专题07 圆中的相关计算问题（云南专用）（解析版）

专题07圆中的相关计算问题目录热点题型归纳 1一、与圆相关的证明与计算 1题型01与圆相关的证明与计算（常见模型） 1【解题策略】 1二、求线段长的三种方法 7题型02利用勾股定理或三角函数求线段长（方法一） 7【解题策略】 7题型03利用相似三角形的性质求线段长（方法二） 12题型04利用等面积法求线段长（方法三） 17三、与圆有关的阴影部分面积的计算 21题型05与圆有关的阴影部分面积的计算 21中考练场 32 一、与圆相关的证明与计算题型01与圆相关的证明与计算（常见模型）【解题策略】方法技巧常见模型（知识提炼）图示技巧点拨1.有直径构造直角有30°，构造直角三角形.有直径，构直角.2.圆中易得等腰三角形圆中易得等腰三角形；3.有平行四边形，易得含60°的菱形以两半径为邻边的平行四边形，必为含60°的菱形.4.含直径为腰的等腰三角形，易得三线合一含直径为腰的等腰三角形，易得三线合一；5.有中点，得垂直有中点，连圆心，构垂径定理.6.连接圆心的线段易为中位线连接圆心的线段易为中位线.【典例分析】【例1】（2023·辽宁模拟）如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，直线PE切⊙O于点Q，连接BQ．(1)∠QBP=25°，求∠P的度数；(2)若PA=2，PQ=4，求⊙O的半径．【答案】解：(1)连接OQ，

∵直线PE切⊙O于点Q，

∴∠PQO=90°，

∵∠QBP=25°，

∴∠QOP=50°，

∴∠P=90°−∠QOP=40°

，

即∠P=40°；

(2)设OQ=r，

则PO=2+r，

由勾股定理得，r2+42=(2+r)2

，

解得：r=3，

【解析】此题考查了切线的性质，圆周角定理及推论以及勾股定理的应用，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．

(1)连接QO，直线PE切⊙O于点Q，可得∠PQD=90°，然后根据圆周角定理及推论，可得∠QOP，从而求出∠P的度数；

(2)设OQ=r，则PO=2+r，由勾股定理可得，r2+42=(2+r)【例2】（2023·全国模拟）如图，直线AB经过⊙O上一点C，并且OA=OB，CA=CB.直线AB与⊙O具有怎样的位置关系？请说明理由．

【答案】解：直线AB是⊙O的切线，

理由：连接OC，如图，

∵OA=OB，AC=BC，

∴OC⊥AB，

∵OC为⊙O的半径，

∴直线AB是⊙O的切线；

【解析】根据等腰三角形性质得出OC⊥AB，根据切线的判定得出即可．

本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，熟练掌握切线的判定是解题的关键．【变式演练】1.（2023·山西模拟）

如图，⊙O的直径AB=6，C为圆周上一点，AC=3，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E．

(1)求∠AEC的度数；

(2)求证：四边形OBEC是菱形．【答案】解：(1)∵OA=OC=12AB=3，AC=3，

∴OA=OC=AC，

∴△OAC为等边三角形，

∴∠AOC=60°，

∵圆周角∠AEC与圆心角∠AOC所对的弧都是AC，

∴∠AEC=12∠AOC=30°；

(2)∵直线l切⊙O于C，

∴OC⊥CD，

又∵BD⊥CD，

∴OC/​/BD，

∴∠B=∠AOC=60°，

∵AB为⊙O直径，

∴∠AEB=90°，

又∵∠AEC=30°，

∴∠DEC=90°−∠AEC=60°，

∴∠B=∠DEC，

∴CE//OB，

∴四边形OBCE为平行四边形，

又∵OB=OC，

【解析】(1)由直径AB的长，求出半径OA及OC的长，再由AC的长，得到△OAC三边相等，可得此三角形为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠AOC=60°，再根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，即可得出∠AEC的度数；

