14.3.2　公式法　第2课时　用完全平方公式分解因式

第十四章整式的乘法与因式分解公式法第2课时用完全平方公式分解因式

知识点一完全平方式1.

(2024重庆黔江区期末)下列各式是完全平方式的是(

C

)A.

x2＋2

xy

－

y2B.

x2－1C.

x2－

x

＋

D.

x2＋2

x

＋1C建议用时：30分钟

1234567891011121314151617182.

已知4

x2＋4

mx

＋36是完全平方式，则

m

的值为(

D

)A.

2B.

±2C.

－6D.

±63.

如果

x2＋

mx

＋1＝(

x

＋

n

)2，且

m

＞0，那么

n

的值是

⁠.D1

123456789101112131415161718知识点二用完全平方公式分解因式4.

下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是(

D

)A.

a2＋4B.

a2＋

ab

＋

b2C.

a2＋4

ab

＋

b2D.

x2＋2

x

＋1D1234567891011121314151617185.

(2022河池中考)多项式

x2－4

x

＋4因式分解的结果是(

D

)A.

x

(

x

－4)＋4B.

(

x

＋2)(

x

－2)C.

(

x

＋2)2D.

(

x

－2)2

D

a

(

a

－3)2

1234567891011121314151617188.

把下列多项式分解因式：(1)4＋

m2－4

m

；解：原式＝4－4

m

＋

m2＝22－2×2×

m

＋

m2＝(2－

m

)2.(2)

a2

b2－10

ab

＋25；解：原式＝(

ab

)2－2×

ab

×5＋52＝(

ab

－5)2.123456789101112131415161718

(4)－8

ax2＋16

axy

－8

ay2.解：原式＝－8

a

(

x2－2

xy

＋

y2)＝－8

a

(

x

－

y

)2.123456789101112131415161718知识点三用完全平方公式分解因式的相关计算9.

(2024北京西城区期末)如图，有甲、乙、丙三种正方形和长方形纸片，用1张甲

种纸片、4张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成一个大正方形(无重叠、无缝隙)，则

拼成的大正方形的边长为

(用含

a

，

b

的式子表示).a

＋2

b

12345678910111213141516171810.

用简便方法计算：2002－400×199＋1992＝

⁠.11.

已知

a

＋

b

＝3，

ab

＝2，求代数式

a3

b

＋2

a2

b2＋

ab3的值.解：∵

a

＋

b

＝3，

ab

＝2，∴

a3

b

＋2

a2

b2＋

ab3＝

ab

(

a2＋2

ab

＋

b2)＝

ab

(

a

＋

b

)2＝2×32＝18.1

123456789101112131415161718

12.

将多项式4

x2＋1加上一项，使它能化成(

a

＋

b

)2的形式，以下是四位同学所加的

项，其中错误的是(

D

)A.

4

x

B.

－4

x

C.

4

x4D.

2

x

D12345678910111213141516171813.

将下列多项式分解因式，结果中不含有因式

m

－2的是(

D

)A.

m2－4B.

(

m

＋2)2－8(

m

＋2)＋16C.

m3－4

m2＋4

m

D.

m2＋2

m

D12345678910111213141516171814.

已知

P

＝

m2－

m

，

Q

＝

m

－1，其中

m

为任意实数，则

P

与

Q

的大小关系为

(

B

)A.

P

＞

Q

B.

P

≥

Q

C.

P

＜

Q

D.

无法确定解析：∵

P

＝

m2－

m

，

Q

＝

m

－1(

m

为任意实数)，∴

P

－

Q

＝

m2－

m

－(

m

－1)＝

m2－2

m

＋1＝(

m

－1)2≥0，∴

P

≥

Q

.

B12345678910111213141516171815.

已知代数式

a2＋(2

t

－1)

ab

＋4

b2是一个完全平方式，则实数

t

的值为

⁠

⁠.

12345678910111213141516171816.

将下列各式因式分解：(1)(

a

－

b

)(

a

－4

b

)＋

ab

；解：原式＝

a2－5

ab

＋4

b2＋

ab

＝

a2－4

ab

＋4

b2＝(

a

－2

b

)2.(2)(

x2＋4

y2)2－16

x2

y2.解：原式＝(

x2＋4

y2＋4

xy

)(

x2＋4

y2－4

xy

)＝(

x

＋2

y

)2(

x

－2

y

)2.12345678910111213141516171817.

(2023阜阳太和期末)发现与探索.小明的解答：

a2－6

a

＋5＝

a2－6

a

＋9－9＋5＝(

a

－3)2－4＝(

a

－5)(

a

－1).小丽的思考：代数式(

a

－3)2＋4中，无论

a

取何值，(

a

－3)2都大于等于

0，再加上4，则代数式(

a

－3)2＋4大于等于4，则(

a

－3)2

＋4有最小值为4.123456789101112131415161718(1)根据小明的解答将

a2－12

a

＋20因式分解；解：(1)

a2－12

a

＋20＝

a2－12

a

＋36－36＋20＝(

a

－6)2－42＝(

a

－10)(

a

－2).123456789101112131415161718(2)根据小丽的思考，求代数式

a2－12

a

＋20的最小值.解：(2)

a2－12

a

＋20＝

a2－12

a

＋36－36＋20＝(

a

－6)2－16.无论

a

取何值，(

a

－6)2都大于等于0，再加上－16，则代数式(

a

－6)2－16大于等于－16，则

a2－12

a

＋20的最小值为－16.123456789101112131415161718

18.

提供方法支架

(2022西宁中考)八年级课外兴趣小组活动时，老师提出

了如下问题：将2

a

－3

ab

－4＋6

b

因式分解.【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式＝(2

a

－3

ab

)－(4－6

b

)＝

a

(2－3

b

)－2(2－3

b

)＝(2－3

b

)(

a

－2).123456789101112131415161718解法二：原式＝(2

a

－4)－(3

ab

－6

b

)＝2(

a

－2)－3

b

(

a

－2)＝(

a

－2)(2－3

b

).【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若

干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分

解法.分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用.(温

馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止)根据以上信息，先将

a4－2

a3

b

＋2

a2

b2－2

ab3＋

b4因式分解，再求值.123456789101112131415161718【类比】(1)请用分组分解法将

x2－

a2＋

x

＋

a

因式分解；解：(1)原式＝(

x2－

a2)＋(

x

＋

a

)＝(

x

＋

a

)(

x

－

a

)＋(

x

＋

a

)＝(

x

＋

a

)(

x

－

a

＋1).【挑战】(2)请用分组分解法将

ax

＋

a2－2

ab

－

bx

＋

b2因式分解；解：(2)原式＝(

ax

－

bx

)＋(

a2－2

ab

＋

b2)＝

x

(

a

－

b

)＋(

a

－

b

)2＝(

a

－

b

)(

x

＋

a

－

b

).123456789101112131415161718【应用】(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理.如

图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小

正方形.若直角三角形的两条直角边长分别是

a

和

b

(

a

＞

b

)，斜边长是3，小正方形

的面积是1.123456789101112131415161718解：(3)原式＝(

a4＋2

a2

b2＋

b4)－(2

a3

b

＋2

ab3)＝(

a2＋

b2)2－2

ab

(

a2＋

b2)＝(

a2＋

b2)(

a