比大小归类-2025年高考数学一轮复习

专题07比大小归类

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目录

题型一：基础函数：指数函数性质..................................................................1

题型二：基础函数：对数函数性质..................................................................2

题型三：嘉指对函数性质..........................................................................3

题型四：借助0、1分界..........................................................................4

题型五：指数型同构法...........................................................................5

题型六：借助常数分界............................................................................5

题型七：放缩型..................................................................................6

题型八：构造型1：对数嘉型......................................................................7

题型九：构造型2：指数嘉型......................................................................8

题型十：构造型3：指数线性构造..................................................................9

题型十一：构造型4：对数线性构造................................................................9

题型十二：构造型5：三角函数线性构造...........................................................10

题型十三：构造型6：综合构造....................................................................11

题型十四：三角函数型构造比大小.................................................................12

题型十五：幕指对与三角函数混合型...............................................................12

题型十六：泰勒展开.............................................................................13

题型十七：麦克劳林展开.........................................................................14

^突围・檐;住蝗分

题型一：基础函数：指数函数性质

指I点I迷I津

指数函数比大小易错点：

1.利用指数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待.

2.指数函数在第一象限图像，具有“底大图高”的性质

3.指数函数图像性质：一点一线。恒过定点（0,1）,x轴是它的水平渐近线

4.进行指数第的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调

性进行判断.对于不同底而同指数的指数幕的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确.

£3

1.（23-24高三・湖南衡阳•阶段练习）设〃=>=]£|4，c=lnL6,则（）

A.c<a<bB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

6=（：）（e为自然对数的底数）

2.（23-24高三•云南昆明•模拟）已知々=0.33",c=tanl,比较b,

的大小（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

3.（23-24高三•宁夏银川•阶段练习）已知函数/（x）=F-l[,a<b<c,且则（）

A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b>0,c>0

C.3一。<3，D.3。+3,<2

4.（2023・贵州毕节•模拟预测）已知实数兀>满足3"+4'=5"且％WogzB+log7工则（）

A.|x-y|>|x-2|B.|-^-y|>|y-3|C.|x-2|<|2-y|D.|x-3|<|3-y|

5.（22-23高三・山东威海•模拟）己知函数/'（x）=3禺，若。=/（1唱2）,b=f（lg^）,c=/（log2510）,则（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

题型二：基础函数：对数函数性质

指I点I迷I津

对救困数比大小，主要时通过对教计算公式转化为结果相同，利用单调性比大小

对数运算公式

1.对数的运算法则：

M

①loga（MV）=k&M±l里近②1。际=logaM-logaN；

③logJW"=wlogJV/（〃GR）；@\0gamMn=^0gaM.

2.对数的性质：①产"=N②10ga，=N3>0且存1）.

3.对数的重要公式

①换底公式：log，=瞿吟；

②换底推广：loggZ?=i~~^>\ogabAogbcAogcd=logad.

1.（22-23高三下•河南•阶段练习）已知〃=lg8,&=log32,c=log1210,d=30%则（）

A.c<b<a<dB.d<a<c<bC.a<b<c<dD.b<a<c<d

2

2.（23-24高三・江苏泰州•模拟）己知三个互不相等的正数a/,c满足々=//=log?3+logg6,c=log6（2"+1）

（其中e=2.71828…是一个无理数），则a1,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.c<b<a

3.（2024•重庆•模拟预测）设a=log2（B42023,b=log20232022,c=log020240.2023,贝!!（）

A.c<a<bB.b<c<a

C.b<a<cD.a<b<c

/、——力、、io,i11In2.2/

4.（2024•辽丁•一模）设n石，b=ln--c=,贝|（）

a—e10910

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

5.（23-24高三•广东佛山•模拟）已知2。=5,3"=10,4。=17,则a,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

题型三：幕指对函数性质

指I点I迷I津

有关指数塞和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其

对应值的范围.

比较指对塞形式的数的大小关系，常用方法：

（1）利用指数函数的单调性：y=a\当。＞1时，函数递增；当0＜。＜1时，函数递减；

（2）利用对数函数的单调性：y=log"无，当。＞1时，函数递增；当0＜"1时，函数递减；

（3）借助于中间值，例如：。或1等.

