河南省焦作市第十八中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷

2023-2024学年河南省焦作十八中八年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.2022年北京冬奥会己顺利闭幕，下列历届冬奥会会徽的部分图案中，是中心对称图形的是(

)A. B.

C. D.2.下列命题中，假命题的是(

)A.等腰三角形的两个底角相等 B.直角三角形的两个锐角互余

C.有两个内角是的三角形是等边三角形 D.等腰三角形的两个底角的平分线互相垂直3.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是(

)A. B.

C. D.4.在平面直角坐标系内，将先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是(

)A. B. C. D.5.我们定义一个关于实数a，b的新运算，规定：，例如，若实数m满足，则m的取值范围是(

)A. B. C. D.6.如图，在中，DE是AC的垂直平分线，，且的周长为10cm，则的周长为(

)A.6cm

B.10cm

C.13cm

D.16cm7.如图所示：某公园里有一处长方形风景欣赏区ABCD，AB长50米，BC宽25米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路图中非阴影部分，小明同学在假期沿着小路的中间行走图中虚线，则：小明同学所走的路径长约为米．小路的宽度忽略不计A.150米 B.125米 C.100米 D.75米8.如图，OP平分，E为OA上一点，，P到OB的距离是2，则的面积为(

)A.2

B.3

C.4

D.89.若关于x的不等式组的整数解共有2个，则m的取值范围是(

)A. B. C. D.10.如图，在直角三角形ABC中，，，点D是AC的中点，将一块锐角为的直角三角板ADE如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、

下列判断正确的有(

)

①≌；②；③；④A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.已知中，，求证：，用反证法证明：第一步是：假设______.12.如果是一元一次不等式，则______.13.如图，在中，，，线段AB的垂直平分线ED分别交AC、AB于点D、E，连接若，则AC的长为______.

14.如图，一次函数与的图象交于点下列结论：①；②；③当时，；④；⑤其中，所有正确结论的序号是______.

15.如图，O是内的点，，，，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接设为，当为等腰三角形时，为______.

三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.本小题12分

解不等式组：

①；

②

因式分解：

①；

②17.本小题7分

如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．

在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是______；填序号

若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是______；写出一个即可

若方程，都是关于x的不等式组的关联方程，直接写出m的取值范围．18.本小题8分

已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，

求证：BD平分；

若，，求OC的长．19.本小题9分

如图，在平面直角坐标系xOy中，的三个顶点坐标分别为，，每个方格的边长均为1个单位长度

将平移，使点B移动到点，请画出；

作出关于O点成中心对称的，并直接写出，，的坐标；

与是否成中心对称？若是，请直接写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．

20.本小题9分

学习完“一元一次不等式与一次函数”后，老师给出了这样一道练习题：如图1，直线与直线交于点，求不等式的解集．

同学们都感觉这道题很容易，通过观察图象快速写出了这道题的答案是：______.

接着，老师又提出了一个具有挑战性的题目：求不等式：的解集．小明所在的数学兴趣小组展开了对这个问题的探究：探究的思路是借助函数图象解决问题．

首先画出函数的图象．

①列表：如表是x与y的几组对应值，其中______；x…012…y…1a1…②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点；

③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象图

观察分析图象特征，结合已有的学习经验和该函数的性质，写出不等式的解集是______.21.本小题10分

在中，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段AQ，连接

【发现问题】如图1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是______；

【探究猜想】如图2，如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.请仅以图2所示的位置关系加以证明或说明；

【拓展应用】如图3，在中，，，，P是线段BC上的任意一点连接AP，将线段AP绕点A顺时针方向旋转，得到线段AQ，连接CQ，请直接写出线段CQ长度的最小值.22.本小题10分

某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆12万元，面包车每辆8万元，公司可投入的购车款不超过100万元；

符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；

如果每辆轿车的日租金为250元，每辆面包车的日租金为150元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于2000元，那么应选择以上哪种购买方案？23.本小题10分

在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点P在等边内部，且，，，求PB的长.

经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找PA，PB，PC三边之间的数最关系，即可求得PB的长为______；

【理解应用】如图②，在等腰直角中，，P为内一点，，判断PA，PB，PC之间的数量关系，并说明理由；

【类比迁移】如图③，小李家有一块三角形的空地ABC，其中，，小李家位于空地旁的P点，通过测量，，，请直接写出线段PC的长.

