第三章 一元一次方程6类题型突破

第三章一元一次方程（题型突破）【考点一等式的基本性质】例题：（2023秋·广西南宁·八年级南宁二中校考开学考试）下列判断正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【变式训练】1．（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）如下图可以表示的等式变形是（

）（其中、、均为正数）

A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么2．（2023秋·河南商丘·七年级统考期末）下列说法中错误的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【考点二一元一次方程的定义】例题：（2023春·福建泉州·七年级统考期中）若是关于x的一元一次方程，则a的值为．【变式训练】1．（2023秋·江苏·七年级专题练习）在下列方程：①，②，③，④，⑤中，一元一次方程的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2023春·河南南阳·七年级统考期中）如果方程是关于的一元一次方程，则．3．（2023春·河南新乡·七年级统考阶段练习）如果是关于x的一元一次方程，则m＝．【考点三一元一次方程的解】例题：（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）关于x的方程的解是，则a的值为．【变式训练】1．（2023春·吉林长春·七年级校联考期中）若是方程的解，则的值为．2．（2023春·七年级课时练习）已知关于x的方程的解为，则代数式的值为．【考点四解一元一次方程】例题：（2023秋·七年级课时练习）解方程：(1)； (2)．【变式训练】1．（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）解方程：(1)； (2)．2．（2023春·河北秦皇岛·七年级统考开学考试）解方程(1) (2)；3．（2023春·河南南阳·七年级校考阶段练习）解方程：(1) (2)4．（2023春·河南新乡·七年级校联考阶段练习）解方程．(1) (2)【考点五列一元一次方程】例题：（2023秋·七年级课时练习）一个长方形场地的周长为米，长比宽的倍少米．如果设这个场地的宽为米，那么可以列出方程为．【变式训练】1．（2023秋·七年级课时练习）某学校在“读一本好书”活动中，为学生购买了名著《三国演义》20套，《西游记》16套，共用了1820元，其中《三国演义》每套比《西游记》每套多1元，求《三国演义》和《西游记》每套各多少元？设《西游记》每套元，可列方程为．2．（2023秋·七年级课时练习）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．书中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问：有多少匹大马、多少匹小马？若设小马有匹，则可列方程为．3．（2023春·山东泰安·六年级校考开学考试）某工厂有28名工人生产A、B两种零件，每人每天可以生产A零件500个或B零件800个．1个A零件需要配4个B零件，为使每天生产的两种零件刚好配套．应安排生产A零件的工人多少名？设应安排生产A零件的工人x名，根据题意可列出方程．【考点六一元一次方程的应用】例题：（2023春·福建福州·九年级校考期中）“曹冲称象”是中国民间流传很广的故事，故事中称象的方案是这样的；先将象牵到船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好在标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位在标记位置不变，若每块条形石的重量都是240斤，求该头象的重量是多少？（假设每个搬运工体重都相同）【变式训练】1．（2023秋·全国·七年级课堂例题）某车间有28名工人生产甲、乙两种零件，平均每人每天可生产甲种零件12个或乙种零件18个，要使每天生产的甲、乙两种零件按配套组装，则生产这两种零件的工人应该如何安排？2．（2023秋·全国·七年级课堂例题）某商店购进一批文化衫，将文化衫打折销售．如果每件文化衫按标价的5折出售，那么每件将亏本20元；如果每件文化衫按标价的8折出售，那么每件将盈利40元．(1)每件文化衫的标价是多少元？(2)如果按成本价售出，那么该文化衫打了几折？3．（2023秋·福建福州·七年级福建省福州第一中学校考开学考试）甲乙两地相距480公里，一列慢车从甲地开出，每小时行60公里，一列快车从乙地开出，每小时行140公里．(1)慢车先开1小时，快车再开．两车相向而行．问快车开出多少小时后两车相遇？(2)两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？4．（2023秋·山东泰安·六年级统考期末）某校六年级准备观看电影《万里归途》，由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张30元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40人以上的团体票有两种优惠方案可选择：方案一：全体人员可打8折；方案二：若打9折，有5人可以免票．(1)若二班有42名学生，则他该选择哪个方案？(2)一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的你知道一班有多少人吗？

第三章一元一次方程（题型突破）参考答案【考点一等式的基本性质】例题：（2023秋·广西南宁·八年级南宁二中校考开学考试）下列判断正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【分析】根据等式的性质依次判断．【详解】解：A、若，且时，则，故本选项不符合题意；B、若，则，故本选项符合题意；C、若，则，故本选项不符合题意；D、若，则，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】此题考查了等式的性质，熟记等式的性质并应用解决问题是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）如下图可以表示的等式变形是（