1.（23-24高三・辽宁朝阳・阶段练习）已知4=0.8。5+0.8°7+0.8。9,6=0.608+0.7°・8+0.8°8,,_1+>石+^

C-V£1ICIC（

则（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

2

2.（23-24高三江苏泰州•模拟）己知三个互不相等的正数。，瓦。满足q=e3,6=log23+log96,c=log后（2"+l1

（其中e=2.71828…是一个无理数），则6,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.c<b<a

3.（2023•河南•模拟预测）已知a=ln4力=log3»,c=61n2,则。也。的大小关系是（）

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

3

4.（22-23高三•河北唐山•阶段练习）设a=6=lnL5,c=则。，b，c的大小顺序是（）

A.c<a<bB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a

5.（2022•河南•一模）已知。=6\6=/,0=（行广，则这三个数的大小关系为（）

A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

6.（2024年高考天津卷）若。=4.2心,4=4.2°3,c=log420.2,则a,b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

题型四：借助0、1分界

指I点I迷I津

解答比较函数值大小问题，常见的基础思路之一是判断各个数值所在的区间，这样的区间划分，最基础的

是以正负划分，正数则以1为区间端点划分。

指、对、暴大小比较的常用方法：

（1）底数相同，指数不同时，如优，和a*,利用指数函数y=优的单调性；

（2）指数相同，底数不同，如T和只利用幕函数y=x"单调性比较大小；

（3）底数相同，真数不同，如log.占和log。％利用指数函数log。》单调性比较大小；

（4）底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行

大小关系的判定.

1.（23-24高三・辽宁朝阳•阶段练习）已知a=0.8、+O.807+O.80-9,6=0.6M+O.708+O.808,

贝IJ（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

i]

c=log

2.（黑龙江省桦南县第一中学2021-2022学年高三上学期）S^a=log31,%='：，l|>则。，从

c的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.b>c>aD.c>a>b

0202

3<广东省陆丰市林启恩纪念中学2021-2022学年高三学期（12月）数学试题）已知°=03i，b=2,c=O.3,

则a,b,。三者的大小关系是（）

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a

4.（陕西省西安市第一中学2021-2022学年高三上学期期中）己知定义在R上的函数/（%）满足当〃时，

不等式（加一叫/（加）一/（"）］<0恒成立，若a=（log5，，b=（log2，，c=/（403）,则a,b,c大小关

系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

题型五：指数型同构法

指I点I迷I津

指数幕同构性比较大小

①同底幕比较，构造指数函数，用单调性比较;

②同指数哥比较，构造累函数，用单调性比较;

③不同底也不同指幕比较，借助媒介“1”.

1.（江苏省镇江市2021-2022学年高三上学期期中数学试题）已知°=26，。=|，c=log25,d=2后,

则下列大小关系正确的为（）

A.c>a>d>bB.a>c>d>bC.a>d>c>bD.a>d>b>c

2..（四川省宜宾市普通高中2022届高三上学期第一次诊断测试文科数学试题）若。=0.5°6,b=0.6°5,c=log93,

则4,仇C的大小关系是（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.c<b<aD.b<c<a

3.（陕西省西安中学2021-2022学年上学期数学试题）若。=30-5,b=206,c=lnl0,则三者大小关系为（）

A.c>b>a

B.a>c>b

C.b>a>c

D.c>a>b

4..已知三个实数o,b=aa,0=相“，其中Ovavl,则这三个数的大小关系是（）

A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.c<a<b

题型六：借助常数分界

指I点I迷I津

寻找非0、I的中间变量是难点。中间变量的选择首先要估算要比较大小的两个值所在的大致区间。然

后可以对区间使用二分法（或者利用区间内特殊值，或者利用指对互化）寻找合适的中间值。

1.估算要比较大小的两个值所在的大致区间

2.可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值

3.利用易指对等函数计算公式进行适当的放缩转化

L（陕西省西安市第一中学2024届高三下学期高考模拟押题文科数学试题（一））若

159

a=0.31,/?=log312,c=log26,（7=则有（）

A.a>b>cB.b>a>d

C.c>a>bD.b>c>a

2.（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学理科猜题卷（四））已知Q=k）g52,〃=坨4,c=Ze-1,则