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，

选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，

故选：

把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．

本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，绕对称中心旋转后与原图重合．2.【答案】D

【解析】A、等腰三角形的性质等腰三角形的底角相等．故此选项是真命题；

B、直角三角形的两个锐角互余，此选项为真命题；

C、有两个内角是的三角形是等边三角形，故此选项是真命题；

D、等腰三角形的两个底角的平分线一定不垂直，故此选项是假命题．

故选：

根据真假命题的概念以及直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定逐一判定即可．

本题主要考查真假命题的概念以及直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定．掌握以上知识是解题的关键．3.【答案】C

【解析】解：从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；

B.从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；

C.从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；

D.等式的右边是分式与整式的积，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；

故选：

根据因式分解的定义逐个判断即可．

本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．4.【答案】A

【解析】解：平移后的坐标为，即坐标为，

故选：

根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．

此题主要考查了坐标与图形的变化-平移，关键是掌握平移规律．5.【答案】D

【解析】解：根据题中的新定义化简得：，

移项得：，

解得：

故选：

利用题中的新定义化简已知不等式，求出解集即可得到m的范围．

此题考查了解一元一次不等式，以及实数的运算，熟练掌握运算法则及不等式的解法是解本题的关键．6.【答案】D

【解析】解：是AC的垂直平分线，

，

的周长为10cm，

，

，即，

的周长，

故选：

根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．

本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．7.【答案】C

【解析】解：由平移的性质可知，由于小路的宽度忽略不计，因此所行走的路程为米，

故选：

由于路的宽度忽略不计，因此行走的路线的长为，代入计算即可．

本题考查生活中的平移现象，理解平移的意义，掌握平移的性质是正确解答的关键．8.【答案】C

【解析】解：如图，过P作于D，作于C，

是的平分线，P到OB的距离是2，

，

，

故选：

过P作于D，作于C，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，根据三角形的面积公式计算可求解．

本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．9.【答案】B

【解析】解：不等式组整理得：，即，

所以不等式组的整数解有2个整数解为3，4，

则m的范围为

故选：

表示出不等式组的解集，由整数解有2个，确定出m的范围即可．

此题考查了一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．10.【答案】D

【解析】解：，点D是AC的中点，

，

是等腰直角三角形，

，

，，

，

在和中，，

≌，故①小题正确；

，，故②小题正确；

，

，

，故③小题正确；

是等腰直角三角形，

，

，点D是AC的中点，

，，

在中，，

，，

，

，

解得，故④小题正确，

综上所述，判断正确的有①②③④共4个．

故选：

根据，点D是AC的中点求出，再根据是等腰直角三角形求出，并求出，然后利用“边角边”证明和全等，从而判断出①小题正确；根据全等三角形对应边相等可得，从而判断出②小题正确；根据全等三角形对应角相等可得，然后推出，从而判断出③小题正确；根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍，用DE表示出AD，然后得到AB、AC，再根据勾股定理用DE与EC表示出BC，整理即可得解，从而判断出④小题正确．

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，准确识图，根据是等腰直角三角形推出，是解题的关键，也是解决本题的突破口．11.【答案】

【解析】解：用反证法证明：第一步是：假设

故答案是：

熟记反证法的步骤，直接填空即可．

本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．

反证法的步骤是：

假设结论不成立；

从假设出发推出矛盾；

假设不成立，则结论成立．

在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．12.【答案】1

【解析】解：是关于x的一元一次不等式，

，，

解得：

故答案为：

根据已知和一元一次不等式的定义得出，，求出即可．

本题考查了一元一次不等式的定义的应用，关键是能根据已知得出，13.【答案】

【解析】解：是线段AB的垂直平分线，

，

，

，

在中，，，

，

由勾股定理得：，

，

，

故答案为：

先根据垂直平分线的性质得，则，进而得，然后在中，根据含有角的直角三角形的性质及勾股定理求出BD的长即可得出AC的长．

此题主要考查了含有角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握含有角的直角三角形的性质和勾股定理，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．14.【答案】②④⑤

【解析】解：由一次函数图象可知：，，由一次函数图象可知：，，所以①错误，

，故②正确，

观察图象交点情况，交点的横坐标为1，自变量时，图象位于图象上方，即当时，，故③错误，同时因为交点横坐标为1，代入两解析式可得，故④正确，

由当时一次函数图象上的对应点在第三象限，即时，代入得：，即，故⑤正确，

故答案为：②④⑤．

由一次函数图象及其性质可知a，b，c，d的符号情况，从而可判断①②的正确与否，由两函数图象的交点情况可判断③④正确与否，由与x轴交点情况可判断⑤正确与否，作出选择即可．

