数学单元测试：圆的进一步认识

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精单元测试1。如图2—1，AB是⊙O的直径，C为半圆上一点，CD⊥AB于D，若BC＝3，AC＝4,则AD∶CD∶BD等于……（）图2—1A。4∶6∶3 B。6∶4∶3C.4∶4∶3 D.16∶12∶9思路解析：由AB是△ABC的直径,可得△ABC是直角三角形，由勾股定理知AB=5，又CD⊥AB，根据射影定理就有AC2=AD·AB,于是AD=.同理,BD=，CD=，据此即得三条线段的比值。答案:D2。如图2-2，在半圆O中，AB为直径,CD⊥AB，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F,则图中相似三角形一共有(）A。3对 B。4对 C.5对 D。6对图2-2思路解析:由题设,△ABC是直角三角形，CD⊥AB,可知△ACD∽△ABC∽△CBD，这就是3对.又AF平分∠CAB，所以有△CAF∽△DAE,△CAE∽△BAF，这样一共有5对三角形相似。答案:C3.如图2-3，在⊙O中，AB为直径,AD为弦,过B点的切线与AD的延长线交于C，且AD=DC,则sin∠ACO等于(）图2-3A。 B. C。 D.思路解析：连结BD、DO,过O作OE⊥AC于E.由AB为直径,有BD⊥AC.由△ABC是直角三角形,AD=CD,得△ABC是等腰直角三角形,然后设AE=x,用x表示出CE，进一步表示出OC，利用三角函数定义即可得到所求的值。答案:A4.如图2-4,已知⊙O的半径OA=5，点P是OA上一点,且AP=2,弦MN过点P,且MP∶PN=1∶2，那么弦心距OQ为（）图2—4A. B。 C. D。思路解析:求弦心距OQ的长需要知道OP、PQ的长度。显然OP=3。因此关键是求PQ的长,而求PQ的长，主要是求MP、NP的长。延长PO交⊙O于点C,设MP=x,则PN=2x，由相交弦定理得MP·PN=AP·PC.∴x·2x=2×8.∴.由垂径定理得，∴。在Rt△OPQ中，==.答案:C5。如图2-5，△ABC是⊙O的内接三角形,PA是切线，PB交AC于E，交⊙O于D，且PE=PA，∠ABC=60°，PD=1cm，BD=8cm,则CE长为…(）图2-5A. B.9cm C。 D.4cm思路解析：由弦切角定理和∠ABC=60°,知∠PAE=60°，又考虑PE=PA,容易知道△PAE为等边三角形。再考虑切割线定理,求得PA2=PD·PB,从而PA=AE=3，容易求出ED=2，BE=6，∴由相交弦定理得AE·EC=BE·ED.∴==4。答案：D6.如图2—6,PA为⊙O的切线，A为切点，PA=8，PCB是割线，交圆于C、B两点，且PC=4,AD⊥BC于D，∠ABC=α，∠ACB=β,连结AB、AC,则的值等于…（)图2-6A。 B. C.2 D。4思路解析：从入手考察。∵AD⊥BC,∴=·=。由条件容易发现△PAC∽△PBA，从而=.由切割线定理容易求得PB.∵PA2=PC·PB,∴PB===16。∴==。答案:B7.如图2—7，在⊙O中，AB为直径，AD为弦,过B点的切线与AD的延长线交于点C,若AD=CD,则sin∠ACO等于（）图2—7A. B. C。 D。思路解析：过点O作OF⊥AC于F,则sin∠ACO=.因此关键是求的值.连结BD,由CB切⊙O于B与AD=DC，容易得到△ABC为等腰直角三角形.设⊙O半径为r，则，AF=OF=。在Rt△BCO中,OC===，∴sin∠ACO===。答案：A8.如图2-8,已知⊙O的弦AB、CD相交于点P,PA=4，PB=3,PC=6，EA切⊙O于点A,AE与CD的延长线交于点E,AE=，那么PE的长为。图2—8思路解析：求PE的长,需要求出ED与DP的长,而ED和DP的长分别由切割线定理和相交弦定理求出。∵AP=4，BP=3，PC=6，∴PD=2.∵EA2=ED·EC，∴ED=2.∴PE=2+2=4.答案：49.如图2-9,已知△ABC中，∠ABC的平分线交AC于F,交△ABC的外接圆于E，ED切圆于E，交BC的延长线于D。求证：AE2=AF·DE。图2-9思路分析:题目中的四条线段不能组成两个相似的三角形,所以利用平行将AE换成EC,根据△AFE∽△ECD得到比例式,再换回线段即可。证明:连结EC。∵四边形ABCE内接于⊙O,∴∠7=∠3+∠5.又∵∠5=∠2,∠2=∠1，∴∠7=∠3+∠1。∵∠4=∠3+∠1,∴∠7=∠4.∵DE切⊙O于E，EC为弦,∴∠6=∠5.∴△AFE∽△ECD.∴=，即AE·EC=DE·AF.∵∠1=∠2，∴AE=EC。∴AE=EC.∴AE2=DE·AF.10.如图2-10所示,已知AB为⊙O的直径,C、D是直径AB同侧圆周上两点，且=,过D作DE⊥AC于点E.