2023年北京市初三二模数学试题汇编：二次函数章节综合

第1页/共1页2023北京初三二模数学汇编二次函数章节综合一、单选题1．（2023·北京顺义·统考二模）某超市一种干果现在的售价是每袋元，每星期可卖出袋，经市场调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价元，每星期就少卖出袋．已知这种干果的进价为每袋元，设每袋涨价（元），每星期的销售量为（袋），每星期销售这种干果的利润为（元）．则与，与满足的函数关系分别是（

）A．一次函数，二次函数 B．一次函数，反比例函数C．反比例函数，二次函数 D．反比例函数，一次函数二、解答题2．（2023·北京石景山·统考二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移4个单位长度，得到点．(1)若，点在抛物线上，求抛物线的解析式及对称轴；(2)若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图像，求的取值范围．3．（2023·北京朝阳·统考二模）图1是一块铁皮材料的示意图，线段长为，曲线是抛物线的一部分，顶点C在的垂直平分线上，且到的距离为．以中点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．

(1)求图2中抛物线的表达式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)要从此材料中裁出一个矩形，使得矩形有两个顶点在上，另外两个顶点在抛物线上，求满足条件的矩形周长的最大值．4．（2023·北京大兴·统考二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上．(1)求抛物线的对称轴；(2)已知点，点在抛物线上，若对于，都有，求t的取值范围．5．（2023·北京朝阳·统考二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上．(1)求的值（用含a的式子表示）；(2)若，试说明：；(3)点，在该抛物线上，若，，中只有一个为负数，求α的取值范围．6．（2023·北京顺义·统考二模）某架飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足函数关系．由电子监测获得滑行时间与滑行距离的几组数据如下：滑行时间x/s滑行距离y/m(1)根据上述数据，求出满足的函数关系；(2)飞机着陆后滑行多远才能停下来？此时滑行的时间是多少？7．（2023·北京西城·统考二模）在平面直角坐标系中，点，都在抛物线上，且，．(1)当时，比较，的大小关系，并说明理由；(2)若存在，，满足，求m的取值范围．8．（2023·北京顺义·统考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；(2)若，当时，求y的取值范围；(3)已知，，为该抛物线上的点，若，求a的取值范围．9．（2023·北京房山·统考二模）排球场的长度为，球网在场地中央且高度为．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．

(1)某运动员第一次发球时，测得水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离02461112竖直高度2.482.722.82.721.821.52①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系；②判断该运动员第一次发球能否过网___________（填“能”或“不能”）．(2)该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由．10．（2023·北京昌平·统考二模）兴寿镇草莓园是北京最大的草莓基地，通过一颗颗小草莓，促进了农民增收致富，也促进了农旅融合高质量发展．小梅家有一个草莓大棚，大棚的一端固定在离地面高的墙体处，另一端固定在离地面高的墙体处，记大棚的截面顶端某处离的水平距离为，离地面的高度为，测量得到如下数值：012451

小梅根据学习函数的经验，发现是的函数，并对随的变化而变化的规律进行了探究．下面是小梅的探究过程，请补充完整：(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；

解决问题：(2)结合图表回答，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为___________；此时距离的水平距离为___________；(3)为了草莓更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面时补光效果最好，若在距离处水平距离的地方挂补光灯，为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是多少？（灯的大小忽略不计）11．（2023·北京昌平·统考二模）在平面直角坐标系中，点是抛物线上的点．(1)当时，求抛物线对称轴，并直接写出与大小关系；(2)若对于任意的，都有，求的取值范围．12．（2023·北京房山·统考二模）平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线．(1)若抛物线经过点，求a和n的值；(2)若抛物线上存在两点和，．①判断抛物线的开口方向，并说明理由；②若，求a的取值范围．

参考答案1．A【分析】设每袋涨价（元），每星期的销售量为（袋），每星期销售这种干果的利润为（元）根据题意列出与，与的函数关系式，即可求解．【详解】解：设每袋涨价（元），每星期的销售量为（袋），每星期销售这种干果的利润为（元）根据题意得，是一次函数，是二次函数，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用，根据题意列出函数关系式解题的关键．2．(1)，对称轴为直线(2)或【分析】（1）把，代入抛物线解析式求出抛物线解析式，进而求出对称轴即可；（2）分和两种情况，画出对应的函数图象，结合函数图象求解即可．【详解】（1）解：∵，∴抛物线解析式为，把代入得：，解得，∴抛物线解析式为，∴抛物线对称轴为直线；（2）解：∵抛物线与轴交于点，∴，∵将点向右平移4个单位长度，得到点，∴；当时，如图3-1所示，∵抛物线与线段恰有一个公共点，∴当时，，∴，∴；当时，如图3-2所示，由函数图象可知，对于任意的a都符合题意；综上所述，或．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与x轴的交点问题，利用数形结合的思想求解是解题的关键．3．(1)(2)10【分析】（1）先求出抛物线顶点C的坐标为，A的坐标为，然后利用待定系数法求解即可；（2）先证明关于抛物线对称轴对称，则E、F关于抛物线对称轴对称，设点F的坐标为，则，求出，根据矩形周长公式列出矩形周长与m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：由题意得抛物线顶点C的坐标为，A的坐标为，设抛物线解析式为，∴，解得，∴抛物线解析式为；（2）解：如图所示，∵四边形是矩形，∴，∵E、F都在x轴上，∴轴，∴关于抛物线对称轴对称，∴E、F关于抛物线对称轴对称，设点F的坐标为，则，∴，，∴，∴矩形的周长，∵，∴当时，矩形的周长有最大值10．

