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文档简介
专项训练(1)解一元二次方程2024-2025学年九年级上册数学配套教学设计(北师大版)课题:科目:班级:课时:计划1课时教师:单位:一、课程基本信息1.课程名称:解一元二次方程
2.教学年级和班级:2024-2025学年九年级上册,数学班
3.授课时间:待定
4.教学时数:1课时二、核心素养目标1.通过解一元二次方程的过程,培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.增强学生对数学概念的理解,提高学生的数学素养。三、教学难点与重点1.教学重点:
-理解一元二次方程的定义和标准形式:ax^2+bx+c=0(a≠0)。
-掌握解一元二次方程的常用方法,包括配方法、公式法和因式分解法。
-学会应用一元二次方程解决实际问题。
举例:
-通过例题展示如何将实际问题转化为标准形式的一元二次方程,如:某商品的成本是x元,售价是成本加20%,求售价。
-通过例题演示如何使用配方法将方程化为(x+m)^2=n的形式,以及如何使用公式法求解一元二次方程的根。
2.教学难点:
-掌握配方法中的“配方”技巧,即如何将方程两边同时加上或减去某个数使其成为完全平方。
-理解和记忆一元二次方程的求根公式:x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
-解决含有参数的一元二次方程问题,如确定参数的取值范围使得方程有实数解。
举例:
-在配方法的讲解中,通过具体例题展示如何找到合适的数来完成配方,例如将x^2-6x+9配成(x-3)^2。
-在求根公式的应用中,强调判别式b^2-4ac的作用,以及如何根据判别式的值判断方程的根的性质。
-对于含有参数的问题,通过例题演示如何确定参数的取值范围,例如求解方程x^2-2x+1=0中x的取值范围。四、教学方法与策略1.采用讲授与讨论相结合的方法,首先讲解一元二次方程的基本概念和求解方法,随后引导学生通过小组讨论解决具体问题。
2.设计案例研究活动,让学生通过解决实际生活中的问题来应用一元二次方程,如计算投资回报率、物理运动问题等。
3.利用多媒体工具展示一元二次方程的图像,帮助学生直观理解方程的根与图像的关系。
4.使用互动式教学软件,让学生在电脑上实际操作,解一元二次方程,增强实践操作能力。五、教学实施过程1.课前自主探索
教师活动:
-发布预习任务:通过在线平台发布预习资料,包括一元二次方程的定义、公式和例题视频,要求学生预习并理解基本概念。
-设计预习问题:设计如“如何将一个实际问题转化为一元二次方程?”等问题,引导学生思考。
-监控预习进度:通过在线平台的预习反馈功能,监控学生的预习完成情况。
学生活动:
-自主阅读预习资料:学生观看视频,阅读文档,理解一元二次方程的基本知识。
-思考预习问题:学生思考如何将生活中的问题转化为一元二次方程,并记录疑问。
-提交预习成果:学生通过在线平台提交预习笔记和问题。
教学方法/手段/资源:
-自主学习法:鼓励学生自主探索,培养独立思考能力。
-信息技术手段:利用在线平台,实现资源的有效传递和反馈。
2.课中强化技能
教师活动:
-导入新课:通过一个涉及一元二次方程的实际问题故事,引发学生兴趣。
-讲解知识点:详细讲解一元二次方程的解法,通过例题展示如何应用公式。
-组织课堂活动:设计小组讨论,让学生探讨不同的解法,如配方法和公式法。
-解答疑问:对学生提出的问题进行解答,帮助理解一元二次方程的难点。
学生活动:
-听讲并思考:学生认真听讲,思考如何将理论知识应用于实际问题。
-参与课堂活动:学生参与小组讨论,尝试不同的解法,并分享自己的理解。
-提问与讨论:学生提出自己在学习过程中遇到的问题,并参与讨论。
教学方法/手段/资源:
-讲授法:通过详细讲解,帮助学生理解一元二次方程的解法。
-实践活动法:通过实际操作,让学生在实践中掌握解题技巧。
-合作学习法:通过小组讨论,培养学生的团队合作能力。
3.课后拓展应用
教师活动:
-布置作业:布置一些涉及一元二次方程应用的题目,如计算物体的抛物线运动轨迹。
-提供拓展资源:提供相关网站和视频,帮助学生进一步理解一元二次方程在实际生活中的应用。
-反馈作业情况:批改作业,对学生的解题过程和结果给予反馈。
学生活动:
-完成作业:学生完成作业,巩固一元二次方程的解法。
-拓展学习:利用提供的资源,进行自主学习,拓宽知识面。
-反思总结:学生反思学习过程,总结自己在解一元二次方程时的优点和不足。
教学方法/手段/资源:
-自主学习法:鼓励学生自主探索,提高解决问题的能力。
-反思总结法:引导学生进行自我评价,促进学习效果的提升。六、教学资源拓展1.拓展资源:
-一元二次方程的历史背景:介绍一元二次方程在数学发展史上的地位和作用,以及古代数学家如何解决一元二次方程。
-一元二次方程的图像研究:通过绘制一元二次方程的图像,让学生直观地理解方程的根与图像的关系,包括顶点、对称轴和开口方向等。
-一元二次方程的数学应用:收集一些实际生活中的应用案例,如物理学中的抛物线运动、经济学中的成本收益分析等。
-一元二次方程的解法探究:探讨不同的解法,如配方法、公式法和因式分解法,以及它们之间的联系和区别。