求证：DE是⊙O的切线.图2—10思路分析:要证DE是⊙O的切线,根据切线的判定定理，连结OD，只需证明OD⊥DE即可，即“作半径，证垂直”,这是证明圆的切线的另一方法。证明：连结OD、AD。∵=，∴∠1=∠2。∵OA=OD,∴∠2=∠3.∴∠1=∠3.∴AE∥OD.∵AE⊥DE，∴OD⊥DE。∴DE是⊙O的切线。11.如图2—11，已知在△ABC中,AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D,过D点作⊙O的切线交AC于E.图2-11求证：（1）DE⊥AC;(2）BD2=CE·CA.思路分析:本例是考查切线的性质与直径所对的圆周角是直角的综合题,掌握常见的辅助线作法是解题关键，即连结圆心和切点的半径，根据切线的性质,则有半径垂直于这条切线。证明:(1)连结OD、AD。∵DE是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DE.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC。∴AB=AC，BD=DC。∴OD∥AC,DE⊥AC。(2)∵AD⊥BC,DE⊥AC，∴△CDE∽△CAD.∴=.∴CD2=CE·CA.∴BD=DC。∴BD2=CE·CA。12。如图2—12，已知⊙O和⊙O′都经过A、B两点，AC是⊙O′的切线，交⊙O于点C,AD是⊙O的切线，交⊙O′于点D。求证:AB2=BC·BD。图2—12思路分析:欲证AB2=BC·BD，即要证=,于是只要证△ABD∽△ABC即可,而题目中分别给出两圆切线，可产生弦切角定理,从而命题得证.证明:∵AC是⊙O′的切线,AD是⊙O的切线，∴∠BAD=∠C,∠BAC=∠D。∴△ABD∽△CBA.∴=,即AB2=BC·BD。13。如图2—13,已知⊙O外一点P，作⊙O的切线PQ,Q为切点,过PQ中点M，作割线MAB,交⊙O于点A、B,连结PA并延长交⊙O于C,连结PB交⊙O于点D，求证：CD∥PQ.图2-13思路分析：本题要证CD∥PQ,只要证∠ACD＝∠APQ，又∠ACD＝∠ABD，因而只需证∠ABD=∠APQ,这可利用相似三角形证得.证明:∵PQ切⊙O于Q,∴MQ2=MA·MB.又∵M为PQ中点,即MQ=MP,∴MP2=MA·MB，即=.又∠AMP=∠PMB，∴△AMP∽△PMB。∴∠MPA=∠ABD。又∵∠ABD=∠ACD，∴∠MPA=∠ACD。∴CD∥PQ.14.如图2—14,已知O是正方形ABCD中边BC的中点，AP与以O为圆心，OB为半径的半圆切于T点。求AT∶TP的值。图2-14思路分析:注意到AB、AT为切线，PT、PC为切线,则想到连结OA、OT、OP，构造切线长定理的基本图形,要求AT∶TP，则只需求AB∶PC,这可以通过解直角三角形或△ABO∽△OCP求得.解法一：连结AO、TO、OP。∵四边形ABCD为正方形,∴BC⊥AB,BC⊥CD。又∵BC为⊙O的直径，∴AB、DC为⊙O的切线，切点为B、C。∵AT、AB切⊙O于T、B,∴AT=AB且∠AOB=∠AOT.∵PT、PC切⊙O于T、C,∴PT=PC且∠POT=∠POC。又∵∠AOB+∠AOT+∠POT+∠POC=180°,∴∠AOB+∠POC=∠AOP=90°。又∠ABO=90°，∴∠POC=∠BAO.∴Rt△ABO∽△Rt△OCP.∴==.∴OB=2CP。∴AB=2OC=2OB=4CP,即AT∶TP=4∶1.解法二:先证得∠BAO=∠POC（方法同上)。在Rt△ABO中，tan∠BAO==,在Rt△OCP中,PC=OC·tan∠POC==×=,∴AT∶TP=4∶1。解法三：先证得AT=AB，PT=PC（方法同上).设正方形边长为a,PT=PC=x，则PD=a—x.又∵AT=AB=AD=a，在Rt△ADP中,AD2+DP2=AP2,即a2+(a—x）2=(a+x)2,解得。∴AT∶TP=4∶1。15。如图2-15，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过O点的割线，PA=10，PB=5，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别相交于D和E，图2-15求:（1)⊙O的半径;(2)sin∠BAP的值;(3)AD·AE的值.思路分析:(1）由PA2=PB·PC求出PC,从而求出半径。(2）先把∠BAP转换到直角三角形中，利用∠BAP=∠ACB转换.(3)直接求AD·AE较难,用相似三角形转换成其他线段之积.解:（1）∵PA2=PB·PC，PA=10，PB=5,∴PC=20，即BC=15。∴⊙O的半径为7.5。（2)在△PBA和△P