(2)由直线l与圆O相切，根据切线的性质得到OC与直线l垂直，又BD与直线l垂直，根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行得到BE/​/OC，根据两直线平行同位角相等，可得出∠B=∠AOC=60°，再由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得出∠AED=90°，再求出∠DEC=60°，可得出∠B=∠DEC，根据同位角相等两直线平行，可得出EC/​/OB，根据两组对边平行的四边形为平行四边形可得出四边形OBEC为平行四边形，再由半径OC=OB，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出OBEC为菱形．

此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，平行线的判定与性质，平行四边形及菱形的判定，是一道综合性较强的试题，学生做题时应结合图形，弄清题中的条件，找出已知与未知间的联系来解决问题．熟练掌握性质及判定是解本题的关键．2.（2023·河北模拟）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB=2∠BAC．(1)求证：∠AOB=2∠BOC；(2)若AB=4，BC=5.求【答案】(1)证明：由圆周角定理得，

∠ACB=12∠AOB

，

∠BAC=12∠BOC

．

∵∠ACB=2∠BAC，

∴∠AOB=2∠BOC．

(2)解：过点O作半径OD⊥AB于点E，则

∠DOB=12∠AOB

，AE=BE．

∵∠AOB=2∠BOC，

∴∠DOB=∠BOC．

∴BD=BC．

∵AB=4，

BC=5，

∴BE=2，

DB=5．

在Rt△BDE中，

∴∠DEB=90°，

∴

DE=BD2−BE2=1

．

在Rt△BOE中，【解析】(1)由圆周角定理得出，∠ACB=12∠AOB，∠BAC=12∠BOC，再根据∠ACB=2∠BAC，即可得出结论;

(2)过点O作半径OD⊥AB于点E，根据垂径定理得出∠DOB=12∠AOB，AE=BE，证明∠DOB=∠BOC，得出BD=BC，在Rt△BDE中根据勾股定理得出DE=二、求线段长的三种方法题型02利用勾股定理或三角函数求线段长（方法一）【解题策略】方法技巧（1）勾股定理最简单的应用，就是在一个直角三角形中已知其中两条边的长度，求另外一条边；另外，有时候也结合勾股定理通过设未知数的方法来计算线段的长度。比如，在△ABC中，∠C=90度，其中AC+BC=7，AB=5，那么我们就可以设AC的长度为x，这样一来，BC就等于7-x，根据勾股定理就可以建立方程：x2+(7-x)2=25,解这个方程就可以得到另外两条边的长度。（2）在△ABC中，∠C=90°,∠A的正弦sinA=,∠A的余弦cosA=,∠A的正切tanA=.【典例分析】【例1】（2023·宁夏模拟）如图△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E．(1)求证：⊙D与AC相切；(2)若AC=5，BC=3，试求AE的长．【答案】(1)证明：过D作DF⊥AC于F，∵∠B=90°，∴AB⊥BC，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴BD=DF，∴⊙D与AC相切；(2)解：设圆的半径为x，∵∠B=90°，BC=3，AC=5，∴AB=∵AC，BC，是圆的切线，∴BC=CF=3，∴AF=AB−CF=2，∵AB=4，∴AD=AB−BD=4−x，在Rt△AFD中，(4−x)解得：x=3∴AE=4−3=1．

【解析】(1)过D作DF⊥AC于F，利用角平分线的性质定理可得BD=FD即可证明：⊙D与AC相切；(2)在直角三角形ABC中由勾股定理可求出AB的长，设圆的半径为x，利用切线长定理可求出CF=BC=3，所以AF=2，AD=AB−x，利用勾股定理建立方程求出x，进而求出AE的长．本题考查了圆的切线的判定、角平分线的性质、切线长定理以及勾股定理的运用，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理列方程．【变式演练】1.（2023·江苏模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AB⌢的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF=EF(1)求证：CF为⊙O的切线．(2)连接BD，取BD的中点G，连接AG.若CF=4，BF=2，求AG的长．【答案】(1)解：证明：如图②，连接OC，OD．∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC．∵FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC．∵∠OED＝∠FEC，∴∠OED＝∠FCE．∵AB是直径，D是AB⌢的中点，∴∠DOE＝90°，∴∠OED＋∠ODC＝90∴∠FCE＋∠OCD＝90°，即∠OCF＝90°，∵OC是半径，∴CF是⊙O的切线．