）（其中、、均为正数）

A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】C【分析】观察图形可得，两边的物品都变为之前的一半，天平仍平衡，结合等式的性质，即可进行解答．【详解】解：由图可得：两边的物品都变为之前的一半，天平仍平衡，∴图中可以表示的等式变形是：如果，那么，故选：C．【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的性质一：等式两边同时加上或者是减去同一个整式，等式仍然成立．性质二：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．2．（2023秋·河南商丘·七年级统考期末）下列说法中错误的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】A【分析】根据等式的性质进行判断作答即可．【详解】解：A中，当时，不一定成立，错误，故符合要求；B中，当，则，正确，故不符合要求；C中，当，由，可得，正确，故不符合要求；D中，当，则，正确，故不符合要求；故选：A．【点睛】本题考查了等式的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握．【考点二一元一次方程的定义】例题：（2023春·福建泉州·七年级统考期中）若是关于x的一元一次方程，则a的值为．【答案】【分析】根据一元一次方程的定义列出关于的式子，求出结果即可．【详解】解：∵是关于x的一元一次方程，∴且，解得．故答案为：．【点睛】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数，且未知数次数为1的方程叫做一元一次方程是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·江苏·七年级专题练习）在下列方程：①，②，③，④，⑤中，一元一次方程的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，进而分别判断即可．【详解】解：①，②，③，④，⑤中一元一次方程是④⑤，共2个．故选：B．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的定义，正确掌握相关定义是解题关键．2．（2023春·河南南阳·七年级统考期中）如果方程是关于的一元一次方程，则．【答案】【分析】根据一元一次方程的定义进行求解即可．【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．3．（2023春·河南新乡·七年级统考阶段练习）如果是关于x的一元一次方程，则m＝．【答案】【分析】利用一元一次方程的定义，即可得出关于的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出的值．【详解】解：是关于的一元一次方程，，解得：，的值为．故答案为：．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义以及绝对值，牢记一元一次方程的定义是解题的关键．【考点三一元一次方程的解】例题：（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）关于x的方程的解是，则a的值为．【答案】【分析】将代入，即可求出a的值．【详解】解：把代入得：，解得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解题的关键是掌握使方程等号两边相等的未知数的值，是方程是解．【变式训练】1．（2023春·吉林长春·七年级校联考期中）若是方程的解，则的值为．【答案】【分析】由是方程的解，可得，再把化为，再代入求值即可．【详解】解：∵是方程的解，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查的是求解代数式的值，一元一次方程的解的含义，熟练的利用整体法求解代数式的值是解本题的关键．2．（2023春·七年级课时练习）已知关于x的方程的解为，则代数式的值为．【答案】16【分析】根据方程的解满足方程，可得关于a的方程，根据解一元一次方程，可得a的值，再根据代数式求值，可得答案．【详解】解：将代入，得，解得，当时，．故答案为：16．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解满足方程得出关于a的方程是解题关键．【考点四解一元一次方程】例题：（2023秋·七年级课时练习）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）去分母，去括号，移项合并，最后系数化为1求解即可；（2）去分母，移项合并，最后系数化为1求解即可．【详解】（1）解：去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得；（2）解：去分母，得，移项、合并同类项，得，系数化为1，得．【点睛】本题考查了解一元一次方程．解题的关键在于正确的运算．【变式训练】1．（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可；（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可．【详解】（1）移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得；（2）去分母得：；去括号得：；移项得：；合并同类项，得：；系数化为1，得：．【点睛】本题考查解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向形式转化．2．（2023春·河北秦皇岛·七年级统考开学考试）解方程(1)(2)；【答案】(1)(2)【分析】（1）先移项，再合并同类项，最后把未知数的系数化为“1”即可；（2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为“1”即可；【详解】（1）解：，移项，得，合并同类项，得，将系数化为1，得；（2）解：－＝1；去分母，得，去括号，得，移项合并，得，将系数化为1，得．【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，熟记解一元一次方程的步骤与方法是解本题的关键．