专项训练(1) 解一元二次方程2024-2025学年九年级上册数学配套教学设计（北师大版）

专项训练(1)解一元二次方程2024-2025学年九年级上册数学配套教学设计（北师大版）课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、课程基本信息1.课程名称：解一元二次方程

2.教学年级和班级：2024-2025学年九年级上册，数学班

3.授课时间：待定

4.教学时数：1课时二、核心素养目标1.通过解一元二次方程的过程，培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.增强学生对数学概念的理解，提高学生的数学素养。三、教学难点与重点1.教学重点：

-理解一元二次方程的定义和标准形式：ax^2+bx+c=0（a≠0）。

-掌握解一元二次方程的常用方法，包括配方法、公式法和因式分解法。

-学会应用一元二次方程解决实际问题。

举例：

-通过例题展示如何将实际问题转化为标准形式的一元二次方程，如：某商品的成本是x元，售价是成本加20%，求售价。

-通过例题演示如何使用配方法将方程化为(x+m)^2=n的形式，以及如何使用公式法求解一元二次方程的根。

2.教学难点：

-掌握配方法中的“配方”技巧，即如何将方程两边同时加上或减去某个数使其成为完全平方。

-理解和记忆一元二次方程的求根公式：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

-解决含有参数的一元二次方程问题，如确定参数的取值范围使得方程有实数解。

举例：

-在配方法的讲解中，通过具体例题展示如何找到合适的数来完成配方，例如将x^2-6x+9配成(x-3)^2。

-在求根公式的应用中，强调判别式b^2-4ac的作用，以及如何根据判别式的值判断方程的根的性质。

-对于含有参数的问题，通过例题演示如何确定参数的取值范围，例如求解方程x^2-2x+1=0中x的取值范围。四、教学方法与策略1.采用讲授与讨论相结合的方法，首先讲解一元二次方程的基本概念和求解方法，随后引导学生通过小组讨论解决具体问题。

2.设计案例研究活动，让学生通过解决实际生活中的问题来应用一元二次方程，如计算投资回报率、物理运动问题等。

3.利用多媒体工具展示一元二次方程的图像，帮助学生直观理解方程的根与图像的关系。

4.使用互动式教学软件，让学生在电脑上实际操作，解一元二次方程，增强实践操作能力。五、教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过在线平台发布预习资料，包括一元二次方程的定义、公式和例题视频，要求学生预习并理解基本概念。

-设计预习问题：设计如“如何将一个实际问题转化为一元二次方程？”等问题，引导学生思考。

-监控预习进度：通过在线平台的预习反馈功能，监控学生的预习完成情况。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生观看视频，阅读文档，理解一元二次方程的基本知识。

-思考预习问题：学生思考如何将生活中的问题转化为一元二次方程，并记录疑问。

-提交预习成果：学生通过在线平台提交预习笔记和问题。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生自主探索，培养独立思考能力。

-信息技术手段：利用在线平台，实现资源的有效传递和反馈。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过一个涉及一元二次方程的实际问题故事，引发学生兴趣。

-讲解知识点：详细讲解一元二次方程的解法，通过例题展示如何应用公式。

-组织课堂活动：设计小组讨论，让学生探讨不同的解法，如配方法和公式法。

-解答疑问：对学生提出的问题进行解答，帮助理解一元二次方程的难点。

学生活动：

-听讲并思考：学生认真听讲，思考如何将理论知识应用于实际问题。

-参与课堂活动：学生参与小组讨论，尝试不同的解法，并分享自己的理解。

-提问与讨论：学生提出自己在学习过程中遇到的问题，并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解一元二次方程的解法。

-实践活动法：通过实际操作，让学生在实践中掌握解题技巧。

-合作学习法：通过小组讨论，培养学生的团队合作能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：布置一些涉及一元二次方程应用的题目，如计算物体的抛物线运动轨迹。

-提供拓展资源：提供相关网站和视频，帮助学生进一步理解一元二次方程在实际生活中的应用。

-反馈作业情况：批改作业，对学生的解题过程和结果给予反馈。

学生活动：

-完成作业：学生完成作业，巩固一元二次方程的解法。

-拓展学习：利用提供的资源，进行自主学习，拓宽知识面。

-反思总结：学生反思学习过程，总结自己在解一元二次方程时的优点和不足。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生自主探索，提高解决问题的能力。