(2)过点G作GH⊥AB于点H．设OA＝OD＝OC＝OB＝r，则OF＝r＋2．在Rt△COF中，42＋r2＝（r＋2）2，∴r＝3．∵GH⊥AB，∴∠GHB＝90°．∵∠DOE＝90°，∴∠GHB＝∠DOE，∴GH//DO，∴BHBO∵G为BD的中点，∴BG=12BD，∴BH=∴AH=AB−BH=6−32=9

【解析】1.

如图②，连接OC，OD，证明∠OCF=90°即可；2.

如图②，要求AG的长，AG在任意三角形AGB中，即使求出AB和BG，也无法直接求出AG，则须构造以AG为边的特殊三角形，显然过中点G作GH⊥AB，垂足为H，求出AH，GH即可．点评：圆的切线判定、性质是重要的知识点，必须熟练掌握其判定方法和性质．圆的切线判定常用辅助线有两种：一是已知直线经过圆上一点，则作半径，证垂直；二是未知直线经过圆上一点，则作垂直，证半径．先证相切再计算是中考常见题型．解决此类计算问题主要通过构建方程加以解决，通常有以下途径：(1)运用勾股定理；(2)运用比例线段；(3)运用直角三角形的边角关系．不能直接计算时，可考虑添加辅助线等角等边进行转化．第(2)题中添加的辅助线GH，除构造直角三角形外，还构造出三角形中位线的基本图形，形成已知与未知之间的有效沟通．2.（2023·广东模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A.(1)求证：CD是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长．【答案】(1)证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∴∠ACB=90°，则∠ACO+∠OCB=90°，∵OA=OC，∠BCD=∠A，∴∠ACO=∠A=∠BCD，∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，∴CD是⊙O的切线;(2)解：在Rt△OCD中，∠OCD=90°，OC=3，CD=4，∴OD=∴BD=OD−OB=5−3=2．

【解析】本题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理以及等腰三角形的性质．(1)连接OC，由AB是⊙O的直径可得出∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，由等腰三角形的性质结合∠BCD=∠A，即可得出∠OCD=90°，即CD是⊙O的切线；(2)在Rt△OCD中，由勾股定理可求出OD的长，进而可得出BD的长．题型03利用相似三角形的性质求线段长（方法二）【解题策略】方法技巧当要求的线段在一般三角形中，还可以通过相似三角形的性质来求解。初中阶段我们常用的相似三角形分为“A”型、“X”型或一般相似三角形，“A”型和“X”型相似常常伴随着平行线产生，也就是说如果题目中出现了平行线，那么很可能就会有相似三角形产生，如果有相似三角形，那就可以利用相似的性质进行线段长度的求解了；直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形与原三角形相似.补充:若CD为Rt△ABC斜边上的高(如图),则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD，且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB.【典例分析】【例1】（2023·湖北模拟）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．【答案】(1)证明：如图，连接OE、EC．∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC=∠BEC=90°．∵D为BC的中点，∴ED=DC=BD，∴∠1=∠2．∵OE=OC，∴∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠OED=∠ACB．∵∠ACB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线．(2)由(1)知：∠BEC=90°，∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B=∠B，∠BEC=∠BCA，∴△BEC∽△BCA，∴BE∴BC∵AE：EB=1：2，设AE=x，则BE=2x，BA=3x，又BC=6，∴6解得：x=6(即AE=6【解析】本题考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定，能求出∠OED=∠BCA和△BEC∽△BCA是解此题的关键．(1)求出∠OED=∠BCA=90°，根据切线的判定得出即可；(2)求出△BEC∽△BCA，得出比例式，代入求出即可．【变式演练】1.（2023·河南模拟）如图，点O在△ABC的边AB上，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB分别交于点D，F，且DE=EF．(1)求证：∠C=90°；(2)当BC=3，AC=4时，求⊙O半径的长．【答案】(1)证明：连接OE，BE，∵DE=EF，∴DE∴∠OBE=∠DBE，∵OE=OB，∴∠OEB=∠OBE，∴∠OEB=∠DBE，∴OE/​/BC，∵⊙O与边AC相切于点E，∴OE⊥AC，∴BC⊥AC，∴∠C=90°；(2)解：在△ABC，∠C=90°，BC=3，AC=4，∴AB=设⊙O的半径为r，则AO=5−r，∵OE⊥AC，∴△AEO∽△ACB，∴AO即5−r5∴r=158【解析】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合程度较高，根据题意证出OE/​/BC是解题的关键．(1)连接OE，BE，因为DE=EF，所以DE=EF，从而易证∠OEB=∠DBE，所以OE/​/BC，从可证明(2)设⊙O的半径为r，则AO=5−r，根据相似三角形的性质得到AOAB=OEBC，即2.（2023·江苏模拟）如图，AB

