人教版八年级数学上册重难考点专题03乘法公式(知识串讲+11大考点)特训(原卷版+解析)

专题03乘法公式考点类型知识串讲（一）完全平方公式完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a－b）2＝a2－2ab＋b2【扩展】扩展一(公式变化)：++2ab扩展二：+=2(+)-=4ab扩展三：++=-2ab-2ac-2bc（二）平方差公式平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2【运用平方差公式注意事项】①对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式．②公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误．考点训练考点1：平方差公式——图形面积探究公式典例1：（2023春·广东深圳·七年级统考期末）下列图形中，能借助其面积“形象”解释平方差公式的是（

）A． B．C． D．【变式1】（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分剪成两个直角梯形后再拼成一个等腰梯形（如图②），通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（

）

A．aa+b=aC．a+b2=a【变式2】如图1，将边长为a的正方形纸片，剪去一个边长为b的小正方形纸片，再沿着图1中的虚线剪开，把剪成的两部分（1）和（2）拼成如图2的平行四边形，这两个图能解释下列哪个等式（

）

A．a−b2=a2−2ab+C．a2+b2【变式3】（2023春·山东东营·七年级东营市实验中学校考期中）如图，有两张长方形纸片A,B，它们的长分别是a和a−3，宽分别是a−3,3(a>6)，将这两张纸片按照如图所示的方式进行拼图，则这一拼图过程能反映的等式是（

）

A．(a−3)2=aC．aa−3=a考点2：平方差公式——识别典例2：（2023春·江苏徐州·七年级统考阶段练习）下列乘法中，不能运用平方差进行运算的是（

）A．3x+7y3x−7y B．C．−0.2x−0.3−0.2x+0.3 D．【变式1】（2022秋·天津滨海新·八年级统考期末）在下列多项式的乘法中，不可以用平方差公式计算的是（

）A．(x+y)(x−y) B．(−x+y)(x+y)C．(−x−y)(−x+y) D．(x−y)(−x+y)【变式2】（2022秋·四川凉山·八年级校考阶段练习）下列多项式乘法中，不能进行平方差计算的是（）A．x+y−x−y B．C．−3x−y−y+3x D．【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）(3x+4y)(3x-4y)的结果是哪两个数的平方差（

）A．a，b B．x，y C．4y，3x D．3x，4y考点3：平方差公式——计算典例3：在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（

）A．2a+2b3a−2b B．C．−m+nm−n D．【变式1】（2023春·湖南怀化·七年级统考期末）计算(a−2b)(−a−2b)等于（

）A．a2−4ab−4b2B．−a2【变式2】（2023春·江苏盐城·七年级滨海县第一初级中学校联考期中）如果有理数a、b同时满足(a2+b2A．±5 B．5 C．−5D．以上答案都不对【变式3】下列计算错误的是（

）A．x+yx−y=xC．xx−2y=x考点4：平方差公式——巧用公式计算典例4：（2023春·江苏镇江·七年级丹阳市第八中学校考期末）用简便方法计算：14×6.16A．3.36 B．4.26 C．5.16 D．5.06【变式1】（2021·河北·统考三模）用简便方法计算，将2019×2021变形正确的是（

）A．2019×2021=20202−C．2019×2021=20202+【变式2】（2023春·七年级课时练习）用简便方法计算107×93时，变形正确的是（

）A．1002−7 C．1002+2×100×7+7【变式3】（2021·河北·九年级专题练习）用简便方法计算106×94时，变形正确的是（

）．A．1002−6 C．1002+2×100+6 考点5：完全平方公式——图形面积探究公式典例5：（2022秋·江苏苏州·八年级苏州高新区实验初级中学校考期中）如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边x>y，下列四个说法：①x2+y2=49，②x−y=2，③2xy+4=49A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④【变式1】（2023春·山东淄博·八年级统考期末）我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法．以方程x2+2x−35=0，即xx+2=35为例加以说明，三国时期的数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是x+x+22，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，据此易得x=5．小刚用此方法解关于x的方程x2+mx−n=0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为81

A．x=7 B．x=5 C．x=3 D．x=2【变式2】（2023春·河北承德·七年级统考期末）我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释一些代数恒等式．例如图1可以用来解释a+b2−a−b

A．a−b2=aC．a+b2=a【变式3】（2023春·河南驻马店·七年级统考期末）如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，小颖将阴影部分的面积用两种不同的方法表示，能验证的等式是（

）

A．a−b2=aC．a+ba−b=a考点6：完全平方公式——识别典例6：（2022春·四川雅安·七年级雅安中学校考阶段练习）下列各式，是完全平方公式的有（

）①a2-a+14②x2+xy+y2

③116m2+m+9④4a2-2ab+b2⑤14a2b2-2ab+4

⑥m4-2A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式1】（2022秋·全国·八年级专题练习）下列乘法中，能运用完全平方公式进行运算的是（

）A．(x+a)(x-a) B．(b+m)(m-b)C．(-x-b)(x-b) D．(a+b)(-a-b)【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（）A．（3a﹣2b）（﹣2b﹣3a） B．（3a+2b）（﹣3a﹣2b）C．（3a+2b）（﹣2a﹣3b） D．（3a﹣2b）（3a+2b）【变式3】（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）运用完全平方公式a+b2=a2+2ab+b2A．13x B．23x C．考点7：完全平方公式——计算典例7：下列运算错误的是（

