高中数学 1.2.3 充要条件课时作业 北师大版选修2-1

2.3充要条件课时目标1．结合实例，理解充要条件的意义.2.会判断(证明)某些命题的条件关系.3.会利用充要条件求一些字母的范围，进一步理解数学概念．1．如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作__________．这时p是q的____________条件，简称________条件，实际上p与q互为________条件．如果pq且qp，则p是q的____________________条件．2．我们常用“当且仅当”表达充要条件．命题p和命题q互为充要条件，称它们是两个相互等价的命题．一、选择题1．“x>0”是“x≠0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．“m<eq\f(1,4)”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的()A．充分非必要条件B．充分必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件4．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件题号123456答案二、填空题7．用符号“⇒”或“”填空.(1)a>b________ac2>bc2；(2)a2c≠0________c8．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是________．9．函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．(填序号)三、解答题10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y.(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．11.设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.能力提升12．已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|x2－4x＋3<0}，若x∈P是x∈Q的必要条件，求实数a的取值范围．13．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为mineq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x1，x2，…，xn)).已知△ABC的三边边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l＝maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))·mineq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))，则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的()A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件1．判断条件p和结论q之间的关系，可以先尝试确定p、q间的推出关系．2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立．“A的充要条件为B”的命题的证明：A⇒B证明了必要性；B⇒A证明了充分性．“A是B的充要条件”的命题的证明：A⇒B证明了充分性；B⇒A证明了必要性．2．3充要条件知识梳理1．pq充分必要充要充要既不充分又不必要作业设计1．A[对于“x>0”“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．]2．B[因为NM.所以“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件．]3．A[若一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解，则Δ＝1－4m≥0，因此m≤eq\f(1,4).故m<eq\f(1,4)是方程x2＋x＋m＝0有实数解的充分非必要条件．]4．A[把k＝1代入x－y＋k＝0，推得“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”；但“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”不一定推得“k＝1”．故“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分而不必要条件．]5．A[l⊥αl⊥m且l⊥n，而m，n是平面α内两条直线，并不一定相交，所以l⊥m且l⊥n不能得到l⊥α.]6．B[当a<0时，由韦达定理知x1x2＝eq\f(1,a)<0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符合题意；当ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根时，a可以为0，因为当a＝0时，该方程仅有一根为－eq\f(1,2)，所以a不一定小于0.由上述推理可知，“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．]7．(1)(2)8．(2，＋∞)解析不等式变形为(x＋1)(x＋a)<0，因当－2<x<－1时不等式成立，所以不等式的解为－a<x<－1.由题意有(－2，－1)(－a，－1)，∴－2>－a，即a>2.9．b≥－2解析由二次函数的图象可知当－eq\f(b,2a)≤1，即b≥－2a时，函数y＝ax2＋bx＋c在[1，＋∞)上单调递增．10．解(1)∵|x|＝|y|x＝y，但x＝y|x|＝|y|，∴p是q的必要条件，但不是充分条件．(2)△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形．△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形．∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．(3)四边形的对角线互相平分四边形是矩形．四边形是矩形四边形的对角线互相平分．∴p是q的必要条件，但不是充分条件．11．证明①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，则|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．当xy>0时，即x>0，y>0，或x<0，y<0，又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立．当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y，∴等式成立．总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x||y|，∴|xy|＝xy，∴xy≥0.综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．12．解由题意知，Q＝{x|1<x<3}，QP，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－4≤1,a＋4≥3))，解得－1≤a≤5.∴实数a的取值范围是[－1,5]．13．A[当△ABC是等边三角形时，a＝b＝c，∴l＝maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))·mineq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))＝1×1＝1.∴“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件．∵a≤b≤c，∴maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)，\f(b,c)，\f(c,a)))＝eq\f(c,a).又∵l＝1，∴