为⊙O直径，C

为⊙O上一点，点D是BC⌒的中点，DE⊥AC于(1)求证：DE

是⊙O(2)若OF=4，求AC

的长度．【答案】(1)证明：连接OD、AD.∵点D是BC⌒∴BD∴∠DAO∵OA=OD∴∠DAO∴∠DAC∴OD∵DE∴∠AED=∴∠AED∴OD∴DE是⊙

(2)解：连接BC.∵AB是⊙∴∠ACB=∵OD∴∠DOB∵∠DFO=∴△DFO∽△BCA，∴OF即4AC∴AC=8.

【解析】1.

连接OD、AD.只要证明OD//AE，由DE⊥2.

连接BC.只要证明△DFO∽△BCA，推出OFAC本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理、相似三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．题型04利用等面积法求线段长（方法三）【解题策略】等面积法：【典例分析】【例1】（2023·云南模拟）已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，⊙O交BC于D，DE⊥AC于E．(1)请判断DE与⊙O的位置关系，并证明；(2)连接AD，若⊙O的半径为52，AD=3，求DE的长．【答案】解：(1)DE与⊙O相切，证明：连接AD、OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA=90°，∴AD⊥BC．又∵AB=AC，∴BD=DC，又∵OB=OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD/​/AC．又∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．(2)若⊙O的半径为52，则AB=AC=5在Rt△ADC中，AD=3，AC=5，∴DC=又∵1∴DE=AD⋅DCAC【解析】(1)要判断DE是⊙O的切线，只要证明DE垂直于过切点的半径，即DE⊥OD即可；(2)在Rt△ADC中根据勾股定理求出DC，再根据等积法求出DE．本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．【变式演练】1.（2023·福建模拟）如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点，且∠DBC=∠A=60°，连接OE并延长与⊙O相交于点F，与BC相交于点C．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为6cm，求弦BD的长．【答案】(1)证明：连接OB，如图所示：∵E是弦BD的中点，∴BE=DE，OE⊥BD，BF=∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°，∵∠DBC=∠A，∴∠BOE=∠DBC，∴∠OBE+∠DBC=90°，∴∠OBC=90°，即BC⊥OB，∴BC是⊙O的切线；(2)解：∵OB=6，∠BOE=∠A=60°，BC⊥OB，∴∠C=30°，∴OC=2OB=12，BC=∵△OBC的面积=1∴BE=OB⋅BC∴BD=2BE=6即弦BD的长为63【解析】本题考查了切线的判定、垂径定理的推论、圆周角定理、勾股定理、含30度直角三角形的性质、三角形面积的计算；熟练掌握垂径定理的推论和圆周角定理是解决问题的关键．(1)连接OB，由垂径定理的推论得出BE=DE，OE⊥BD，BF=12BD，由圆周角定理得出∠BOE=∠A，证出(2)由直角三角形的性质求出OC，由△OBC的面积求出BE，即可得出弦BD的长．三、与圆有关的阴影部分面积的计算题型05与圆有关的阴影部分面积的计算【解题策略】1．解答本考点的有关题目，关键在于掌握扇形的面积公式同时注意以下要点：（1）切线的性质和判定；（2）求不规则的图形（阴影部分）的面积，可以设法转化成几个规则的图形的面积的和或者差来求.2．计算扇形面积的有关要点（1）求扇形阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积.（2）求扇形阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法.（3）求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长.注意不要混淆圆锥的底面半径和圆锥展开后的扇形半径两个概念.3．