授课日期及时段

教学内容

经典例题

1.反比例函数

例题1、下列函数关系式中，一定是反比例函数的是（）

.6n121ckn5

A.y=-----D.y=------FIC.y=—I）,y=------

x+lxx2x

随练I、已知函数y与尤+l成反比例，且当x=-2时，y=-3.

（I）求y与x的函数关系式；

（2）当x=1时，求y的值.

2

随练2、若函数户册（加是常数）是反比例函数，则机=____________,解析式为_____________.

随练3、某工人承包运输粮食的总数是枚吨，每天运x吨，共运了y天，则y与x的关系式为___________,

是___________函数.

2、成反比例关系

例题1、已知y与九成反比例，当％=3时，y=4,那么y=3时，x的值等于（）

A.4B.-4C.3D.-3

A.3B.-3

5、利用反比例函数解决实际生活问题

例题1、某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y(单位：公顷/人)与总人口x(单位：人)的

函数图象如图所示，则下列说法正确的是()

A.该村人均耕地面积随总人口的增多而增多

B.该村人均耕地面积y与总人口x成正比例

C.若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人

D.当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷

例题2、二氧化碳的密度P(kg/m3)关于其体积V(n?)的函数关系式如图所示，那么函数关系式是

例题3、环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超

过最高允许的L0mg/L.环保局要求该企业立即整改，在15天以内(含15天)排污达标.整改过程中，所

排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规

律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系.

(1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；

(2)该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的l.Omg/L?为什么？

随练1、临平一中的张老师在化学实验室做实验时，将一杯100℃的开水放在石棉网上自然冷却，如图是

这杯水冷却时的温度变化图，根据图中所显示的信息，下列说法不正确的是

A.水温从100℃逐渐下降到35℃时用了6分钟

B.从开始冷却后14分钟时的水温是15℃

C.实验室的室内温度是15℃

D.水被自然冷却到了10℃*二\‘、

随练2、家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，它的电阻R(kQ)随温度t(°C)(在一定范围内)

变化的大致图象如图所示.通电后，发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反

比例关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃,电

阻增加4kQ.

而

(1)求当10WtW30时，R和t之间的关系式；

(2)求温度在30℃时电阻R的值；并求出t230时，R和t之间的关系式；

(3)家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过6kQ?

hR(KQ)

6匕/

随练3、方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t(单位:

小时)，行驶速度为v(单位：千米/小时)，且全程速度限定为不超过120千米/小时.

(1)求v关于t的函数表达式；

(2)方方上午8点驾驶小汽车从A地出发.

①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围.

②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由.

6、反比例函数的代数综合

反比例函数与方程和不等式

k_k

如图，双曲线与直线相交，则方程幺=匕％+6的解为交点的横坐标玉、々；不等式网尤+6>&的解为

xx

x>芯或v,<x<0.

二.反比例函数与一次函数

已知反比例函数与一次函数的一个交点，求函数解析式，只要把交点坐标分别代入到两个解析式即可.

当反比例函数与正比例函数相交时，交点关于原点对称，即占

7、反比例函数与方程，不等式综合

例题1、关于反比例函数y=-2,下列说法正确的是（）

X

A.图象过（1,2）点B.图象在第一、三象限

C.当x>0时，y随x的增大而减小D.当x<0时，y随x的增大而增大

例题2、如图，反比例函数％=k］的图象与正比例函数y2=k?x的图象交于点（2,1）,则使丫1>丫2的*的

取值范围是（）

A.0<x<2

C.x>2或-2<x<0D.x<-2或0<x<2

例题3、己知直线y=x-3与函数的图象相交于点（a,b）,则代数式a'b?的值是（）

x

A.13B.11C.7D.5

例题4、求一元二次方程x?+3x-1=0的解，除了课本的方法外，我们也可以采用图象的方法：在平面直角

坐标系中，画出直线y=x+3和双曲线y=i的图象，则两图象交点的横坐标即该方程的解.类似地，我们可

以判断方程x3-x-1=0的解的个数有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

7

随练1、函数yi=xT和函数y?=二的图象相交于点M（2,m）,N（~1,n）,若yi>yz,则x取值范围（

x

A.x<-l或0<x<2B.x<-l或x>2

C.-l<x<0或0<x<2D.-l<x<0或x>2

已知A（-,yi）,B（2,y）为反比例函数y=L图象上的两点，动点P（x,0）在x

随练2、如图所示,2

2x

轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（）

3

B.(1,0)C.(-,0)D.(0)

21

随练3、反比例函数y=]_6t的图象与直线y=-x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t

的取值范围是(

A.t<]B.t>।

7?

随练4、如图，一次函数>1=履+6(人/0)的图象与反比例函数*=皿(机为常数且mW。)的图象都经过

4(-1,2),8(2,-1),结合图象，则不等式依+6>见的解集是(

A.x<-1B.-l<x<0C.尤<-1或0<%<2D.-l<x<0或x>2

8、反比例函数与一次函数综合

例题1、己知x?+3x+5的值为11,则代数式3x，9x-12的值为()

例题2、已知一次函数yi=kx+b图象与x轴相交于点A,与反比例函数y2=£相交于B(-1,5)>C(-,d)

%2

两点.点P(m,n)是一次函数yi=kx+b的图象上的动点.