3．（2023春·河南南阳·七年级校考阶段练习）解方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的顺序运算即可；（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的顺序运算即可．【详解】（1）解：去括号得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：；（2）去分母得：去括号得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：；【点睛】本题考查一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．4．（2023春·河南新乡·七年级校联考阶段练习）解方程．(1)(2)【答案】(1)(2)【详解】（1）去括号可得：，移项可得：，合并同类项可得：，系数化1可得：（2）去分母可得：，去括号可得：，移项可得：，合并同类项可得：，系数化1可得：【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．【考点五列一元一次方程】例题：（2023秋·七年级课时练习）一个长方形场地的周长为米，长比宽的倍少米．如果设这个场地的宽为米，那么可以列出方程为．【答案】【分析】设这个场地的宽为米，则长为米，然后根据长方形的周长公式即可解答．【详解】解：设这个场地的宽为米，则长为米，由题意可得：．故答案为．【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、设出未知数、明确等量关系是解答本题的关键．【变式训练】1．（2023秋·七年级课时练习）某学校在“读一本好书”活动中，为学生购买了名著《三国演义》20套，《西游记》16套，共用了1820元，其中《三国演义》每套比《西游记》每套多1元，求《三国演义》和《西游记》每套各多少元？设《西游记》每套元，可列方程为．【答案】【分析】设《西游记》每套元，则《三国演义》每套元，根据“共用了1820元”列出方程即可．【详解】解：设《西游记》每套元，则《三国演义》每套元，可列方程为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系，列出方程．2．（2023秋·七年级课时练习）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．书中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问：有多少匹大马、多少匹小马？若设小马有匹，则可列方程为．【答案】【分析】审题，明确等量关系，建立方程．【详解】解：根据题意，得；故答案为：．【点睛】本题考查一元一次方程的应用；审题明确等量关系是解题的关键．3．（2023春·山东泰安·六年级校考开学考试）某工厂有28名工人生产A、B两种零件，每人每天可以生产A零件500个或B零件800个．1个A零件需要配4个B零件，为使每天生产的两种零件刚好配套．应安排生产A零件的工人多少名？设应安排生产A零件的工人x名，根据题意可列出方程．【答案】【分析】设应安排生产A零件的工人x名，则生产B零件的工人名，根据1个A零件需要配4个B零件列出方程即可．【详解】解：设应安排生产A零件的工人x名，则生产B零件的工人名，根据题意得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，解题的关键是找出题目中的等量关系式，生产的B零件数为A零件数的4倍．【考点六一元一次方程的应用】例题：（2023春·福建福州·九年级校考期中）“曹冲称象”是中国民间流传很广的故事，故事中称象的方案是这样的；先将象牵到船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好在标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位在标记位置不变，若每块条形石的重量都是240斤，求该头象的重量是多少？（假设每个搬运工体重都相同）【答案】大象的重量是5160斤．【分析】设每个搬运工体重是斤，根据题意，列出方程进行求解即可．【详解】解：设每个搬运工体重是斤，由题意，得：，解得：；∴；答：大象的重量是5160斤．【点睛】本题考查一元一次方程的应用．准确的找到等量关系，列出一元一次方程，是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·全国·七年级课堂例题）某车间有28名工人生产甲、乙两种零件，平均每人每天可生产甲种零件12个或乙种零件18个，要使每天生产的甲、乙两种零件按配套组装，则生产这两种零件的工人应该如何安排？【答案】生产甲种零件的工人为人，则生产乙种零件的为人【分析】设生产甲种零件的工人为x人，则生产乙种零件的为人，根据“每天生产的甲、乙两种零件按配套组装”列方程，解方程即可得到答案．【详解】解：设生产甲种零件的工人为x人，则生产乙种零件的为人，由题意可得，，解得，，则，答：生产甲种零件的工人为人，则生产乙种零件的为人【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键．2．（2023秋·全国·七年级课堂例题）某商店购进一批文化衫，将文化衫打折销售．如果每件文化衫按标价的5折出售，那么每件将亏本20元；如果每件文化衫按标价的8折出售，那么每件将盈利40元．(1)每件文化衫的标价是多少元？(2)如果按成本价售出，那么该文化衫打了几折？【答案】(1)每件文化衫的标价为200元(2)该文化衫打了6折【分析】（1）设每件文化衫的标价为元．根据题意即可列出一元一次方程求解；（2）计算出每件文化衫的成本价即可求解．【详解】（1）解：设每件文化衫的标价为元．根据题意，得，解得．答：每件文化衫的标价为200元．（2）解：每件文化衫的成本价是（元）．设该文化衫打了折．根据题意，得．解得．答：该文化衫打了6折．【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用．正确理解题意是解题关键．3．（2023秋·福建福州·七年级福建省福州第一中学校考开学考试）甲乙两地相距480公里，一列慢车从甲地开出，每小时行60公里，