方法解读：（1）和差法：所求面积的图形是一个不规则图形，可将其转化变成多个规则图形面积的和或差，进行求解.①直接和差法：S阴影=S△AOB-S扇形CODS阴影=S半圆AB-S△AOBS阴影=S△ACB-S扇形CADS阴影=S扇形BAD-S半圆ABS阴影=S扇形EAF-S△ADE②构造和差法：S阴影=S扇形AOC+S△BOCS阴影=S△ODC-S扇形DOES阴影=S扇形AOB-S△AOBS阴影=S扇形BOE+S△OCE-S扇形COD（2）割补法：直接求面积较复杂或无法计算时,可通过旋转、平移、割补等方法,对图形进行转化,为利用公式法或和差法创造条件,从而求解.①全等法S阴影=S△AOBS阴影=S扇形BOCS阴影=S矩形ACDFS阴影=S正方形PCQE②等面积法S阴影=S扇形COD【典例分析】【例1】（2023·山东模拟）如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，CB=CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．(1)试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；(2)若AB=23，∠BCD=60°【答案】解：(1)过点B作BF⊥CD，垂足为F，∵AD/​/BC，∴∠ADB=∠CBD，∵CB=CD，∴∠CBD=∠CDB，∴∠ADB=∠CDB．在△ABD和△FBD中，∠ADB=∠FDB∠BAD=∠BFD∴△ABD≌△FBD(AAS)，∴BF=BA，则点F在圆B上，∴CD与⊙B相切；(2)∵∠BCD=60°，CB=CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠CBD=60°∵BF⊥CD，∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，∴∠ABF=60°，∵AB=BF=2∴AD=DF=AB·tan30°=2，∴阴影部分的面积===23【解析】(1)过点B作BF⊥CD，证明△ABD≌△FBD，得到BF=BA，即可证明CD与圆B相切；(2)先证明△BCD是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD=30°，求出AD，再利用S△ABD本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确作出辅助线．【例2】（2023·广东模拟）如图所示，CE是⊙O的直径，AC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，∠DCE=12∠A，延长AD交CE的延长线于点B，连接CD.(1)求证：AD为⊙O的切线；(2)求图中阴影部分的面积．【答案】(1)证明：如图，连接OD．∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠DOB=2∠DCE，∵∠DCE=12∠A∴∠A=∠DOB，∵AC为⊙O的切线，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠DOB+∠B=90°，∴∠ODB=90°，∴OD⊥AB，∵OD是半径，∴AD为⊙O的切线；(2)解：∵BE=OE=6，∴OB=2OD，∵∠ODB=90°，∴∠B=30°，∴∠A=60°，∴BD=∵AB，AC是⊙O的切线，∴AD=AC，∴△ADC是等边三角形，∵∠A+∠DOC=180°，∴∠DOC=120°，∵∠ACD=60°，∠ACB=90°，∴∠DCB=∠B=30°，∴CD=DB=6∴S阴【解析】本题主要考查切线的性质和判定及扇形的计算，掌握切线问题中的两种辅助线的作法及扇形的面积公式是解题的关键．(1)连接OD，证明OD⊥AB，即可得出结论；(2)证明△ADC是等边三角形，求出DB=CD=63，再根据【变式演练】1.（2023·安徽模拟）如图，AB为圆O的直径，C，E为圆O上的两点，AC平分∠EAB，CF⊥AB于F，CD⊥AE于D．