第1讲集合的概念及运算(教师版)

第1讲集合的概念及运算【课前测试】1、已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x∈Z，且\f(3,2－x)∈Z))，则集合A中的元素个数为()A.2 B.3C.4 D.5答案C解析∵eq\f(3,2－x)∈Z，∴2－x的取值有－3，－1，1，3，又∵x∈Z，∴x值分别为5，3，1，－1，故集合A中的元素个数为4，故选C.2、设全集U＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{－3，0，2，3}，则A∩(∁UB)＝()A.{－3，3} B.{0，2}C.{－1，1} D.{－3，－2，－1，1，3}答案C解析∁UB＝{－2，－1，1}，∴A∩(∁UB)＝{－1，1}.故选C.【知识梳理】1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)五个特定的集合：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR2.集合间的基本关系(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A⫋B或B⫋A.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于集合A且属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B并集属于集合A或属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B补集全集U中不属于集合A的元素组成的集合{x|x∈U，且x∉A}∁UA【常用结论】=1\*GB3①若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.=2\*GB3②子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.=3\*GB3③A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.=4\*GB3④∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).【课堂讲解】考点一集合的基本概念例1、(1)已知集合A＝{2a－1，a2，0}，B＝{1－a，a－5，9}，且A∩B＝{9}，则a＝()A.±3，5 B.3，5C.－3 D.5答案C解析易知a2＝9或2a－1＝9，∴a＝±3或a＝5.当a＝3时，则1－a＝a－5＝－2，不满足集合中元素的互异性，舍去.当a＝5时，则A∩B＝{9，0}，与题设条件A∩B＝{9}矛盾，舍去.当a＝－3时，A＝{－7，9，0}，B＝{4，－8，9}，满足A∩B＝{9}，故a＝－3.(2)已知集合A＝{x∈Z|x2－2x－3≤0}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,x)>0))))，若集合C＝{x|x∈A且x∉B}，则C＝()A．{0,1} B．{－1,1}C．{0} D．∅答案A解析A＝{x∈Z|x2－2x－3≤0}＝{x∈Z|－1≤x≤3}＝{－1,0,1,2,3}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,x)>0))))＝{x|x<0或x>1}．因为－1,2,3∈B，而0,1∉B，所以C＝{0,1}．变式训练：1、设集合A＝{x|3x－1<m}，若1∈A且2∉A，则实数m的取值范围是()A.(2，5) B.[C.(2，5] 答案C解析∵A＝{x|3x－1<m}，1∈A且2∉A，∴3×1－1<m且3×2－1≥m，解得2<m≤5.2、已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9 B．8C．5 D．4答案A解析由题意可知A＝{(－1,0)，(0,0)，(1,0)，(0，－1)，(0,1)，(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}，集合A中共有9个元素，故选A．考点二集合间的基本关系例2、(1)已知集合A＝{0}，B＝{－1,0,1}，若A⊆C⊆B，则符合条件的集合C的个数为()A．1B．2C．4D．8答案C解析由题意得，含有元素0且是集合B的子集的集合有{0}，{0，－1}，{0,1}，{0，－1，1}，即符合条件的集合C共有4个．故选C．(2)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}.若B⊆A，则实数m的取值范围为________.答案(－∞，－2)∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))解析A＝{x|－1≤x≤6}.∵B⊆A，∴B＝∅或B≠∅.当B＝∅时，m－1>2m＋1，即m<－2.符合题意.当B≠∅时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－1≤2m＋1，,m－1≥－1，,2m＋1≤6.))解得0≤m≤eq\f(5,2).得m<－2或0≤m≤eq\f(5,2).变式训练：1、已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为()A．7 B．8C．15 D．16答案A解析法一：A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1,2,3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．2、已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．答案(解析∵B⊆A，∴①若B＝∅，则2m－1＜m＋1，此时m＜2.②若B≠∅，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－3、已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．答案[－2,2]解析①若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.