本题考查了一次函数的图象及其性质，关键是利用数形结合的方法，把图象直观与代数精确计算综合运用，其中利用点的坐标代入直线方程解决等量关系判断尤为重要．15.【答案】或或

【解析】解：，，

，

，

，，

，，

，

由旋转得，，，

，，

当为等腰三角形，且时，则，

，

，

；

当为等腰三角形，且时，则，

，

；

当为等腰三角形，且时，则，

，

，

综上所述，或或，

故答案为：或或

由，，得，由，，求得，，则，由旋转得，，，则，，再分三种情况讨论，一是当时，可求得，则，求得；二是当时，则，，求得；三是当时，则，则，求得，于是得到问题的答案．

此题重点考查旋转的性质、等腰三角形的性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地求得是解题的关键．16.【答案】解：①，

，

，

，

，

；

②，

解不等式①得：，

解不等式②得：，

原不等式组的解集为：；

①

；

②

【解析】①按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答；

②按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答；

①先提公因式法，再利用完全平方公式进行计算即可解答；

②先提公因式法，再利用平方差公式进行计算即可解答．

本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，提公因式法与公式法的综合运用，准确熟练地进行计算是解题的关键．17.【答案】③

；

答案不唯一；

解方程得：，

解方程得：，

解不等式组得：，

方程，都是关于x的不等式组的关联方程，

，

即m的取值范围是

【解析】解：解方程得：，

解方程得：，

解方程得：，

解不等式组得：，

所以不等式组的关联方程是③，

故答案为：③；

解不等式组得：，

这个关联方程可以是，

故答案为：答案不唯一；

见答案．

【分析】

先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；

先求出不等式组的解集，求出不等式组的整数解，再写出方程即可；

先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案．

本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，解一元一次不等式组等知识点，能理解关联方程的定义是解此题的关键．18.【答案】证明：，

，

，

，

又，

平分；

解：过点O作于E，

，，

，

，

平分，

在中，，，

【解析】根据等腰三角形的性质、平行线的性质以及角平分线的定义证明；

过点O作于E，根据角平分线的性质得到，根据勾股定理计算即可．

本题考查的是角平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．19.【答案】解：如图，即为所求；

如图，即为所求，点，，的坐标分别为，，；

与是成中心对称图形，

如图，对称中心T的坐标为

【解析】利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；

利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；

根据中心对称变换的性质判断即可．

本题考查作图-旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质属于中考常考题型．20.【答案】

【解析】解：观察图1可得，不等式的解集是，

故答案为：；

①列表：把代入得，

，

故答案为：2；

②描点：见下图；

③连线：如图：

观察图象可得，的解集为

观察图象可得的解集；

①把把代入可得a的值；②在所给直角坐标系中描点即可；③将所描点连起来，画出函数图象即可；

观察函数图象，即可得到答案．

本题考查一次函数与不等式的关系，理解一次函数与二元一次方程组、不等式的关系是正确解答的关键．21.【答案】

【解析】解：【发现问题】由旋转知，，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，

故答案为：；

【探究猜想】前面发现的结论仍然成立；理由如下：

由旋转知，，

，

，

，

在和中，

，

≌，

；

【拓展应用】如图，在AB上取一点E，使，连接PE，过点E作于F，

由旋转知，，，

，，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，

要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是AB上的动点，

当点P和点F重合时，EP最小，

即：点P与点F重合，CQ最小，最小值为EP，

在中，，，

，

，

，

在中，，，

故线段CQ长度最小值是

【发现问题】由旋转知，，，可得，可知≌，即可；

【探究猜想】结论：仍然成立，理由：由旋转知，，由，可得，可知≌，可得；

【拓展应用】在AB上取一点E，使，连接PE，过点E作于F，由旋转知，，，可求，可证≌，，当点P和点F重合时，EP最小，在中，，可求，由，可求，在中，，，可得即可．

本题考查三角形旋转变换的性质，全等三角形判定与性质，角直角三角形性质，掌握旋转变换的性质，根据垂线段最短确定线段位置是解本题的关键．22.【