(1)求k、b的值；

(2)设TVrnV,，过点P作x轴的平行线与函数y2=£的图像相交于点D.试问4PAD的面积是否存在最

2x

大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)m=l-a,如果在两个实数ni与n之间(不包括m和n)有且只有一个整数，求实数a的取值范围.

随练1、已知点A(-2,0),B为直线x=-1上一个动点，P为直线AB与双曲线y=-的交点，且AP=2AB,

随练2、设一次函数y=kx+b(k,b是常数，kWO)的图象过A(1,3),B(-1,-1)两点.

(1)求该一次函数的表达式；

(2)若点(2a+2,a2)在该一次函数图象上，求a的值.

(3)已知点C(xi,yi)和点D(X2,y2)在该一次函数图象上，设m=(xi-X2)(yi-y2),

判断反比例函数y=02的图象所在的象限，说明理由.

随练3、如图，反比例函数和一次函数y=kx—1的图象相交于A(m,2m),B两点.

X

⑴求一次函数的表达式；

(2)求出点B的坐标，并根据图象直接写出满足不等式也＜kx—l的x的取值范围.

9,反比例函数与几何综合

一.反比例函数与三角形综合

一般为定点与动点构成特殊三角形情况，利用等腰三角形，直角三角形，等边三角形，等腰直角三角形等

固有特殊性质，进行求解，并且注意考虑到多种结论的情况.

二.反比例函数与四边形综合

四边形与反比例函数的综合问题与三角形部分基本上相同，不同的是涉及到平行四边形等特殊四边形的时

候经常会出现两个顶点两个动点的情况需要进行分类讨论.

三.反比例函数与面积问题

反比例函数涉及到的面积问题一般都为三角形面积和矩形面积问题，对于三角形面积我们可以对三角形进

行分割再去求解，对于矩形面积问题，我们要注意左值的几何意义和正负的讨论.

10、与三角形综合

例题1、在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为(-3,0),(3,0),点P在反比例函数y=」的图

x

象上，若4PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为()

A.2个B.4个C.5个D.6个

例题2、如图，若双曲线y=人与边长为5的等边AAOB的边0A,AB分别相交于C,D两点，且0C=3BD,则

例题3、如图，过原点的直线与反比例函数y=K*>0)的图象交于A,8两点，点A在第一象限.点C

x

在X轴正半轴上，连结AC交反比例函数图象于点。.AE为N8AC的平分线，过点8作AE的垂线，垂足

为E,连结DE.若AC=3OC,△AOE的面积为8,则左的值为.

7

随练1、如图，直线1与反比例函数y=』的图象在第一象限内交于A,B两点，交x轴于点C,若AB：BC=

例题1、如图，A、B两点在双曲线y=&上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影=1.7,

例题2、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC=3：2,点A(3,0),B(0,6)分别在x轴,

y轴上，反比例函数y=k(x>。)的图象经过点D,且与边BC交于点E,则点E的坐标为.

例题3、如图，双曲线y=*(尤>0)经过矩形OABC的顶点双曲线y=q(%>0)交AB,BC于点E、F,

且与矩形的对角线OB交于点。，连接EF.若OD：08=2：3,则的面积为.

随练1、如图，0是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为(-3,4),顶点C在x轴的负半轴上，函数

y=-(x<0)的图象经过顶点B,则k的值为()

X

A.-12B.-27C.-32D.-36

随练2、如图，直线A8与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,2),将线段A3绕点A顺时针旋

<n）,并把矩形OABC分成面积相等的两部分，过点M的双曲线y=X（x>0）交边AB于点N.若AOAN的

X

面积是4,求△OMN的面积.

巩固提升

［、下歹U各函数①,=&②y③y④y=—⑤y=⑥^=--3©y=二和⑧y=3工-1中,

xx5xx+12xx

是y关于x的反比例函数的有：（填序号）.

2、反比例函数尸幺二3的图象，当x>0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（）

x

A.k<3B.kW3C.k>3D.k23

3、函数y=A与丫=-1«2+卜（k=0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）

8,如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=K(x>0)的图象交矩形OABC的边AB于点D,交边BC于

x

点E,且BE=2EC.若四边形ODBE的面积为6,则k=.

9、如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数丫=1«+13的图象与反比例函数y='的图象交于A(2,3)、

X

B(-3,n)两点.

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)若P是y轴上一点，且满足4PAB的面积是5,直接写出0P的长.

10、某气球充满一定质量的气体后，当温度不变时，气球内的气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的

反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应

c丁I丁243C.不大于空胡

A.不大于乐B.不小于一mD.不小于一m

353737

200

150

10旬0

14、方程X2+3X-1=0的根可视为函数y=x+3的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程x3+2x-l=0的实

X

根X。所在的范围是一

A.0<x»<-B.-<xo<-C.-<x»<-D.-<x»<l

443322

15、如图，直线尸1与双曲线尸I人-(k>0,x>0)交于点A,将直线尸1Lx向上平移4个单位长度后,

2x2

与y轴交于点C,与双曲线y=K(k>0,x>0)交于点B,若0A=3BC,

X

A.3B.6C.-

4

16、如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A