）A．x+2x−2=xC．−x−2x+2=−x【变式1】（2023春·浙江温州·七年级校联考期中）运用乘法公式计算(2x+5)(2x−5)正确的是（A．4x2−25 B．2x2−25【变式2】若4x2−20x+______=A．52、−5 B．52、+5 C．102、+10 D．【变式3】（2023春·广东深圳·七年级统考期末）一个圆的半径为rcm，增加3cm后，这个圆的面积增加了（

）A．6π2r+9π2 B．6πr+9π 考点8：完全平方公式——构造完全平方典例8：（2023春·浙江金华·七年级校考期中）如果x2−2mx+9是关于x的完全平方式，则m的值为（A．6 B．±6 C．±3 D．3【变式1】（2023春·山东枣庄·七年级校考期末）若x2−2m−3A．3 B．−5 C．7 D．7或−1【变式2】（2023春·四川雅安·七年级校考期中）若x2+2(m−1)x+9是完全平方式，则A．±6 B．−2或4 C．−2 D．4【变式3】（2023春·浙江温州·七年级苍南县金乡镇第二中学校联考阶段练习）若关于x的代数式x2−kx+36是一个完全平方式，则A．18 B．−12 C．±6 D．±12考点9：完全平方公式——变形式求值典例9：（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校联考期末）已知x+y=5，xy=6，则x2+yA．1 B．13 C．17 D．25【变式1】（2023春·浙江杭州·七年级校考期中）若x满足x−20222023−x=0.25，则A．0.25 B．0.5 C．1 D．−0.25【变式2】阅读材料：数学课上，杨老师在求代数式x2−4x+5的最小值时，利用公式a2±2ab+b2=a±b2，对式子作这样变形：x2+4x+5=x2+4x+4+1=x+2A．−9 B．−5 C．−3 D．4【变式3】（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）已知x+y=5且xy=6，则x−y2A．25 B．12 C．5 D．1考点10：乘法公式在几何中的应用典例10：（2023春·山东济南·七年级统考期中）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（

）

A．3 B．19 C．21 D．28【变式1】（2023春·广东深圳·七年级统考期末）如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG的边长分别为a，b，如果a−b=2，ab=4，那么阴影部分的面积为（）

A．3 B．4 C．5 D．6【变式2】（2023春·浙江宁波·七年级校联考期末）如图所示，长方形中放入5张长为x，宽为y的相同的小长方形，其中A，B，C三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为38，大长方形的周长为30，则一张小长方形的面积为（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【变式3】（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）如图，两个正方形的泳池，面积分别是S1和S2，两个泳池的面积之和S1+S2=16，点BA．5 B．4 C．8 D．10考点11：乘法公式与化简求值典例11：（2023春·广东深圳·七年级统考期末）先化简，再代入求值：3(a−b)2+(a−b)(a+b)−(2a+b)2【变式1】（2023春·四川达州·七年级校联考期中）已知a，b，c为△ABC的三边长，且a，b，c都是整数．(1)化简：a−b+c+(2)若a2+b【变式2】先化简，再计算：y−x(x+y)2+【变式3】（2023·湖南长沙·湖南师大附中博才实验中学校考模拟预测）先化简，再求值：(a+2b)2+a+2ba−2b同步过关一、选择题1．（2023·云南·一模）若m2−n2=16A．−12 B．12 2．将多项式x2+4加上一个整式，使它成为完全平方式，则下列不满足条件的整式是（A．−4x B．4x C．116x43．（2023·湖北恩施·校考二模）下列计算正确的是（）A．a4+a5＝a9 B．（2a2b3）2＝4a4b6C．﹣2a（a+3）＝﹣2a2+6a D．（a+2b）2＝4a2﹣b24．（2023春·山东济宁·九年级校考阶段练习）下列运算正确的是（

）A．a3⋅aC．(a+3)⋅(a−3)=a2−6a−95．（2022春·福建漳州·七年级漳州三中校考期中）下列运算正确的是（

）A．3a2−C．(−3ab2)6．（2023·八年级单元测试）2+1×22A．24n−1 B．24n+1 C．7．（2022春·山东烟台·六年级统考期中）下列整式乘法中，能运用平方差公式进行运算的是（

）A．(2a+b)(2b−a)B．(−a−b)(a+b)C．(a−b)(b−a) D．(a+b)(b−a)8．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）运用乘法公式计算(4+x)(x−4)的结果是（

