2024八年级数学上册阶段拔尖专训第2招全等三角形中的截长补短法习题课件新版浙教版

浙教版八年级上第2招全等三角形中的截长补短法01典例剖析02分类训练目

录CONTENTS教你一招

截长法和补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中

有着广泛的应用.具体的做法是在某条线段上截取一条线段

等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相

等，再利用全等三角形的判定与性质等有关知识来解决数学

问题.

阅读下面文字并证明：数学习题课上李老师出了这样一道题：如图①，在△

ABC

中，

AD

平分∠

BAC

，∠

B

＝2∠

C

.

求证：

AB

＋

BD

＝

AC

.

李老师给出了如下简要分析：要证

AB

＋

BD

＝

AC

，就

是要证线段的和差问题，所以有两个方法：方法一：“截长法”如图②，在

AC

上截取

AE

＝

AB

，

连结

DE

.

方法二：“补短法”如图③，延长

AB

至点

F

，使

BF

＝

BD

.

“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍

分”问题常用的方法.

截长补短类辅助线，核心思想为数学中的转

化思想，此类题的关键是要找到最长边和最短边，然后确定

截取辅助线的方式.证明：方法一：在

AC

上截取

AE

＝

AB

，连结

DE

，如

图②.∵

AD

平分∠

BAC

，∴∠

BAD

＝∠

DAC

.

∴∠

AED

＝2∠

C

.

∵∠

AED

＝∠

C

＋∠

EDC

，∴∠

EDC

＝∠

C

，∴

DE

＝

CE

，∴

AB

＋

BD

＝

AE

＋

CE

＝

AC

.

方法二：如图③，延长

AB

至点

F

，使

BF

＝

BD

，∴∠

F

＝∠

BDF

，∴∠

ABD

＝∠

F

＋∠

BDF

＝2∠

F

.

旋转型全等三角形中的截长补短1.

如图，在四边形

ABCD

中，∠

ABC

＋∠

ADC

＝180°，

AB

＝

AD

.

若点

E

在

CB

的延长线上，点

F

在

CD

的延长

线上，且满足

EF

＝

BE

＋

FD

，请写出∠

EAF

与∠

DAB

的数量关系，并说明理由.1234

∵∠

ABC

＋∠

ADC

＝180°，∠

ABC

＋∠

ABE

＝

180°，∴∠

ADC

＝∠

ABE

.

又∵

AD

＝

AB

，

DG

＝

BE

，∴△

ADG

≌△

ABE

(

SAS

)，1234∴

AG

＝

AE

，∠

DAG

＝∠

BAE

.

∵

EF

＝

BE

＋

FD

＝

DG

＋

FD

＝

GF

，

AF

＝

AF

，∴△

AEF

≌△

AGF

(

SSS

)，∴∠

FAE

＝∠

FAG

.

∵∠

FAE

＋∠

FAG

＋∠

GAE

＝360°，∴2∠

FAE

＋(∠

GAB

＋∠

BAE

)＝360°，

12342.

[新考法

分类讨论法]如图①，把两个全等的直角三角形的

斜边重合，组成一个四边形

ACBD

，以

D

为顶点作∠

MDN

，交边

AC

，

BC

于

M

，

N

，已知∠

CAD

＝∠

CBD

＝90°.(1)当∠

ACD

＋∠

MDN

＝90°时，

AM

，

MN

，

BN

三条

线段之间有何数量关系？请写出你的证明过程.1234【解】

AM

＋

BN

＝

MN

.

证明如下：∵△

ACD

≌△

BCD

，∴∠

ADC

＝∠

BDC

，

AD

＝

BD

.

如图①，延长

CB

到点

E

，使

BE

＝

AM

，

连结

DE

.

∵∠

A

＝∠

CBD

＝90°，∴∠

A

＝∠

EBD

＝90°.1234

1234

1234(2)如图②，在(1)的条件下，若将

M

，

N

移到

CA

，

BC

的

延长线上，完成图②，其余条件不变，则

AM

，

MN

，

BN

之间有何数量关系？证明你的结论.1234【解】完成图②如图，

BN

－

AM

＝

MN

.

证明如下：∵△

ACD

≌△

BCD

，∴∠

ADC

＝∠

BDC

，

AD

＝

BD

.

如图②，在

BC

上截取

BE

＝

AM

，连结

DE

.

∵∠

B

＝∠

CAD

＝90°，∴∠

B

＝∠

DAM

＝90°.1234

1234

1234

一般类型全等三角形中的截长补短3.

[2024·宁波月考]如图，在△

ABC

中，∠

B

＝60°，

AD

，

CE

分别是∠

BAC

，∠

BCA

的平分线，

AD

，

CE

相交于

点

F

.

试判断线段

AE

，

CD

与

AC

之间的数量关系并说明

理由.1234

1234

1234

12344.

[新视角猜想验证题]数学课上，小白遇到这样一个问题：如图①，在等腰直角三角形

ABC

中，∠

BAC

＝90°，

AB

＝

AC

，

AD

＝

AE

，求证：∠

ABE

＝∠

ACD

.

1234小白通过研究发现，∠

AFB

与∠

HFC

有某种数量关系；小白还通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一

条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可

以得出结论.阅读上面材料，请回答下面问题：在此问题的基础上，老师补充：过点

A

作

AF

⊥

BE

于点

G

交

BC

于点

F

，过点

F

作

FP

⊥

CD

交

BE

于点

P

，交

CD

于点

H

，试探究线段

BP

，

FP

，

AF

之间的数量关系，并说明理由.1234(1)求证：∠

ABE

＝∠

ACD

；

1234(2)猜想∠

AFB

与∠

HFC

的数量关系，并证明；【解】猜想∠

AFB

＝∠

HFC

.

证明如下：设∠

ABE

＝∠

ACD

＝

x

.∴∠

FBG

＝∠

FCH

＝45°－

x

.∵

AF

⊥

BE

，∴∠

BGF

＝90°，∴∠

AFB

＝90°－(45°－

x

)＝45°＋

x

.∵

FP

⊥

CD

，∴∠

HFC

＝90°－(45°－

x

)＝45°＋

x

，∴∠

HFC

＝∠

AFB

.

1234(3)探究线段

BP

，

FP

，

AF

之间的数量关系，并证明.

1234∵∠

BFA

＝∠

MFC

＝∠

NFC

，

FC

＝

FC

，∠

ACB

＝

∠

BCM

＝45°，∴△

NFC

≌△

MFC

(

ASA

)，∴