(1)求证：CD为圆O的切线；(2)若AD−OA=1.5，AC=33【答案】(1)证明：如图，连接OC，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠OCA，∴OC/​/AD，∵CD⊥AD，∴OC⊥CD，∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线；(2)解：∵AC平分∠BAD，CD⊥AD，CF⊥AB，∴CD=CF，∵AC=AC，∴Rt△ADC≌Rt△AFC(HL)，∴AD=AF，∵AD−OA=1.5，即AF−OA=1.5，∴OF=1.5，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CF⊥AB，∴∠AFC=90°，∴∠ACB=∠AFC=90°，又∵∠CAF=∠BAC，∴△AFC∽△ACB，∴AC即AC设半径为x，则AB=2x，AF=x+1.5，AC=3∴(3解得x=3或x=−4.5<0(舍去)，∴AB=2x=6，在Rt△ABC中，AC=33，∴cos∴∠BAC=30°，∴∠BOC=2∠BAC=60°，CF=3∴==3π2【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质，角平分线的定义得出∠DAC=∠OCA，进而得出OC//AD，再根据平行线的性质得出OC⊥CD即可；(2)根据相似三角形的判定和性质，求出⊙O的半径，进而求出圆心角∠BOC的度数，由S阴影部分本题考查切线的性质，圆周角定理，角平分线，扇形面积的计算以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的性质，圆周角定理以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提，求出圆的半径以及相应的圆心角度数是正确求出阴影部分面积的关键．2.（2023·辽宁模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O与BC，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC，连接OA．(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若BE=AC=3，⊙O的半径是1，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)证明：连接OE，OF，过点O作OD⊥AB于点D，∵BO是∠ABC的平分线，∴OD=OE，OD是圆的一条半径，∴AB是⊙O的切线；(2)∵BC、AC与圆分别相切于点E、点F，∴OE⊥BC，OF⊥AC，∴四边形OECF是正方形，∴OE=OF=EC=FC=1，∴BC=BE+EC=4，又AC=3，∴S阴影==5∴图中阴影部分的面积是：52−【解析】本题考察了圆切线的判定以及图形面积之间的转化，不规则图形面积的算法一般将它转化为若干个基本规则图形的组合，分析整体与部分的和差关系．(1)有切点则连圆心，证明垂直关系；无切点则作垂线，证明等于半径；(2)将不规则图形转化为规则图形间的换算．3.（2023·湖北模拟）如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是⊙O的直径，点B是⊙O的上一点，且OP//BC，OP交⊙O于点D．(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)若AC=OP=4，求阴影部分的面积．【答案】解：(1)连接OB，∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90∵OP//BC，∴∠AOP=∠C，∠POB=∠OBC，∵OC=OB，∴∠C=∠OBC∴∠AOP=∠BOP，在△AOP和△BOP中，{∴△AOP≌△BOP(SAS)，∴∠PBO=∠PAO=90°∴PB是⊙O的切线;(2)∵AC=OP=4∴OA=2∴cos∠AOP=∴∠AOP=60°∴∠AOB=120°，∴S【解析】本题考查了切线的判定和性质、锐角三角函数，全等三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、扇形面积的计算等知识；熟练掌握切线的判定和割补法是解题的关键．(1)连接OB，根据切线的性质得出∠OAP=90°，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得出∠AOP=∠BOP，证△AOP≌△BOP，即可解答；(2)根据锐角三角函数得出∠AOP，再根据割补法求出阴影部分的面积．1.（2023·湖北）如图，已知AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，AD垂直于过点C的直线，交⊙O于点E，垂足为点D，AC平分∠BAD．