）A．x2−16 B．16−x2 C．9．（2023春·辽宁朝阳·七年级校考期中）已知a+b=3，ab=2，则a2+bA．5 B．7 C．9 D．1310．（2023·安徽·九年级统考学业考试）已知P=715m−1，Q=m2−815mA．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．P≤Q二、填空题11．已知a+b=5，ab=-2，那么a2+b2的值为．12．（2023春·七年级课时练习）用简便方法计算：503×497=；1.02×0.98=13．（2023春·湖北·八年级阶段练习）计算：（3﹣2）2018（3+2）2019=．14．（2023春·陕西西安·七年级统考阶段练习）x2+axy+y215．（2022秋·上海·七年级专题练习）填空：已知多项式x2+16．（2023春·七年级单元测试）若把代数式x2−2x−5化为(x−m)三、解答题17．（2023·浙江金华·校联考模拟预测）先化简，再求值：m(m−4)−(m−4)2，其中（1）求xy的值；（2）求x+y2（3）设y=kxx≠0，是否存在实数k，使得(3x−y)2−(x−2y)(x+2y)+6xy化简为2819．（2023春·吉林长春·九年级东北师大附中校考阶段练习）先化简，再求值：(3x+2y)2−(3x+y)(3x−y)，其中x=1，20．（2023·四川达州·七年级统考期末）如图①是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀将其平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图②）自主探索：（1）仔细观察图形，完成下列问题①图②中的阴影部分的面积为_____；②观察图②，请你写出（a+b）2、（a-b）2、ab之间的等量关系是_____；知识运用：（2）若x-y=5，xy=114，根据（1）中的结论，求（x+y）2知识延伸（3）根据你探索发现的结论，完成下列问题：设A=x−2y−34，B=x+2y计算（A-B）2-（A+B）2的结果．21．（2023春·浙江·七年级专题练习）先化简，再求值：当x−2+(y+1)222．（1）你能求出(a−1)(a99+a98+a97+⋅⋅⋅+（2）利用（1）的结论，计算：2201923．（2022秋·四川绵阳·八年级统考期中）发现：任意三个连续的整数中，最大数与最小数的平方差是4的倍数．验证：(1)(−5)2(2)设三个连续的整数中间的数为n，计算最大数与最小数的平方差，并说明它是4的倍数；(3)证明：任意三个连续的奇数中，最大数与最小数的平方差是8的倍数．24．比较下列算式结果的大小．（在横线上填“>”“<”或“=”）．（1）42+32_____2×4×3；−2（2）写出能反映这种规律的一般结论；（3）用所学知识说明所得结论的正确性．25．如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数（1、2、1）恰好对应着（a+b）2的展开式a2+2ab+b2的系数；第四行的四个数恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3的系数，根据数表中前五行的数字所反映的规律，回答：（1）图中第六行括号里的数字分别是；（请按从左到右的顺序填写）（2）（a+b）4＝；（3）利用上面的规律计算求值：（23）4﹣4×（23）3+6×（23）2（4）若（2x﹣1）2018＝a1x2018+a2x2017+a3x2016+……+a2017x2+a2018x+a2019，求a1+a2+a3+……+a2017+a2018的值．

专题03乘法公式考点类型知识串讲（一）完全平方公式完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a－b）2＝a2－2ab＋b2【扩展】扩展一(公式变化)：++2ab扩展二：+=2(+)-=4ab扩展三：++=-2ab-2ac-2bc（二）平方差公式平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2【运用平方差公式注意事项】①对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式．②公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误．考点训练考点1：平方差公式——图形面积探究公式典例1：（2023春·广东深圳·七年级统考期末）下列图形中，能借助其面积“形象”解释平方差公式的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】把各图要求的面积表示出来，从而可判断．【详解】解：A、(x+p)(x+q)=xB、a2C、a2+b(a−b)=(a−b)(a+b)+ab，整理得：D、(a−b)2故选：C．【点睛】本题主要考查平方差公式的几何背景，解答的关键是对平方差公式的理解．【变式1】（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分剪成两个直角梯形后再拼成一个等腰梯形（如图②），通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（

）

A．aa+b=aC．a+b2=a【答案】D【分析】根据图中边的关系，可求出两图阴影的面积，而两图面积相等，从而推导出等式．【详解】左阴影的面积=a2−两面积相等所以得到等式a2故选：D．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是求出两图的面积，而两图面积相等，从而推导出了平方差的公式．【变式2】如图1，将边长为a的正方形纸片，剪去一个边长为b的小正方形纸片，再沿着图1中的虚线剪开，把剪成的两部分（1）和（2）拼成如图2的平行四边形，这两个图能解释下列哪个等式（

）

A．a−b2=a2−2ab+C．a2+b2【答案】B【分析】根据图1和图2分别用代数式分别表示（1）（2）两部分的面积和，再根据拼图前后面积之间的关系可得结论．【详解】解：图1中（1）（2）两部分的面积和可以看作两个正方形的面积差，即a2图2是由（1）（2）两部分拼成的底为a+b，高为a−b的平行四边形，因此面积为a+ba−b因此有a2故选：B．【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示图1、图2的面积是解决问题的关键．【变式3】（2023春·山东东营·七年级东营市实验中学校考期中）如图，有两张长方形纸片A,B，它们的长分别是a和a−3，宽分别是a−3,3(a>6)，将这两张纸片按照如图所示的方式进行拼图，则这一拼图过程能反映的等式是（

）

A．(a−3)2=aC．aa−3=a【答案】D【分析】根据题意可知图1长方形的面积为a+3a−3，再根据题意可知图2的面积为a2−【详解】解：∵两张长方形纸片A,B，它们的长分别是a和a−3，宽分别是a−3,3(a>6)，∴图1的长方形的长为a+3，宽为a−3，∴长方形的面积为a+3a−3∵图2的面积是一个边长为a的正方形，剪去一个边长为3的正方形，∴图2的面积为a2∴a+3a−3即a+3a−3故选D．【点睛】本题考查了平方差公式的几何意义，掌握平方差公式a+ba−b考点2：平方差公式——识别典例2：（2023春·江苏徐州·七年级统考阶段练习）下列乘法中，不能运用平方差进行运算的是（

）A．3x+7y3x−7y B．C．−0.2x−0.3−0.2x+0.3 D．【答案】B【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数解答．【详解】解：A、C、D选项符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；B选项两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算．故选：B．【点睛】本题主要考查了平方差公式．解题的关键是掌握平方差公式的结构．注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同的项和互为相反数的项必须同时具有．【变式1】（2022秋·天津滨海新·八年级统考期末）在下列多项式的乘法中，不可以用平方差公式计算的是（