-反思总结法：引导学生进行自我评价，促进学习效果的提升。六、教学资源拓展1.拓展资源：

-一元二次方程的历史背景：介绍一元二次方程在数学发展史上的地位和作用，以及古代数学家如何解决一元二次方程。

-一元二次方程的图像研究：通过绘制一元二次方程的图像，让学生直观地理解方程的根与图像的关系，包括顶点、对称轴和开口方向等。

-一元二次方程的数学应用：收集一些实际生活中的应用案例，如物理学中的抛物线运动、经济学中的成本收益分析等。

-一元二次方程的解法探究：探讨不同的解法，如配方法、公式法和因式分解法，以及它们之间的联系和区别。

-一元二次方程的数学竞赛题目：挑选一些数学竞赛中涉及一元二次方程的题目，供学有余力的学生挑战。

2.拓展建议：

-阅读历史资料：鼓励学生阅读关于一元二次方程历史发展的资料，了解数学知识的演变过程，增强对数学文化的认识。

-实际操作与观察：让学生实际操作绘制一元二次方程的图像，观察图像变化，加深对一元二次方程的理解。

-解决实际问题：设计一些实际问题，让学生尝试用一元二次方程解决，如计算物体的最大射程、分析投资收益等。

-开展小组研究：鼓励学生分组研究不同的解法，通过小组讨论，总结各种解法的优缺点和适用条件。

-参与数学竞赛：对于学有余力的学生，建议参加数学竞赛，挑战更高难度的题目，提升数学解题能力。

-一元二次方程的历史背景：可以阅读《数学简史》等书籍，了解一元二次方程在古代数学中的地位，以及如毕达哥拉斯、欧几里得等数学家的贡献。

-一元二次方程的图像研究：使用图形计算器或数学软件（如GeoGebra），让学生自己绘制一元二次方程的图像，并观察当系数变化时图像的变化规律。

-一元二次方程的数学应用：收集物理学、经济学等领域中的应用案例，如计算抛物线运动的最大高度，分析投资项目的盈亏平衡点等。

-一元二次方程的解法探究：通过实际例题，让学生尝试不同的解法，并讨论每种解法的适用情况，例如哪些情况下配方法更有效，哪些情况下公式法更直接。

-一元二次方程的数学竞赛题目：从数学竞赛书籍或网站中选取一些涉及一元二次方程的题目，如《奥数题库》等，供学生练习和挑战。七、课堂小结，当堂检测课堂小结：

本节课我们学习了如何解一元二次方程，包括理解一元二次方程的定义、掌握配方法、公式法和因式分解法等解法。通过实例分析，我们了解到一元二次方程在现实生活中的广泛应用，如物理、经济等领域。同时，我们也探讨了如何将实际问题转化为一元二次方程，以及如何通过图像来直观理解方程的性质。

当堂检测：

1.填空题：

-一元二次方程的标准形式是______。

-一元二次方程的求根公式是______。

-当一元二次方程的判别式b^2-4ac>0时，方程有两个______。

2.选择题：

-下列哪个选项是一元二次方程的解法？（A.配方法B.因式分解法C.公式法D.以上皆是）

-如果一元二次方程的判别式b^2-4ac=0，则方程的根是______。（A.两个实数根B.一个实数根C.两个复数根D.无实数根）

3.解答题：

-解一元二次方程：x^2-5x+6=0。

-一个小球从地上抛出，其运动轨迹满足一元二次方程y=-4.9x^2+9.8x+1.5，求小球的最大高度。

4.应用题：

-某商品的成本是x元，售价是成本加30%，如果售价定为y元，求成本x与售价y的关系式。

-一家农场计划用长度为L米的围栏围成一个矩形区域，如果矩形的长是宽的两倍，求矩形的长和宽。

学生需要在课堂结束时完成上述检测题，教师将根据学生的答题情况给予反馈，帮助学生在理解一元二次方程的基础上，进一步巩固所学知识，并能够将其应用于实际问题中。八、板书设计1.一元二次方程的定义与标准形式

①一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。

②一元二次方程的标准形式：ax^2+bx+c=0（a≠0）。

2.一元二次方程的解法

①配方法：通过添加和减去同一个数，使方程左边成为完全平方形式。

②公式法：使用一元二次方程的求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求解方程。

③因式分解法：将方程左边通过因式分解转化为两个一次因式的乘积等于0的形式。

3.一元二次方程的图像性质

①顶点：抛物线的最高或最低点，坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)。

②对称轴：抛物线的对称轴是x=-b/2a。

③开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。典型例题讲解例1：解一元二次方程：x^2-6x+9=0

解：这是一个完全平方形式的一元二次方程，可以直接应用配方法。将方程左边的x^2-6x+9分解为(x-3)^2=0，然后解得x-3=0，得到x=3。所以方程的解为x=3。

例2：解一元二次方程：2x^2-8x+6=0

解：这是一个一般形式的一元二次方程，可以使用公式法求解。根据公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，代入a=2,b=-8,c=6，得到x=(8±√(64-48))/4。计算得到x=(8±√16)/4，进一步化简得到x=(8±4)/4。所以方程的解为x=2和x=1。

例3：解一元二次方程：x^2-4x+4=0

解：这是一个完全平方形式的一元二次方程，可以直接应用配方法。将方程左边的x^2-4x+4分解为(x-2)^2=0，然后解得x-2=0，得到x=2。所以方程的解为x=2。

例4：解一元二次方程：3x^2+6x-9=0

解：这是一个一般形式的一元二次方程，可以使用公式法求解。根据公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，代入a=3,b=6