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)若AC=8，BC=6，求DE的长．【答案】(1)证明：连接OC，如图，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA．

∵AC平分∠BAD，

∴∠OAC=∠DAC，

∴∠DAC=∠OCA，

∴OC/​/AD．

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD．

∵OC为⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线；

(2)解：连接BE，交OC于点F，如图，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，

∵AD⊥CD，OC⊥CD，

∴四边形EFCD为矩形，

∴EF=CD，ED=CF，OF⊥BE，

∴EF=BF．

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴AB=AC2+CB2=10．

∴∠ACB=∠ADC=90°，

∵∠DAC=∠CAB，

∴△DAC∽△CAB，

∴ACAB=CDCB=ADAC，

∴810=CD6【解析】(1)连接OC，利用角平分线的定义，同圆的半径相等，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可；

(2)连接BE，交OC于点F，利用圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质和垂径定理解答即可得出结论．

本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的判定，圆周角定理，平行线的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．2.（2023·湖南）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点.在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD=∠A．

(1)求证：直线CD是⊙O的切线；

(2)若∠ACD=120°，CD=23，求图中阴影部分的面积(结果用含π的式子表示)．【答案】(1)证明：连接OC，

∵AB是直径，

∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°，

∵OA=OC，∠BCD=∠A，

∴∠OCA=∠A=∠BCD，

∴∠BCD+∠OCB=∠OCD=90°，

∴OC⊥CD，

∵OC是⊙O的半径，

∴直线CD是⊙O的切线．

(2)解：∵∠ACD=120°，∠ACB=90°，

∴∠A=∠BCD=120°−90°=30°，

∴∠DOC=2∠A=60°，

在Rt△OCD中，tan∠DOC=CDOC=tan60°，CD=23，

∴23OC【解析】(1)连接OC，由AB是直径，可得∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°，再证∠OCA=∠A=∠BCD，从而有∠BCD+∠OCB=∠OCD=90°，即可证明．

(2)由圆周角定理求得∠DOC=2∠A=60°，在Rt△OCD中，解直角三角形得OC=2，然后利用三角形的面积公式和扇形的面积公式即可解答．

本题主要考查圆周角定理，切线的判定，扇形的面积公式及解直角三角形，熟练掌握性质是解题关键．3.（2023·浙江）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D，交OA于点E，连结OB．

(1)求证：BD=BC．

(2)已知OC=1，∠A=30°，求AB的长．【答案】(1)证明

如图，连结OD，

∵半圆O与AB相切于点D，

∴OD⊥AB，

∵∠ACB=90°，

∴∠ODB=∠OCB=90°，

在Rt△ODB和Rt△OCB中，

OB=OB,OD=OC,

∴Rt△ODB≌Rt△OCB(HL)，

∴BD=BC；

(2)解

如图，∵∠A=30°，∠ACB=90°，

∴∠ABC=60°，

∵Rt△ODB≌Rt△OCB，

∴∠CBO=∠DBO=12∠ABC=30°，

在Rt△OBC中，

∵OC=1，

∴BC=OCtan30∘=【解析】(1)根据切线性质得到∠ODB=∠OCB=90°，再根据HL证明Rt△ODB≌Rt△OCB，从而得到结论；

(2)分别在Rt△OBC中，利用三角函数求出BC的长，和在Rt△ABC中，利用三角函数求出即可求出AB的长．

本题考查圆的切线性质，全等三角形判定和性质，解直角三角形，熟悉相关图形的性质是解题的关键．4.（2023·四川）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点F，点P是CD延长线上一点，DE⊥AP，垂足为点E，∠EAD=∠FAD．