）A．(x+y)(x−y) B．(−x+y)(x+y)C．(−x−y)(−x+y) D．(x−y)(−x+y)【答案】D【分析】根据平方差公式是两个数的和与这两个数的差相乘等于这两个数的平方差，由此进行判断即可．【详解】A、B、C选项都是两个数的和与这两个数的差相乘，可以使用平方差公式，D选项变形后为−(x−y)故选：D．【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．【变式2】（2022秋·四川凉山·八年级校考阶段练习）下列多项式乘法中，不能进行平方差计算的是（）A．x+y−x−y B．C．−3x−y−y+3x D．【答案】A【分析】利用平方差公式逐一判断即可．【详解】解：A选项结果为−x+y其他选项都可以用平方差公式，不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式a+ba−b【变式3】（2023春·全国·七年级专题练习）(3x+4y)(3x-4y)的结果是哪两个数的平方差（

）A．a，b B．x，y C．4y，3x D．3x，4y【答案】D【分析】利用平方差公式的结构判断即可．【详解】解：(3x+4y)(3x−4y)=故选D．【点睛】本题考查了平方差公式，做题关键是熟练掌握平方差公式．考点3：平方差公式——计算典例3：在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（

）A．2a+2b3a−2b B．C．−m+nm−n D．【答案】D【分析】利用平方差公式的特点判断即可．【详解】解：A：两项不相同，不能运用平方差公式，不符合题意；B：两项符号都相反，不能运用平方差公式，不符合题意；C：两项符号都相反，不能运用平方差公式，不符合题意；D：12故选D．【点睛】此题考查了平方差公式：a+ba−b【变式1】（2023春·湖南怀化·七年级统考期末）计算(a−2b)(−a−2b)等于（

）A．a2−4ab−4b2B．−a2【答案】C【分析】把−a−2b变形后再利用平方差公式求解即可．【详解】解：原式=−=−=4故选：C．【点睛】本题考查多项式乘法的应用，熟练掌握平方差公式及符号的变化是解题关键．【变式2】（2023春·江苏盐城·七年级滨海县第一初级中学校联考期中）如果有理数a、b同时满足(a2+b2A．±5 B．5 C．−5D．以上答案都不对【答案】B【分析】将a2【详解】解：∵(∴a∴a2故选：B．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．【变式3】下列计算错误的是（

）A．x+yx−y=xC．xx−2y=x【答案】D【分析】利用平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式进行解答即可．【详解】解：A、x+yx−yB、x−42C、xx−2yD、x+y2故选：D．【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式，熟练掌握公式及运算法则是解答本题的关键．考点4：平方差公式——巧用公式计算典例4：（2023春·江苏镇江·七年级丹阳市第八中学校考期末）用简便方法计算：14×6.16A．3.36 B．4.26 C．5.16 D．5.06【答案】C【分析】利用积的乘方的逆用和平方差公式进行计算，即可得到答案．【详解】解：1=====5.16，故选C．【点睛】本题考查了积的乘方的逆用和平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．【变式1】（2021·河北·统考三模）用简便方法计算，将2019×2021变形正确的是（

）A．2019×2021=20202−C．2019×2021=20202+【答案】A【分析】根据平方差公式计算即可得出答案.【详解】2019×2021=【点睛】本题考查的是平方差公式，需要熟练掌握平方差公式的特征.【变式2】（2023春·七年级课时练习）用简便方法计算107×93时，变形正确的是（

）A．1002−7 C．1002+2×100×7+7【答案】B【分析】利用平方差公式进行简便运算．【详解】解：107×93=(100+7)×(100−7)=100故选：B．【点睛】本题考查了用乘法公式简便运算，解题的关键是利用平方差公式对数字进行变形，凑出平方差公式的结构形式．【变式3】（2021·河北·九年级专题练习）用简便方法计算106×94时，变形正确的是（

）．A．1002−6 C．1002+2×100+6 【答案】B【分析】观察算式中数的特点：106×94=(100+6)(100−6)，符合平方差公式，利用平方差公式变形计算即可．【详解】106×94=(100+6)(100−6)=100故选：B．【点睛】本题考查平方差公式，熟悉平方差公式的结构特点，会利用平方差公式简便运算是解答的关键．考点5：完全平方公式——图形面积探究公式典例5：（2022秋·江苏苏州·八年级苏州高新区实验初级中学校考期中）如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边x>y，下列四个说法：①x2+y2=49，②x−y=2，③2xy+4=49A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④【答案】B【分析】利用大正方形面积和小正方形面积可得出大正方形和小正方形的边长，利用勾股定理可判断①，利用线段和差可判断②，利用大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和可判断③，利用①③可判断④．【详解】解：∵大正方形面积为49，∴大正方形边长为7，在直角三角形中，x2故说法①正确；∵小正方形面积为4，∴小正方形边长为2，∴x−y=2，故说法②正确；∵大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和，∴4×1∴2xy+4=49，故说法③正确；∴2xy=45，∵x2∴x2∴x+y2解得：x+y=94或x+y=−∴x+y=94∴说法正确的是①②③．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理的应用，正方形的面积，等积变换，完全平方公式的应用．解题的关键是利用大正方形面积和小正方形面积得出大正方形和小正方形的边长．【变式1】（2023春·山东淄博·八年级统考期末）我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法．以方程x2+2x−35=0，即xx+2=35为例加以说明，三国时期的数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是x+x+22，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，据此易得x=5．小刚用此方法解关于x的方程x2+mx−n=0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为81

A．x=7 B．x=5 C．x=3 D．x=2【答案】D【分析】由x2+mx−n=0可得x(x+m)=n，画出方程x2+mx−n=0的拼图过程，由面积之间的关系得【详解】解：如图，