〃力，。的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

3.（2022年全国著名重点中学领航高考冲刺试卷（九））若Q=log32,/?=logn3,c=log85,则b,c

的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.a<c<b

4.（广西师大附属外国语学校2021届高三5月高考考前模拟考试数学（理）试题）已知Q=logs6,&=log35,

3

c=log23,d=~,则〃、b、c、d的大小关系是（）

A.b<a<d<cB.a<b<c<d

C.b<a<c<dD.a<b<d<c

题型七：放缩型

指I点I迷I津

放缩：

1.借助暴指对函数的单调性进行放缩。

2.常用一些放缩公式：

tanx>x>sinx,（0<x<gj；

ex>x+l,当x=O时取等；

In尤工无一1,当尤=1时取等，

1.（湖北省恩施州咸丰春晖学校2022-2023学年高二上学期11月月考数学试题）若。=ln5"=:,c=拽，

35

则它们的大小关系是（）

A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b

2.（山东省枣庄市第三中学2021-2022学年高三质量检测数学试题）已知殍，b=?c=粤，则a,

8,C的大小关系为（）

A.b<c<aB.c<a<b

C.c<b<aD.a<c<b

3.若aulogzG，b=21O§4^，c=2~^则〃，b,c的大小关系为（）.

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.b>c>a

b5

4.设°=2"，=l°g2>c=也,则a,b,c的大小关系为.（用连接）

江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高一上学期12月阶段性测试数学试题

题型八：构造型1：对数幕型

指I点I迷I津

常见的构造函数求导思维：在于转化过程中，“分参”一“构造”，得新函数，求导函数寻找单调性

对数笨常见的构造

Inx

构造对数基型：f

InV

比较常见的对数幕型函数图像一

1.（2023•江西景德镇•统考一模）设a=3",bM,°=e兀（e为自然对数底数），贝Ua,b,c大小关系为

（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

2.（2023上•陕西安康•高三校联考阶段练习）己知a,b,c&（e,+“）«>0,—^ak\n8,—=bk\n9,—^ck\n10,

1098

则（）

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>c>aD.c>a>b

in44—In4立，则（）

3.（2023•河南•校联考模拟预测）设。=与，人=土平,

4e-2e

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b

c=£,则（

4.（2023•辽宁抚顺•校考模拟预测）已知a=1.31nl.2,Z?=1.21nl.3,）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b

题型九：构造型2：指数幕型

1.（2023・安徽•校联考模拟预测）已知实数。力,CC（0,1）,且a=ZOZZe"02?,/>=2O23eft-2023,c=2O24e^2024,

则（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

o

2.（2023・辽宁大连•校联考模拟预测）已知。=不b=收,c=ln7,则a,b,c的大小关系是（）

A.c<a<bB.a<b<cC.b<a<cD.c<b<a

3.（2023下•江苏南京•高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习）设==则

b,。的大小关系为（）

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

4.（2023•江苏徐州•徐州市第七中学校考一模）已知。=尚，6=2五，c=^（其中e为自然常数），

则。、b、。的大小关系为（）

A.a<c<bB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

题型十：构造型3：指数线性构造

指I点I迷I津

指数线性型构造特征：

多以e为底数，构造e'+kx+b等形式函数，求导，判断单调性比大小

1.（2022•全国•模拟预测）已知q=2021e焉，z?=2022>则（）

A.a>b+lB.b-1<a<bC.b<a<b+\D.a<b—l

2.（2022下•四川绵阳•高三四川省绵阳南山中学校考）设。=加，b=e0,c=&^，贝（J（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

。51

3.（2023•河南平顶山•校联考模拟预测）已知。=e-lg2-lg5,b=^--,c=3--ln9,则下列不等式成立

42

的是（）

A.b>c>aB.c>a>bC.c>b>aD.b>a>c

1in1

4.已知a=——,b=e100,c=ln----，则b,c的大小关系为()

101100

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

题型十一：构造型4：对数线性构造

指I点I迷I津

对数线性型构造特征：

多以e为底数，构造lnx+kx+b等形式函数，求导，判断单调性比大小

nhc

1.（2022上•江苏镇江二校考期中）已知。一2=In—,b—3=In—,c—4=In—,其中aw2,b*3,cw4,

234

则（）

A.c<b<aB.c<a<b

C.a<b<cD.a<c<b

2.（2022・全国•高三专题练习）已知。=产_24涉=4VTT-4,c=21nLl,则（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