(1)求证：AE是⊙O的切线；

(2)若PA=4，PD=2，求⊙O的半径和DE的长．【答案】(1)证明：连接OA，如图：

∵AB⊥CD，

∴∠AFD=90°，

∴∠FAD+∠ADF=90°，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ADF，

∴∠FAD+∠OAD=90°，

∵∠EAD=∠FAD，

∴∠EAD+∠OAD=90°，即∠OAE=90°，

∴OA⊥AE，

∵OA是⊙O半径，

∴AE是⊙O的切线；

(2)解：连接AC，AO，如图：

∵CD为⊙O直径，

∴∠CAD=90°，

∴∠C+∠ADC=90°，

∵∠FAD+∠ADC=90°，

∴∠C=∠FAD，

∵∠EAD=∠FAD，

∴∠C=∠EAD，

∵∠P=∠P，

∴△ADP∽△CAP，

∴APCP=PDAP，

∵PA=4，PD=2，

∴4CP=24，

解得CP=8，

∴CD=CP−PD=8−2=6，

∴⊙O的半径为3；

∴OA=3=OD，

∴OP=OD+PD=5，

∵∠OAP=90°=∠DEP，∠P=∠P，

∴△OAP∽△DEP，

∴DEOA=PDOP，即DE3【解析】(1)连接OA，由AB⊥CD，得∠FAD+∠ADF=90°，故∠FAD+∠OAD=90°，根据∠EAD=∠FAD，得∠EAD+∠OAD=90°，即∠OAE=90°，OA⊥AE，从而可得AE是⊙O的切线；

(2)连接AC，AO，证明△ADP∽△CAP，可得4CP=24，CP=8，故CD=CP−PD=6，⊙O的半径为3；再证△OAP∽△DEP，得DE35.（2023·江苏）如图，等腰三角形OAB的顶角∠AOB=120°，⊙O和底边AB相切于点C，并与两腰OA，OB分别相交于D，E两点，连接CD，CE．

(1)求证：四边形ODCE是菱形；

(2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)证明：连接OC，

∵⊙O和底边AB相切于点C，

∴OC⊥AB，

∵OA=OB，∠AOB=120°，

∴∠AOC=∠BOC=12∠AOB=60°，

∵OD=OC，OC=OE，

∴△ODC和△OCE都是等边三角形，

∴OD=OC=DC，OC=OE=CE，

∴OD=CD=CE=OE，

∴四边形ODCE是菱形；

(2)解：连接DE交OC于点F，

∵四边形ODCE是菱形，

∴OF=12OC=1，DE=2DF，∠OFD=90°，

在Rt△ODF中，OD=2，

∴DF=OD2−OF2=22−12=3，

∴DE=2DF=23，

∴图中阴影部分的面积【解析】(1)连接OC，根据切线的性质可得OC⊥AB，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得∠AOC=∠BOC=60°，从而可得△ODC和△OCE都是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得OD=CD=CE=OE，即可解答；

(2)连接DE交OC于点F，利用菱形的性质可得OF=1，DE=2DF，∠OFD=90°，然后在Rt△ODF中，利用勾股定理求出DF的长，从而求出DE的长，最后根据图中阴影部分的面积=扇形ODE的面积−菱形ODCE的面积，进行计算即可解答．

本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．6.（2023·四川）如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，交BC边于点D，过点C作CE/​/AB交⊙O于点E，连接AD，DE，∠B=∠ADE．

(1)求证：AC=BC；

(2)若tanB=2，CD=3，求AB和DE的长．【答案】(1)证明：∵∠ADE=∠ACE，∠ADE=∠B，

∴∠B=∠ACE，

∵CE/​/AB，

∴∠BAC=∠ACE，

∴∠B=∠BAC，

∴AC=BC；

(2)解：如图，连接AE，

∵∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，

∴△ADE∽