【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，正确理解题意并熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．4．(1)(2)【分析】（1）将点代入，得到，即可求得抛物线的对称轴；（2）根据抛物线对称性可得点B关于对称轴的对称点坐标为，根据抛物线的性质可得，即可求得．【详解】（1）解：将点代入得：整理得：∴对称轴为：∴抛物线的对称轴为直线．（2）解：∵∴点B关于对称轴的对称点坐标为，∵∴抛物线开口向上，∵点，在抛物线上，且∴，∵∴解得．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据二次函数的对称性求值，二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．5．(1)(2)见解析(3)或【分析】（1）直接把代入抛物线解析式中求解即可；（2）先求出，再由，即可得到；（3）先求出，然后分类讨论a的取值范围，根据，，中只有一个为负数进行求解即可．【详解】（1）解：把代入中得：；（2）解：由（1）得，∵，∴，∴；（3）解：∵点，在该抛物线上，∴；当时，，符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，不符合题意；综上所述，或．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数图象上的点一定满足对应函数的函数解析式是解题的关键．6．(1)(2)飞机着陆后滑行才能停下来，此时滑行的时间是【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；（2）根据题意和二次函数的性质，当滑行距离取最大值时求出对应的滑行时间即可．【详解】（1）解：根据表格可以得出函数图像过点，，∴，解得：，∴函数关系式为：．（2）根据题意，飞机着陆后滑行一段距离停下来，此时滑行距离取得最大值，∵函数关系式为，且，当时，最大值，∴飞机着陆后滑行才能停下来，此时滑行的时间是．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数的函数关系式．7．(1)，理由见解析(2)【分析】（1）当时，，将抛物线解析式化为顶点式，得到对称轴，根据，的大小判断与对称轴的距离，结合，即可得出答案；（2）根据题意可知满足，即与关于对称轴对称，当时，则的最小值要比时的对称点0小，的最大值要比时的对称点3大，解不等式组即可．【详解】（1）；理由：∵，∴抛物线的对称轴是直线当时，∵，，对称轴是直线∴比离对称轴近∵，抛物线开口向下∴（2）∵∴与关于对称轴对称∵∴即解得【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是根据二次函数的对称性找的取值范围．8．(1)直线(2)(3)【分析】（1）根据对称轴公式即可求解；（2）根据，比距离对称轴远，分别求得时的函数值即可求解；（3）根据题意得出为抛物线的顶点，，在对称轴的右侧，分当在对称轴的左侧时，当在对称轴的右侧时，列出不等式，解不等式即可求解．【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线；（2）解：∵，∴抛物线解析式为，对称轴为直线，开口向上，∵，比距离对称轴远，∴时，的最小值为，当时，，∴当时，求y的取值范围为；（3）解：∵，，对称轴为直线，∴为抛物线的顶点，，在对称轴的右侧，当在对称轴的左侧时，∴当在对称轴的右侧时，∴，不合题意，舍去∴．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．9．(1)①；②能(2)没有，理由见解析【分析】（1）①由表中数据可得抛物线顶点，则设，再把表格中其它任意一组数据代入即可求出a值，②当时，求得，再与球网高度比较即可得出答案．（2）令，求出抛物线与x轴的交点，再比较即可．【详解】（1）解：①由表中数据可得抛物线顶点设把代入得∴所求函数关系为②当时，则，∴能（2）解：判断：没有出界令，则解得（舍），∵∴没有出界．【点睛】本题考查抛物线的应用，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图象性质是解题的关键．10．(1)见解析(2)4；3(3)为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是．【分析】（1）描点，连线，即可画出函数的图象；（2）结合图表回答，即可解答；（3）利用待定系数法求得抛物线的解析式，令，求得函数值，即可解答．【详解】（1）解：描点，连线，函数的图象如图所示，

；（2）解：根据图表知，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为；此时距离的水平距离为；故答案为：4；3；（3）解：设抛物线的解析式为，把，，，代入得，，解得，∴抛物线的解析式为，令，则，，答：为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据点的坐标画出函数图象是解题关键．11．(1)抛物线的对称轴为，(2)或【分析】（1）当时，抛物线，抛物线过点，，根据对称轴公式即可得到对称轴，再根据点比点离对称轴水平距离远，且抛物线开口向上，即可得到与大小关系；（2）分三种情况：①当时；②当时；③当时，，分别讨论即可得到答案．【详解】（1）解：当时，抛物线，抛物线过点，，抛物线的对称轴为，点比点离对称轴水平距离远，且抛物线开口向上，；（2）解：①当时，，，恒成立，，，，；②当时，，，恒不成立，舍去；③当时，，，，恒成立，，，，，，综上所述，或．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用分类讨论的思想是解题的关键．12．(1)，(2)①开口向上，理由见解析；②【分析】（1）把代入，求得，从而得抛物线解析式为，再根据抛物线的对称轴为直线，即可求得．（2）①根据当，又对称轴为，得是抛物线的顶点，再根据，且，所以点B在顶点A的上方，即可得出抛物线开口向上；②