-一元二次方程的数学竞赛题目:挑选一些数学竞赛中涉及一元二次方程的题目,供学有余力的学生挑战。
2.拓展建议:
-阅读历史资料:鼓励学生阅读关于一元二次方程历史发展的资料,了解数学知识的演变过程,增强对数学文化的认识。
-实际操作与观察:让学生实际操作绘制一元二次方程的图像,观察图像变化,加深对一元二次方程的理解。
-解决实际问题:设计一些实际问题,让学生尝试用一元二次方程解决,如计算物体的最大射程、分析投资收益等。
-开展小组研究:鼓励学生分组研究不同的解法,通过小组讨论,总结各种解法的优缺点和适用条件。
-参与数学竞赛:对于学有余力的学生,建议参加数学竞赛,挑战更高难度的题目,提升数学解题能力。
-一元二次方程的历史背景:可以阅读《数学简史》等书籍,了解一元二次方程在古代数学中的地位,以及如毕达哥拉斯、欧几里得等数学家的贡献。
-一元二次方程的图像研究:使用图形计算器或数学软件(如GeoGebra),让学生自己绘制一元二次方程的图像,并观察当系数变化时图像的变化规律。
-一元二次方程的数学应用:收集物理学、经济学等领域中的应用案例,如计算抛物线运动的最大高度,分析投资项目的盈亏平衡点等。
-一元二次方程的解法探究:通过实际例题,让学生尝试不同的解法,并讨论每种解法的适用情况,例如哪些情况下配方法更有效,哪些情况下公式法更直接。
-一元二次方程的数学竞赛题目:从数学竞赛书籍或网站中选取一些涉及一元二次方程的题目,如《奥数题库》等,供学生练习和挑战。七、课堂小结,当堂检测课堂小结:
本节课我们学习了如何解一元二次方程,包括理解一元二次方程的定义、掌握配方法、公式法和因式分解法等解法。通过实例分析,我们了解到一元二次方程在现实生活中的广泛应用,如物理、经济等领域。同时,我们也探讨了如何将实际问题转化为一元二次方程,以及如何通过图像来直观理解方程的性质。
当堂检测:
1.填空题:
-一元二次方程的标准形式是______。
-一元二次方程的求根公式是______。
-当一元二次方程的判别式b^2-4ac>0时,方程有两个______。
2.选择题:
-下列哪个选项是一元二次方程的解法?(A.配方法B.因式分解法C.公式法D.以上皆是)
-如果一元二次方程的判别式b^2-4ac=0,则方程的根是______。(A.两个实数根B.一个实数根C.两个复数根D.无实数根)
3.解答题:
-解一元二次方程:x^2-5x+6=0。
-一个小球从地上抛出,其运动轨迹满足一元二次方程y=-4.9x^2+9.8x+1.5,求小球的最大高度。
4.应用题:
-某商品的成本是x元,售价是成本加30%,如果售价定为y元,求成本x与售价y的关系式。
-一家农场计划用长度为L米的围栏围成一个矩形区域,如果矩形的长是宽的两倍,求矩形的长和宽。
学生需要在课堂结束时完成上述检测题,教师将根据学生的答题情况给予反馈,帮助学生在理解一元二次方程的基础上,进一步巩固所学知识,并能够将其应用于实际问题中。八、板书设计1.一元二次方程的定义与标准形式
①一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程。
②一元二次方程的标准形式:ax^2+bx+c=0(a≠0)。
2.一元二次方程的解法
①配方法:通过添加和减去同一个数,使方程左边成为完全平方形式。
②公式法:使用一元二次方程的求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求解方程。
③因式分解法:将方程左边通过因式分解转化为两个一次因式的乘积等于0的形式。
3.一元二次方程的图像性质
①顶点:抛物线的最高或最低点,坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)。
②对称轴:抛物线的对称轴是x=-b/2a。
③开口方向:当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。典型例题讲解例1:解一元二次方程:x^2-6x+9=0
解:这是一个完全平方形式的一元二次方程,可以直接应用配方法。将方程左边的x^2-6x+9分解为(x-3)^2=0,然后解得x-3=0,得到x=3。所以方程的解为x=3。
例2:解一元二次方程:2x^2-8x+6=0
解:这是一个一般形式的一元二次方程,可以使用公式法求解。根据公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a),代入a=2,b=-8,c=6,得到x=(8±√(64-48))/4。计算得到x=(8±√16)/4,进一步化简得到x=(8±4)/4。所以方程的解为x=2和x=1。
例3:解一元二次方程:x^2-4x+4=0
解:这是一个完全平方形式的一元二次方程,可以直接应用配方法。将方程左边的x^2-4x+4分解为(x-2)^2=0,然后解得x-2=0,得到x=2。所以方程的解为x=2。
例4:解一元二次方程:3x^2+6x-9=0
解:这是一个一般形式的一元二次方程,可以使用公式法求解。根据公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a),代入a=3,b=6
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