3.（2022上•河南•高三校联考开学考试）设a=0.01,6=lnl.01,c=log30.01,则（）

A.a<c<bB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

3

4.（2022下・贵州贵阳•高三校联考）设々=』*b=~,c=ln3,则〃，b,。的大小关系是（）

e

A.b>a>cB.c>a>bC.a>c>bD.a>b>c

题型十二：构造型5：三角函数线性构造

;指I点I迷I津

：三角线性型构造特征：

:构造sinx+kx+b或cosx+kx+等形式函数，求导，判断单调性比大小

log2022

1.（2022上•浙江•高三绍兴鲁迅中学校联考阶段练习）设〃=0.98+sin0.01,b=^x,。=产喘K，则

log20222023

（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

2.（2022・四川内江•统考二模）设。=5，=In（1+sin0.02）,c=21n|^,则a,b,c的大小关系正确的是

（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

3.（2021上•江苏南京•高三校联考阶段练习）已知〃=sin"6。=,，则（）

33%

A.c<b<aB.a<b<cC.a<c<bD.c<a<b

4.(2023下•湖南株洲•高三株洲二中校考开学考试)a=l+sin0.1,b=e°Lc=三，则〃也。的大小关系为

16

().

A.b>c>aB.b>a>c

C.a>b>cD.c>b>a

题型十三：构造型6：综合构造

指I点I迷I津

在构造函数时首先把要比较的值变形为含有一个共同的数值，将这个数值换成变量X就有了函数的形式，如

1QA1丫

在第一题中。=1吐01=111(1+001),0=而=不而，将0.01视为X,将a,c视为函数y=ln(l+x)与尸卷的

函数值，从而只需比较y=ln(l+x)与丁=忘这两个函数大小关系即可.

y=l-cosx^e相对是先慢后快，y=log2(x+l)相对是先快后慢，解题过程中可先画出函数在区间

0，』上的图象，根据图象来确定大小关系.

1.(2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测)设a=lnl.0Lb=sin0.01,看，则。，。，c大小关系()

A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.a<c<b

2.（2023•山东•模拟预测）已知〃=e°°3-1,b=lnl.03,c=tan0.03,其中e=2.71828…为自然对数的底数,

则。，b,。的大小关系是（）

A.c>a>bB.a>c>b

C.b>c>aD.a>b>c

3.（21-22高三上,江西景德镇,阶段练习）已知a=21n3—4,b=21n——V1T—1,c=4In2—V13—1,贝!J",b,

c的大小关系是（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.b<c<a

4.（23-24高三・山东•阶段练习）4知实数a满足52°。+122°。=132°。,Z?=e01-l,c=tan0.1,则。，b,c的

大小关系是（）

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>c>aD.b>a>c

题型十四：三角函数型构造比大小

指I点I迷I津

三角函数与三角函数值比较大小：

1.借助于三角函数的周期性，对称性，诱导公式等，转化为一个单调区间内比大小

71

2.借助一些三角函数不等式进行放缩转化：如当天e（o,5）时，SUTX<X

3.构造含有三角函数式的函数，求导后借助单调性比大小

44343

1.已知。=sin—,6=—sin—=—cos—,则的大小关系为（）

53434

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<c

2.（安徽省安庆市第一中学2022届高三热身考试数学试题）已知函数/（x）=sin（cosx）-x与函数

g(x)=cos(sinx)—%在区间(0《)都为减函数，设石,々，工3£(。,万)，且cos%=%,sin(cosx2)=x2,

cos(sinx3)=x3,则&%2，工3的大小关系是

A.xx<x2<x3B.x3<xx<x2C.x2<xx<x3D.x2<x3<x4

3.(2023•全国•高三专题练习)已知二£［；,■!■),«=(cos6r)sm<z,Z?=(sin6r)cosa,c=(cosa)",则()

A.b>c>aB.c>b>aC.c>a>bD.a>b>c

4.已知Q=2sin—,Z?=3sin-,c=3cosL则c的大小关系是.

233

题型十五：幕指对与三角函数混合型

1.（广东省中山市中山纪念中学2021-2022学年高三上学期第二次段考数学试题）在必修第一册教材“821

几个函数模型的比较”一节的例2中，我们得到如下结论：当0<x<2或x>4时，2工>/；当2Vx<4时，

X2-cos—

2<xf请比较Q=log43,b=sin—,3的大小关系

3c=2

A.a>b>cB.b>a>cc.c>a>bD.b>c>a

c斤0.3,0.9

2.已知a=—,b=F,c=sin0.1,贝!J。,b,C的大小关系正确的是（.)