由题意得：m2=25，解得：m=5，n=14.∴x+x+m2∴x=2，x=−7（舍去）故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键．【变式2】（2023春·河北承德·七年级统考期末）我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释一些代数恒等式．例如图1可以用来解释a+b2−a−b

A．a−b2=aC．a+b2=a【答案】A【分析】根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积再加上右上角小正方形的面积列式整理即可得解．【详解】解：阴影部分的面积：a−b2还可以表示为：a2∴此等式是a−b2故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，利用两种方法表示出阴影部分的面积是解题的关键．【变式3】（2023春·河南驻马店·七年级统考期末）如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，小颖将阴影部分的面积用两种不同的方法表示，能验证的等式是（

）

A．a−b2=aC．a+ba−b=a【答案】A【分析】根据题意得阴影部分的另一条为(a−b)，则阴影部分的面积为：(a−b)(a−b)=(a−b)【详解】解：根据题意得，阴影部分的另一条为(a−b)，则阴影部分的面积为：(a−b)(a−b)=(a−b)故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式在几何中的应用，解题的关键是．考点6：完全平方公式——识别典例6：（2022春·四川雅安·七年级雅安中学校考阶段练习）下列各式，是完全平方公式的有（

）①a2-a+14②x2+xy+y2

③116m2+m+9④4a2-2ab+b2⑤14a2b2-2ab+4

⑥m4-2A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【分析】根据完全平方公式：a±b2【详解】解：①a2②x2+xy+y2不是完全平方公式；③116m2+m+④4a2-2ab+b2不是完全平方公式；⑤14⑥m4-2mn+n4不是完全平方公式；∴完全平方公式一共有2个．故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．【变式1】（2022秋·全国·八年级专题练习）下列乘法中，能运用完全平方公式进行运算的是（

）A．(x+a)(x-a) B．(b+m)(m-b)C．(-x-b)(x-b) D．(a+b)(-a-b)【答案】D【分析】根据完全平方公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中两项完全相同．【详解】解：A、B、C、符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；D，后边提取负号得：-（a+b）（a+b），故能运用完全平方公式进行运算．故选：D．【点睛】本题考查完全平方公式的结构，解题的关键是注意两个二项式中两项完全相．【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（）A．（3a﹣2b）（﹣2b﹣3a） B．（3a+2b）（﹣3a﹣2b）C．（3a+2b）（﹣2a﹣3b） D．（3a﹣2b）（3a+2b）【答案】B【分析】先把各式变形，然后根据完全平方公式对各选项进行判断．【详解】解：A、原式=-（3a-2b）（3a+2b）=-（9a2-4b2）=-9a2+4b2，所以A选项不符合；B、原式=-（3a+2b）2=-9a2-12ab-4b2，所以B选项符合；C、原式=-（3a+2b）（2a+3b），不能使用完全平方公式，所以C选项不符合；D、原式=9a2-4b2，所以D选项不符合．故选：B．【点睛】本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．也考查了平方差公式．【变式3】（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）运用完全平方公式a+b2=a2+2ab+b2A．13x B．23x C．【答案】B【分析】利用完全平方公式计算x+1【详解】(x+13)2=故选：B．【点睛】本题考查了完全平方公式，属于基础题，熟记公式a+b2考点7：完全平方公式——计算典例7：下列运算错误的是（

）A．x+2x−2=xC．−x−2x+2=−x【答案】D【分析】根据平方差公式、完全平方公式逐项判断即可．【详解】解：A、x+2x−2B、−x−2−x+2C、−x−2x+2D、−x+2故选：D.【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，灵活运用平方差公式和完全平方公式是解答本题的关键．【变式1】（2023春·浙江温州·七年级校联考期中）运用乘法公式计算(2x+5)(2x−5)正确的是（A．4x2−25 B．2x2−25【答案】A【分析】运用平方差公式计算时，找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．【详解】解：(＝4x故选：A．【点睛】本题主要考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．【变式2】若4x2−20x+______=A．52、−5 B．52、+5 C．102、+10 D．【答案】A【分析】根据完全平方公式解答即可.【详解】解：4x故选：A.【点睛】本题考查了完全平方公式，熟知完全平方公式的结构特征是解题的关键.【变式3】（2023春·广东深圳·七年级统考期末）一个圆的半径为rcm，增加3cm后，这个圆的面积增加了（