②若1∈B，则12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，解得m＝－eq\f(5,2)，此时B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，不合题意．综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)．4、已知集合A＝{x|log2(x－1)<1}，B＝{x||x－a|<2}，若A⊆B，则实数a的取值范围为()A.(1，3) B.[1，3]C.[1，＋∞) D.(－答案B解析由log2(x－1)<1，得0<x－1<2，所以A＝(1，3).由|x－a|<2得a－2<x<a＋2，所以B＝(a－2，a＋2).因为A⊆B，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2≤1，,a＋2≥3，))解得1≤a≤3.所以实数a的取值范围为[1，3].考点三集合的基本运算命题点1集合的交、并、补运算例3、(1)已知集合A＝{x|0<x<eq\r(2)}，B＝{x|log12x<2}，则A∪B＝()A．R B．{x|0<x<eq\r(2)}C．{x|x>0} D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)<x<\r(2)))))答案C解析因为A＝{x|0<x<eq\r(2)}，B＝{x|log12x<2}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,4)))))，所以A∪B＝{x|x>0}．故选C．(2)已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N＝()A．{x|－4<x<3} B．{x|－4<x<－2}C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3}答案C解析∵N＝{x|x2－x－6<0}＝{x|－2<x<3}，M＝{x|－4<x<2}，∴M∩N＝{x|－2<x<2}，故选C．(3)已知集合U＝{－2，－1,0,1,2,3}，A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，则∁U(A∪B)＝()A．{－2,3} B．{－2,2,3}C．{－2，－1,0,3} D．{－2，－1,0,2,3}答案A解析∵A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，∴A∪B＝{－1,0,1,2}，又∵集合U＝{－2，－1,0,1,2,3}，∴∁U(A∪B)＝{－2,3}．故选A．变式训练：1、已知集合P＝{x|1＜x＜4}，Q＝{x|2＜x＜3}，则P∩Q＝()A.x|1＜x≤C.x|3≤x答案B解析由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＜x＜4，,2＜x＜3，))可得2＜x＜3，即P∩Q＝{x|2＜x＜3}.故选B.2、若集合A＝{x|x2－5x－6>0}，B＝{x|2x>1}，则(∁RA)∩B＝()A．{x|－1≤x<0} B．{x|0<x≤6}C．{x|－2≤x<0} D．{x|0<x≤3}答案B解析因为A＝{x|x2－5x－6>0}＝{x|x>6或x<－1}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤6}．又B＝{x|2x>1}＝{x|x>0}，所以(∁RA)∩B＝{x|0<x≤6}．3、已知集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1≥0}，全集U＝R，则A∩(∁UB)＝()A.(－∞，1) B.(－2，1)C.(－3，－1) D.(3，＋∞)答案A解析由题意A＝{x|x<2或x>3}.又B＝{x|x≥1}，知∁UB＝{x|x<1}，∴A∩(∁UB)＝{x|x<1}.命题点2已知集合运算求参数例4、已知集合A＝{x|y＝eq\r(4－x2)}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为()A.(－∞，－3)∪[2，＋∞) B.[－C.[－2，1] D.[2答案C解析集合A＝{x|y＝eq\r(4－x2)}＝{x|－2≤x≤2}，因A∪B＝A，则B⊆A.又B≠∅，所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥－2，,a＋1≤2，))所以－2≤a≤1.变式训练：1、已知A＝{1,2,3,4}，B＝{a＋1,2a}．若A∩B＝{4}，则a＝()A．3B．2C．2或3 D．3或1答案A解析因为A∩B＝{4}，所以a＋1＝4或2a＝4，若a＋1＝4，则a＝3，此时B＝{4,6}，符合题意；若2a＝4，则a＝2，此时B＝{3,4}，不符合题意．综上，a＝3.2、已知集合A＝{0,1,2m}，B＝{x|1＜22－x＜4}．若A∩B＝{1,2m}，则实数m的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D．(0,1)答案C解析因为B＝{x|1＜22－x＜4}，所以B＝{x|0＜2－x＜2}，所以B＝{x|0＜x＜2}．由2m∈B⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜2m＜2，,2m≠1，))解得0＜m＜1且m≠eq\f(1,2).3、集合M＝{x|2x2－x－1<0}，N＝{x|2x＋a>0}，U＝R.若M∩(∁UN)＝∅，则a的取值范围是()A.(1，＋∞) B.[1，＋∞]C.(－∞，1) D.(－∞，1)答案B解析易得M＝{x|2x2－x－1<0}＝{xeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<1))}.∵N＝{x|2x＋a>0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>－\f(a,2)))))，∴∁UN＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(a,2))))).由M∩(∁UN)＝∅，则－eq\f(a,2)≤－eq\f(1,2)，得a≥1.4、已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是()A．a<－2 B．a≤－2C．a>－4 D．a≤－4答案D解析集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(a,2)))))，由A∪B＝B可得A⊆B，作出数轴如图．