兀71

A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.b>a>c

3.若0<%苫,则下列命题中正确的是（)

3,3・42.4

A.sinx<—xB.smx>—xc.smx<-xD.sinx>—

71717171

4.（福建省龙岩第一中学2023届高三上学期第二次月考数学试题）已知a=sin2/=ln2,c=2-，则°，乩。

的大小关系是（）

A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a

题型十六：泰勒展开

指I点I迷I津

常见函数的泰勒展开式

由泰勒展开式，我们可以得到几个常用的初等函数在久=0处的泰勒展开式：

(1)士=1+%+%2+—F%"+o(xn);

⑵(1+%)-=l+m%+誓2/+…+皿时D・产f+i)%九+o(%九)；

y2rn

(3)ex=1+%+—H----1--+o(xn);

23n+1

(4)ln(l+x)=x-yv+y1r---+(—l)n篇Y+o(xn+1);

y3丫5y.271+1

(5)sinx=久一了+不一…++o(/n+2)；

v2"4"6v2n-

(6)cosx=1-----1--------1--I-(—l)n----1-o(x2n+1).

''2!4!6!kJ(2n)!、)

3111

1.(2022•全国•统考［Wj考真题)已知。=—,b=cos—,c=4sin—,则()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

4

2.(22-23高三下•广东广州•阶段练习)a=ln2fb=sin-fc=e",则。，b,c的大小关系是()

A.c>b>aB.b>c>a

C.b>a>cD.a>b>c

3.（2024高三•河南•专题练习）设函数〃x）=x+lnx,g（x）=xlnx-l,人⑴=1一工+二+土在（0,+“）上的

x23

零点分别为。，瓦。，则4。的大小顺序为（）

A.c<b<aB.b>c>a

C.c>a>bD.b>a>c

4.（23-24高三•山东临沂•模拟）英国数学家泰勒发现了如下公式：sinx=x-—+

3!5!7!

r2%4611

cosx=1-----+----------+…，其中n!=lx2x3x4xLx〃.已知〃=sin-,6=cos—,则下列说法不正确的是()

2!4!6!44

A.a<bB.a>b

C.a=bD.无法判断二者大小

题型十七：麦克劳林展开

指I点I迷I津

麦克劳林展开式常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下:

2n

ex=l+x+—+•••+—+,

2!n\v7

.XX/\n^2n+l

sinx=x------1------,••+(-I1)+O(”)

3!5!v7(2n+l)!

62n/

Ar/八〃人r(.，2〃

cosx=l-—+—-——+・・・+(—l)--r+o汇

2!4!6!v(2〃)！I

23

rrn+\

h-,n+l

ln(l+x)=x-------1---------------(l)-------

v723v7n+lV

----=I+X+f+...+%“+O(%”)

n(n-l)

(l+x)〃=l+nx+

2!

兀］_

I.（22-23高三上•江苏无锡•期末）设。=二，Z?=cosl,c=sin-,这三个数的大小关系为（）

63

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

0309

2.已知〃=，，b=F，c=sinO.l,则〃，b,c的大小关系正确的是（）

兀71

A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.b>a>c

iini

3.已知〃=——,b=e100,c=ln，则a,b,c的大小关系为()

101100

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

参考答案与试题解析

专题07比大小归类

更盘点•置击看等

目录

题型一：基础函数：指数函数性质..................................................................1

题型二：基础函数：对数函数性质..................................................................2

题型三：嘉指对函数性质..........................................................................3

题型四：借助0、1分界..........................................................................4

题型五：指数型同构法............................................................................5

题型六：借助常数分界............................................................................5

题型七：放缩型..................................................................................6

题型八：构造型1：对数毫型......................................................................7

题型九：构造型2：指数幕型......................................................................8

题型十：构造型3：指数线性构造..................................................................9

题型十一：构造型4：对数线性构造................................................................9

题型十二：构造型5：三角函数线性构造...........................................................10

题型十三：构造型6：综合构造...................................................................11

题型十四：三角函数型构造比大小.................................................................12

题型十五：累指对与三角函数混合型...............................................................12

题型十六：泰勒展开.............................................................................13

题型十七：麦克劳林展开.........................................................................14

^突围・檐淮蝗分

题型一：基础函数：指数函数性质

指I点I迷I津

指数函数比