）A．6π2r+9π2 B．6πr+9π 【答案】B【分析】根据圆的面积公式可以用相应的代数式表示出新圆的面积比原来圆的面积增加了多少；【详解】由题意可得：新圆的面积比原来圆的面积增加了：π(r+3)故选B【点睛】本题考查列代数式,解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．考点8：完全平方公式——构造完全平方典例8：（2023春·浙江金华·七年级校考期中）如果x2−2mx+9是关于x的完全平方式，则m的值为（A．6 B．±6 C．±3 D．3【答案】C【分析】完全平方式a2±2ab+b2的特点是首平方，尾平方，首尾数积的两倍在中央，这里首末两项是【详解】解：∵x2−2mx+9=x∴−2mx=±2⋅x⋅3，∴m=±3，故选C．【点睛】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如a2【变式1】（2023春·山东枣庄·七年级校考期末）若x2−2m−3A．3 B．−5 C．7 D．7或−1【答案】D【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．【详解】∵x∴−(m−3)=±4，解得：m=7或m=−1，故选：D．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【变式2】（2023春·四川雅安·七年级校考期中）若x2+2(m−1)x+9是完全平方式，则A．±6 B．−2或4 C．−2 D．4【答案】B【分析】先根据两平方项确定出这两个数，然后再根据完全平方公式的乘积的二倍项即可确定m的值【详解】解：∵x2∴−2(m−1)x=±2⋅x⋅3，即m−1=±3，解得：m=−2或故选：B．【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．【变式3】（2023春·浙江温州·七年级苍南县金乡镇第二中学校联考阶段练习）若关于x的代数式x2−kx+36是一个完全平方式，则A．18 B．−12 C．±6 D．±12【答案】D【分析】根据完全平方公式的结构特征进行判断即可．【详解】解：∵x2−kx+36是一个关于∴x2−kx+36=x+6∴k=−12或k=12．故选：D．【点睛】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．考点9：完全平方公式——变形式求值典例9：（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校联考期末）已知x+y=5，xy=6，则x2+yA．1 B．13 C．17 D．25【答案】B【分析】根据x2【详解】解：x2==5×5−2×6=25−12=13故选：B．【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，熟悉完全平方公式的结构，以及掌握整体代入思想是解答此题的关键．【变式1】（2023春·浙江杭州·七年级校考期中）若x满足x−20222023−x=0.25，则A．0.25 B．0.5 C．1 D．−0.25【答案】B【分析】根据完全平方公式、多项式乘多项式的乘法法则计算即可．【详解】解：∵x−20222023−x∴2023x−x∴−x∴−x∵x−2022==2=−2=−2×2022×2023−0.5+==1−0.5=0.5．故选：B．【点睛】本题主要考查完全平方公式、多项式乘多项式，熟练掌握完全平方公式、多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键．【变式2】阅读材料：数学课上，杨老师在求代数式x2−4x+5的最小值时，利用公式a2±2ab+b2=a±b2，对式子作这样变形：x2+4x+5=x2+4x+4+1=x+2A．−9 B．−5 C．−3 D．4【答案】B【分析】参照样例利用公式变形即可得到答案．【详解】解：x=x=x−3∵x−32∴x2−6x+4≥−5，即x2故选：B．【点睛】本题考查求代数式的最值，完全平方公式的应用，解题的关键是参照样例对代数式进行变形．【变式3】（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）已知x+y=5且xy=6，则x−y2A．25 B．12 C．5 D．1【答案】D【分析】根据x−y2【详解】解：∵x+y=5且xy=6，∴x−y2故选：D．【点睛】利用完全平方公式变形式详解，熟记完全平方公式，式子的变形要注意变形前后的相等关系．考点10：乘法公式在几何中的应用典例10：（2023春·山东济南·七年级统考期中）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（