可知－eq\f(a,2)≥2，即a≤－4.【作业布置】1、已知集合P＝{x|1<x<4}，Q＝{x|2<x<3}，则P∩Q＝(B)A．{x|1<x≤2} B．{x|2<x<3}C．{x|3≤x<4} D．{x|1<x<4}答案B解析∵P＝{x|1<x<4}，Q＝{x|2<x<3}，∴P∩Q＝{x|2<x<3}，故选B.2、设集合A＝{－1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则(A∩B)∪C＝()A.{0} B.{0，1，3，5}C.{0，1，2，4} D.{0，2，3，4}答案C解析∵A＝{－1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，∴A∩B＝{1}，∴(A∩B)∪C＝{0，1，2，4}.3、已知集合A＝{x|x<0}，B＝{x|x2＋mx－12＝0}，若A∩B＝{－2}，则m＝()A.4 B.－4 C.8 D.－8答案B解析∵A∩B＝{－2}，可知－2∈B，所以(－2)2－2m－12＝0，解得m＝－4.4、已知集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|2x>1}，则(D)A．A∩B＝∅ B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆B答案D.解析由x2－2x<0得0<x<2，即A＝{x|0<x<2}，由2x>1得x>0，即B＝{x|x>0}，所以A⊆B，故选D.5、设集合A＝{x|(x＋2)(x－3)≤0}，B＝{a}，若A∪B＝A，则a的最大值为()A.－2 B.2 C.3 D.4答案C解析因为A＝{x|(x＋2)(x－3)≤0}，所以A＝{x|－2≤x≤3}.又因为B＝{a}，且A∪B＝A，所以B⊆A，所以a的最大值为3.6、已知集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，若B⊆A，则实数a＝()A.－1 B.2C.－1或2 D.1或－1或2答案C解析因为B⊆A，所以必有a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.①若a2－a＋1＝3，则a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}，满足条件；当a＝2时，A＝{1，3，2}，B＝{1，3}，满足条件.②若a2－a＋1＝a，则a2－2a＋1＝0，解得a＝1，此时集合A＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，所以a＝1应舍去.综上，a＝－1或a＝2.7、已知集合A＝{x|y＝log2(x2－8x＋15)}，B＝{x|a＜x＜a＋1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是()A.(－∞，3) B.(－∞，4)C.(3，4) D.[3，4]答案D解析易知A＝{x|x2－8x＋15＞0}＝{x|x＜3或x＞5}，由A∩B＝∅，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥3，,a＋1≤5，))所以3≤a≤4.8、已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|eq\r(x)≤4，x∈Z}，则A∩B＝()A．(0，2) B．[0，2]C．{0，2} D．{0，1，2}答案D解析由已知得A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{0，1，…，16}，所以A∩B＝{0，1，2}．9、已知集合A＝{x|log2(x－2)>0}，B＝{y|y＝x2－4x＋5，x∈A}，则A∪B＝()A．[3，＋∞) B．[2，＋∞)C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)答案C解析∵log2(x－2)>0，∴x－2>1，即x>3，∴A＝(3，＋∞)，此时y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1>2，∴B＝(2，＋∞)，∴A∪B＝(2，＋∞)．故选C.10、集合A＝{x|x<－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))C．(－∞，－1)∪[0，＋∞] D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))∪(0，1)答案A解析∵B⊆A，∴①当B＝∅时，即ax＋1≤0无解，此时a＝0，满足题意．②当B≠∅时，即ax＋1≤0有解，当a>0时，可得x≤－eq\f(1,a)，要使B⊆A，则需要eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,－\f(1,a)<－1，))解得0<a<1.当a<0时，可得x≥－eq\f(1,a)，要使B⊆A，则需要eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,－\f(1,a)≥3，))解得－eq\f(1,3)≤a<0，综上，实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1)).故选A.11、设集合A＝{x|y＝eq\r(x－3)}，B＝{x|1<x≤9}，则(∁RA)∩B＝________.答案(1，3)解析因为A＝{x|y＝eq\r(x－3)}，所以A＝{x|x≥3}，所以∁RA＝{x|x<3}.又B＝{x|1<x≤9}，所以(∁RA)∩B＝(1，3).12、已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是________.答案[1，＋∞)解析由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0，1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c).由A⊆B，得c≥1.13、已知集合P＝{x|y＝eq\r(－x2＋x＋2)，x∈N}，Q＝{x|lnx<1}，则P∩Q＝.答案{1,2}解析由－x2＋x＋2≥0，得－1≤x≤2，因为x∈N，所以P＝{0,1,2}．因为lnx<1，所以0<x<e，所以Q＝(0，e)，则P∩Q＝{