北京市通州区2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学试卷

通州区2023—2024学年第二学期高二年级期中质量检测数学试卷2024年4月本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知函数，则（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】由导数运算法则先求出，再计算即可．【详解】，所以，故选：C．2.下列求导运算结果错误的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据初等函数的导数公式逐项判定，可得答案.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确.故选：A.3.4名学生与1名老师站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法种数为（）A.12 B.18 C.24 D.48【答案】C【解析】【分析】在老师左右两边的各两个位置让4名学生站即可作答.【详解】依题意，4名学生站在老师的左右两边的各两个位置，所以不同的站法种数为.故选：C4.已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复合函数求导法则计算即可.【详解】由可得.故选：B5.一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论：①汽车在时间段内匀速行驶；②汽车在时间段内不断加速行驶；③汽车在时间段内不断减速行驶；④汽车在时间段内处于静止状态．其中正确结论的个数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D【解析】【分析】根据斜率表示变化率，从而由斜率的变化得出速度的变化情况，进而得出答案．【详解】根据题意，①在时间段内，位移是一条斜率大于零的直线，则汽车在该时间段内匀速行驶，故①正确；②在时间段内，位移是一条斜率越来越大的曲线，则汽车在该时间段内不断加速行驶，故②正确；③在时间段内，位移是一条斜率越来越小的曲线，则汽车在该时间段内不断减速行驶，故③正确；④在时间段内，位移不变，则汽车在该时间段内静止不动，故④正确．故选：D．6.3名同学分别报名参加足球队、篮球队、排球队、乒乓球队，每人限报一个运动队，不同的报名方法种数有（）A. B. C.24 D.12【答案】A【解析】【分析】根据分步乘法计算原理可得答案.【详解】不同的报名方法种数有.故选：A.7.在的展开式中，的系数为（）A. B. C.10 D.40【答案】D【解析】【分析】利用二项式定理求出展开式中含的项，即可得出其系数.【详解】根据二项展开式可得含有的项为，所以的系数为.故选：D8.定义在区间上的函数，则的单调递减区间是（）A. B.和C. D.和【答案】D【解析】【分析】对函数求导并令，利用三角函数单调性解不等式即可求得结论.【详解】由可得，令,当时，由可得，解得；当时，由可得，解得；因此可得在的单调递减区间是和.故选：D9.已知一个三位数，如果满足个位上的数字和百位上的数字都小于十位上的数字，那么我们称该三位数为“凸三位数”，则没有重复数字的“凸三位数”的个数为（）A.240 B.204 C.176 D.168【答案】B【解析】【分析】分类讨论，当个位上数为0时和个位上的数不是0时两种情况即可求解．【详解】根据题意，当个位上的数字是0时，有个“凸三位数”；当个位上的数不是0时，有个“凸三位数”；所以共有个“凸三位数”，故选：B．10.函数，其中，是常数，其图象是一条直线，称这个函数为线性函数，对于非线性可导函数，在点附近一点的函数值，可以用如下方法求其近似代替值：.利用这一方法，的近似代替值（）A.一定大于 B.一定小于C.等于 D.与的大小关系不确定【答案】A【解析】【分析】根据题意可构造函数，利用求近似代替值的方法即可得近似代替值一定大于.【详解】令函数，则；根据题意可得；又因为，因此近似代替值，近似代替值一定大于.故选：A第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.计算：______.【答案】60【解析】分析】运用组合数排列数公式计算即可．【详解】.故答案为：60.12.若展开式中第五项与第六项的二项式系数相等且最大，则______；该展开式的常数项为______（结果用数字表示）．【答案】①.9②.84【解析】【分析】利用二项式系数的性质求出，再求出二项式的展开式的通式，令的指数为0即可求解．【详解】展开式中第五项与第六项的二项式系数相等且最大，所以，所以通项为，令，解得，所以常数项为，故答案为：9；84．13.已知某物体运动的位移是时间的函数，且时，；时，.则该物体在时间段内的平均速度为______；估计时的位移为______m．【答案】①.②.1.94【解析】【分析】根据平均速度的公式直接计算即可；先求出位移的直线方程，再将代入即可求解．【详解】由题意得，，经过点的直线方程为，当时，，故答案为：15.6，1.94．14.已知函数，则在的切线中，斜率最小的切线的方程为______.【答案】【解析】【分析】对函数求导并求出导函数的最小值及切点坐标，再由点斜式方程即可得出结果.【详解】由可得，再由二次函数性质可得，当时，函数取得最小值，因此可得切线斜率最小值为，此时切点为，所以切线方程为，即.