）

A．3 B．19 C．21 D．28【答案】B【分析】设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，根据题意分别得到(x+y)2=64，(x−y)2=6，两式相加可得【详解】解：设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则AD=x，EF=y，AE=x+y=8，∴(x+y)∴x∵点H为AE的中点，∴AH=EH=4，∵图2的阴影部分面积=(x−y)∴(x+y)∴x∴图1的阴影部分面积=x=x=35−2×8=19，故选：B．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是灵活应用完全平方公式的变形．【变式1】（2023春·广东深圳·七年级统考期末）如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG的边长分别为a，b，如果a−b=2，ab=4，那么阴影部分的面积为（）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】先根据完全平方公式的变形求出a2+b【详解】解：∵a−b=2，ab=4，∴====8，∴======4．故选：B．【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，正确推出S阴影【变式2】（2023春·浙江宁波·七年级校联考期末）如图所示，长方形中放入5张长为x，宽为y的相同的小长方形，其中A，B，C三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为38，大长方形的周长为30，则一张小长方形的面积为（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】大长方形的长=2x+y，大长方形的宽=x+2y，根据阴影部分的面积=大长方形的面积−5个小长方形的面积，以及大长方形的周长等于30，列出含有x和y的等式，通过变形得出小长方形的面积，即xy的值，从而求出结果．【详解】解：由题意知，大长方形的长=2x+y，大长方形的宽=x+2y，则大长方形的周长=2[(2x+y)+(x+2y)]=30，化简得x+y=5，∵阴影部分的面积=大长方形的面积−5个小长方形的面积，∴38=(2x+y)(x+2y)−5xy，化简得x2∵x+y=5，∴(x+y)即x2把x219+2xy=25，解得xy=3，则一张小长方形的面积=xy=3．故选：B．【点睛】本题考查多项式的乘法，通过观察图形特点并结合已知条件列出代数式，运用完全平方公式求解是解题的关键．【变式3】（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）如图，两个正方形的泳池，面积分别是S1和S2，两个泳池的面积之和S1+S2=16，点BA．5 B．4 C．8 D．10【答案】A【分析】设BC=a,BE=b，从而可得a2+b2=16，a+b=6【详解】解：设BC=a,BE=b，由题意得：∠CBE=90°，S1+S即a+b=6，∴2ab=a+b∴ab=10，∴所需防滑瓷砖的面积为12故选：A．【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．考点11：乘法公式与化简求值典例11：（2023春·广东深圳·七年级统考期末）先化简，再代入求值：3(a−b)2+(a−b)(a+b)−(2a+b)2【答案】−10ab+b【分析】分别利用完全平方公式与平方差公式展开，再合并同类项，最后代值计算即可．【详解】解：3=3=−10ab+b当a=15，b=−2时，原式【点睛】本题考查了整式的混合运算及求代数式的值，涉及完全平方公式与平方差公式的运用，合并同类项法则，有理数的混合运算等知识，熟练运用这些知识并准确运算是关键．【变式1】（2023春·四川达州·七年级校联考期中）已知a，b，c为△ABC的三边长，且a，b，c都是整数．(1)化简：a−b+c+(2)若a2+b【答案】(1)a−b(2)9【分析】（1）根据三角形的三边的性质，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，然后去绝对值，即可；（2）对a2+b2−2a−8b+17=0进行化简，求出a【详解】（1）∵a，b，c为△ABC的三边长，∴a+c>b，a+b>0，∴a−b+c>0，∵c−a<b，∴c−a−b<0，∴a−b+c+=a−b+c=a−b+c−c+a+b−a−b，=a−b．（2）∵a2∴a2a2a−12∴a=1，b=4；∵4−1<c<4+1，∴3<c<5，∵a，b，c都是整数，∴c=4，∴△ABC的周长为：a+b+c=1+4+4=9．【点睛】本题考查三角形，绝对值的知识，解题的关键是掌握三角形三边的性质，绝对值的非负性．【变式2】先化简，再计算：y−x(x+y)2+【答案】6x【分析】原式中括号里利用完全平方公式，多项式的乘法去括号，合并后，利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【详解】解：y−x====6x把x=1，y=−1代入上式，得原式=6+8+1=15.；【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．【变式3】（2023·湖南长沙·湖南师大附中博才实验中学校考模拟预测）先化简，再求值：(a+2b)2+a+2ba−2b【答案】4ab，−2【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【详解】解：(a+2b)==4ab，当a=−1，b=12时，原式【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．同步过关1．（2023·云南·一模）若m2−n2=16A．−12 B．12 【答案】B【分析】将m2−n2=【详解】∵m2∴m+nm−n∵m+n=1∴13∴m−n=1故选：B.【点睛】本题主要考查了平方差公式以及整式化简求值，熟练掌握相关公式是解题关键.2．将多项式x2+4加上一个整式，使它成为完全平方式，则下列不满足条件的整式是（A．−4x B．4x C．116x4【答案】D【分析】x2是平方项时，可判断A、B，x2是乘积二倍项时可判断C，用排除法，即可得到答案．【详解】①当x2是平方项时，4±4x+x2=（2±x）2，则可添加的项是4x或-4x，故A、B不符合题意；②当x2是乘积二倍项时，4+x则可添加的项是116而添加116x2故选D．【点睛】本题考查了完全平方式，解题的关键是要熟练掌握完全平方式的特点，分类进行讨论．3．（2023·湖北恩施·校考二模）下列计算正确的是（）A．a4+a5＝a9 B．（2a2b3）2＝4a4b6C．﹣2a（a+3）＝﹣2a2+6a D．（a+2b）2＝4a2﹣b2【答案】B【分析】根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式进行计算即可求解．【详解】解：A、a4与a5不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、（2a2b3）2＝4a4b6，故本选项正确；C、﹣2a（a+3）＝﹣2a2﹣6a，故本选项错误；D、（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，故本选项错误．故选B．【点睛】本题考查了合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．4．（2023春·山东济宁·九年级校考阶段练习）下列运算正确的是（

）A．a3⋅aC．(a+3)⋅(a−3)=a2−6a−9【答案】B【解析】根据整式的乘法法则计算．【详解】解：A、a3·a4=a3+4=a7，错误；B、(−2a2)3=−8a6，正确；C、(a+3)⋅(a−3)=a2−9，错误；D、(a+b)2=a2+2ab+b2，错误；故选B．【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的乘法法则是解题关键．5．（2022春·福建漳州·七年级漳州三中校考期中）下列运算正确的是（

）A．3a2−C．(−3ab2)【答案】B【分析】根据同底数幂的乘法的运算法则、完全平方公式、积的乘方的运算法则、合并同类项法则解答即可．【详解】解：A、3aB、a⋅aC、(−3abD、(a+b)2故选：B．【点睛】此题考查了同底数幂的乘法的运算法则、完全平方公式、积的乘方的运算法则、合并同类项法则，熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则、完全平方公式、积的乘方的运算法则、合并同类项法则是解本题的关键．6．（2023·八年级单元测试）2+1×22A．24n−1 B．24n+1 C．【答案】A【分析】最后的2n应为2n，即2的指数必须是偶数.(2−1)×(2+1)×(22+1)×(24+1)×⋅⋅⋅×(【详解】提示：原式=(2−1)×(2+1)×(=(=(=(【点睛】此题考查平方差公式，掌握运算法则是解题关键7．（2022春·山东烟台·六年级统考期中）下列整式乘法中，能运用平方差公式进行运算的是（

）A．(2a+b)(2b−a)B．(−a−b)(a+b)C．(a−b)(b−a) D．(a+b)(b−a)【答案】D【分析】根据整式乘法的平方差公式逐项判断即得答案．【详解】解：A、(2a+b)(2b−a)不能运用平方差公式计算，故本选项不符合题意；B、(−a−b)(a+b)=C、(a−b)(b−a)=D、(a+b)(b−a)=b故选：D．【点睛】本题考查了整式乘法的平方差公式，属于基础题型，熟练掌握平方差公式的特点是解题的关键．8．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）运用乘法公式计算(4+x)(x−4)的结果是（

）A．x2−16 B．16−x2 C．【答案】A【分析】根据平方差公式即可求出答案．【详解】解：原式=x故选：A．【点睛】本题考查平方差公式，解题的关键是运用平方差公式，本题属于基础题型．9．（2023春·辽宁朝阳·七年级校考期中）已知a+b=3，ab=2，则a2+bA．5 B．7 C．9 D．13【答案】B【分析】运用完全平方公式将原式变形为a+b2−ab，再将a+b=3，【详解】解：∵a∴当a+b=3，ab=2时，原式=故选：B．【点睛】此题考查了完全平方公式的应用能力，关键是完全平方公式能进行准确变形．10．（2023·安徽·九年级统考学业考试）已知P=715m−1，Q=m2−815mA．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．P≤Q【答案】C【分析】由题意表示出P-Q，再根据化简后的代数式的特征即可作出判断．【详解】解：∵P=715m−1∴P−Q=∴P<Q故选:C．【点睛】本题考查了用不等式比较代数式的大小、配方法，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握．二、填空题11．已知a+b=5，ab=-2，那么a2+b2的值为．【答案】29【分析】根据完全平方公式即可求出答案．【详解】解：∵a+b=5，ab=-2，（a+b）2=a2+2ab+b2，∴52=a2+b2-4，∴a2+b2=29，故答案为：29．【点睛】本题考查了完全平方公式，涉及代入求值和整体思想．12．（2023春·七年级课时练习）用简便方法计算：503×497=；1.02×0.98=【答案】249991；0.9996.【分析】分别将积中的两个因数分为相同的两数之和与两数之差的积，使用平方差公式即可．【详解】503×497，＝（500＋3）（500－3），＝5002－32，＝249991；1.02×0.98，＝（1＋0.02）（1－0.02），＝1－0.022，＝0.9996．故本题答案为：249991，0.9996【点睛】本题考查了平方差公式的实际应用，解题关键是将两个因数分为相同的两数之和与两数之差的积．13．（2023春·湖北·八年级阶段练习）计算：（3﹣2）2018（3+2）2019=．【答案】3【分析】把（3﹣2）2018（3+2）2019变形为（3﹣2）2018（3+2）2018（3+2），逆用积的乘方运算即可.【详解】（3﹣2）2018（3+2）2019=（3﹣2）2018（3+2）2018（3+2）=[(3−2)(3=3+2故答案为3+2【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和平方差公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键.14．（2023春·陕西西安·七年级统考阶段练习）x2+axy+y2【答案】±2．【分析】根据完全平方式的结构特征即可求解．【详解】解：∵x±y2=∴a=±2．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．15．（2022秋·上海·七年级专题练习）填空：已知多项式x2+【答案】1【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．【详解】解：完全平方公式(a+b)2（1）当x4相当于2ab项时，x（2）当x2相当于2ab项时，x（3）当x4与x2相当于a与b，则需要求的是2ab项，则故答案为14【点睛】本题考查了完全平方式，以及单项式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．16．（2023春·七年级单元测试）若把代数式x2−2x−5化为(x−m)【答案】−5．【详解】试题分析：运用完全平方公式的特征将原式变形为x2-2x+1-6，再将前面三项结合起来写成完全平方的形式：∵x∴m=1,k=−6．∴m+k=−5．考点：配方法的应用．三、解答题17．（2023·浙江金华·校联考模拟预测）先化简，再求值：m(m−4)−(m−4)2，其中【答案】4m−16，-12【分析】先根据整式的运算法则把所给代数式化简，再把m=1代入计算．【详解】原式===4m−16当m=1时，原式=4×1−16=−12．【点睛】本题考查了单项式乘多项式，完全平方公式，以及整式的加减，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键．18．（2023春·浙江杭州·七年级校考期中）已知x2（1）求xy的值；（2）求x+y2（3）设y=kxx≠0，是否存在实数k，使得(3x−y)2−(x−2y)(x+2y)+6xy化简为28【答案】（1）15；（2）64；（3）存在，k=2或-2【分析】（1）原式利用完全平方公式变形，把已知等式代入计算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式化简，把已知等式代入计算即可求出值；（3）原式利用完全平方公式，平方差公式化简，去括号合并后即可作出判断．【详解】解：（1）∵x2∴xy=x（2）把x-y=2两边平方得：（x-y）2=4，即x2-2xy+y2=4，∵x2+y2=34，∴2xy=30，则（x+y）2=x2+y2+2xy=34+30=64；（3）原式=9x2-6xy+y2-x2+4y2+6xy=8x2+5y2，把y=kx代入得：原式=8x2+5k2x2=（5k2+8）x2=28x2，∴5k2+8=28，即k2=4，开方得：k=2或-2，则存在实数k=2或-2，使得（3x-y）2-（x-2y）（x+2y）+6xy化简为28x2．【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（2023春·吉林长春·九年级东北师大附中校考阶段练习）先化简，再求值：(3x+2y)2−(3x+y)(3x−y)，其中x=1，【答案】12xy+5y【分析】先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可化简原式，再将x、y的值代入计算即可．【详解】解：原式=9=9=12xy+5当x=1，y=2时，原式=12×1×2+5×=24+20=44．【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、去括号法则以及合并同类项法则，熟练掌握乘法公式是解本题的关键．20．（2023·四川达州·七年级统考期末）如图①是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀将其平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图②）自主探索：（1）仔细观察图形，完成下列问题①图②中的阴影部分的面积为_____；②观察图②，请你写出（a+b）2、（a-b）2、ab之间的等量关系是_____；知识运用：（2）若x-y=5，xy=114，根据（1）中的结论，求（x+y）2知识延伸（3）根据你探索发现的结论，完成下列问题：设A=x−2y−34，B=x+2y计算（A-B）2-（A+B）2的结果．【答案】