故答案为：15.已知函数在点处取得极大值，其导函数y=f′x的图象经过点1,0，2,0，如图所示．关于函数有四个结论：①函数在区间上单调递减；②函数区间上单调递减；③函数的图象关于中心对称；④；其中所有正确结论的序号为______．【答案】①③④【解析】【分析】由的图象判断出的单调区间及极大值点，结合已知求出的解析式，再判断的对称性即可求解．【详解】由图象可知，当，在单调递增，当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，故①正确，②错误；所以，即，整理得，又的图象经过，，所以，与联立，解得，所以，则，所以的图象关于中心对称，故③正确；则，，所以，故④正确；故答案为：①③④．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.某小组共有6名学生，其中女生2名，男生4名．（1）将6名学生排成一排，且女生不相邻的排法有多少种？（2）从6名中选出3人参加某公益活动．（i）共有多少种不同的选择方法？（ii）如果至少有1位女生入选，共有多少种不同的选择方法？【答案】（1）480（2）20，16【解析】【分析】（1）根据插空法即可求解；（2）根据组合定义即可求解（i）；用“6名学生中选出3人参加某公益活动”所有情况减去“6名学生中选出3名男生参加某公益活动”的情况即可求解（ii）．【小问1详解】男生先排有种，女生插空有种，所以共有种不同排法．【小问2详解】（i）6名中选出3人共有种方法；（ii）6名中选出3名男生有种方法，所以至少有1位女生入选，共有种不同的选择方法．17.设．（1）求；（2）求．【答案】（1）（2）122【解析】【分析】（1）利用二项式定理求出展开式中含的项，即可求解；（2）分别令，两式联立即可求解．【小问1详解】展开式中含的项为，所以．【小问2详解】令，得①，令，得②，由①②得，，所以．18.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，求函数的极大值与极小值.【答案】（1）答案见解析；（2）的极大值为10，极小值为；【解析】【分析】（1）对函数求导并对参数进行分类讨论即可得出单调区间；（2）结合（1）中的结论得出函数的极大值点和极小值点，即可求得结果.【小问1详解】由可得其定义域为，且；当时，恒成立，此时的单调递增区间为；当时，，若或，；若，；因此的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，，若或，；若，；因此的单调递增区间为和，单调递减区间为；综上可得时，的单调递增区间为；时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；时，的单调递增区间为和，单调递减区间为.【小问2详解】当时，，此时；由（1）可知的单调递增区间为和，单调递减区间为；所以可得函数在时取得极大值，即，在时取得极小值，即；所以函数的极大值为，极小值为.19.如图1所示，现有一块边长为1.5m的等边三角形铁板，如果从铁板的三个角各截去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正三棱柱形的容器如图2.则容器的容积是容器底面边长的函数.（1）写出函数的解析式并注明定义域；（2）求这个容器容积的最大值.【答案】（1）；定义域为.（2）【解析】【分析】（1）根据题意求出三棱柱的高，再根据柱体的体积公式即可求解；（2）利用导数法求函数的最值即可求解．【小问1详解】如图所示：由题意可知,所以，可得，所以，即三棱柱的高为，所以，所以，定义域为.【小问2详解】由（1）知，，定义域为.因为，所以，令则，解得或（舍），又因为，所以当x∈0,1时，当时，，所以在0,1上单调递增，在上单调递减；当时，取得极大值，也为函数的最大值，所以．故这个容器容积的最大值为.20.设函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求，的值；（2）设函数，求的单调区间；（3）求证：当时，有.【答案】（1）（2）单调递增区间为，单调递减区间为（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用切线方程建立方程组求解即可；（2）由（1）得出，再进行求导即可得出的单调区间；（3）构造函数，利用导数求出其单调性得出最小值可证明得出结论.小问1详解】由可得，根据切线方程可得其斜率为，因此，解得；又，所以可得【小问2详解】由（1）可知，所以可得，易知其定义域为；则，令，解得；所以当时，；当时，；因此的单调递增区间为，单调递减区间为.【小问3详解】证明：令函数，可得，令，因此可得恒成立，所以在上单调递增，可得，即恒成立，所以在上单调递增，可得，即，所以；因此当时，有.21.设函数.（1）求的最小值；（2）设，求证：是函数只有一个极大值点的充分不必要条件.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用导数求解即可；（2）按照充要条件的定义，先证明充分性，再证明必要性．【小问1详解】因为，所以当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，所以．所以的最小值为；【小问2详解】充分性：，，因为，所以当时，，在单调递减．当时，，在单调递增．所以在只有一个极大值点．必要性：已知函数的极大值点只有一个．①若恒成立，即在上恒成立，由（1）