4.3 第3课时 一元一次方程的应用（3） 2023-2024学年苏科版七年级上册数学

第4章一元一次方程4.3用一元一次方程解决问题第3课时一元一次方程的应用(3)

1.会画线形示意图分析实际问题中的数量关系；2.能根据相等关系列出一元一次方程解决实际问题.◎重点:列出一元一次方程解决实际问题.◎难点:借助线形示意图找出实际问题中的相等关系.

分析较复杂的实际问题，可以用列表、画示意图的方法帮助我们寻找实际问题的数量关系.利用示意图是了解问题的又一个重要手段.你曾经使用过哪些示意图呢？解:除了列表分析，常见示意图有直线形、环形、扇形、柱形等.

画示意图分析数量关系，列出方程组解决问题

问题:某工厂工人急需在计划时间内加工一批零件用于机械制造，如果每天加工500个，就比规定任务少80个；如果每天加工550个，则超额20个.问规定加工的零件数和计划加工的天数分别是多少？设计划时间为x天，1.如果每天加工500个，那么一共可以做

500x

个，比规定任务少80个，画线段图如图1所示:

500x2.如果每天加工550个，那么一共可以做

550x

个，比规定任务多20个.

3.在图2的括号内填写相关数据，并分别将图1、图2中的规定任务表示出来

500x＋80

，

550x－20

.

550x500x＋80550x－204.根据相等关系“规定任务不变量”，列出方程

550x－20＝500x＋80

.

变式训练

如果设规定任务为y个零件，你会画图，或列表分析吗？答:略.550x－20＝500x＋80通过画线段图，形象直观地表达问题中已知量和未知量之间的关系，然后根据示意图中有关基本量的内在联系找出相等关系.归纳总结

画示意图通常可以画线段图或曲线图，用线段或曲线的长度来表示已知量、未知量，并根据这些线段或曲线的和或差找出相等关系，列出方程.常见示意图有直(曲)线段图、扇形图、条形图等等.·导学建议·

1.轮船在静水中的速度大小为每小时20km，水流的速度大小为每小时4km，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共5h(不计停留时间)，求甲、乙两码头的距离.设两码头间的距离为xkm，则下列列出的方程正确的是(

D

)A.(20＋4)x＋(20－4)x＝5C.＋＝5B.20x＋4x＝5D.＋＝5D

A.100m/minB.120m/minC.150m/minD.200m/minD3.现有一个长为180米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成.A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天.问A、B两工程队分别整治河道多少米？根据题意画示意图如图所示，回答下面问题:(1)由图知:等量关系是

A工程队工作量＋B工程队工作量＝180米河道长

.

(2)若设A工程队用时x天，由题意可列方程:

12x＋8(20－x)＝180

.

A工程队工作量＋B工程队工作量＝180米河道长12x＋8(20－x)＝180

由题意可列方程.分析

本题中河道长度一定，两工程队共用时间一定，因此根据线形示意图，有两种设法.解:(1)A工程队工作量＋B工程队工作量＝180米河道长.(2)12x＋8(20－x)＝180.A工程队整治的河道长度(3)x表示A工程队整治河道长度.

列一元一次方程解决盈亏问题1.某礼品制造工厂接受一批玩具熊的订货任务，按计划天数生产，如果每天生产20个玩具熊，则比订货任务少100个；如果每天生产23个玩具熊，则可以超过订货任务20个.请问这批玩具熊的订货任务是多少个？原计划几天完成任务？

方法二:设原计划x天完成任务，根据题意得20x＋100＝23x－20，

解得x＝40，20x＋100＝20×40＋100＝900.答:这批玩具熊的订货任务是900个，原计划40天完成任务.·导学建议·两种情形下生产的玩具一个盈，一个亏，都是同不变量(订货任务)比较.不变量作为相等关系，只要在盈、亏情形下用未知数将不变量表示出来，列方程即可.归纳总结

盈亏问题通常利用画示意图或者列表法分析，直观地将盈、亏或全盈、全亏情形下的结果与不变量进行比较.解题关键是能在不同情形下用未知量表示不变量，列出方程.

列一元一次方程解决行程问题2.甲、乙两站的距离为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶72千米；一列慢车从甲站开出，每小时行驶48千米.两车同时开出，相向而行，经过多少小时后两车相遇？(1)设两车出发x小时两车相遇.请你补全下面的示意图(2)由示意图可知相等关系是

慢车路程＋快车路程＝甲、乙两站距离

.

根据题意列方程得

48x＋72x＝360

.

慢车路程＋快车路程＝甲、乙两站距离48x＋72x＝360变式训练

如果快车先开出25分钟，两车相向而行，慢车行驶多长时间两车相遇？

·导学建议·

归纳总结

1.行程问题中的数量关系，常常借助示意图进行分析.利用示意图将题中蘊涵的抽象的数量关系以形象、直观的方式表达出来，能有效促进问题的解决.2.注意单位统一，看清时间“同时出发”“先出发”等字眼.

列一元一次方程解决方案决策问题3.某校在开学期间，打算购置－批办公桌和椅子，现在同一款式的办公桌每张定价200元，椅子每把定价40元.国庆节期间，有两家商店决定开展促销活动，向客户提供优惠如下.甲商店:买一张办公桌送一把椅子.乙商店:办公桌和椅子都按定价的九折付款.现在学校要购买20张办公桌和x(x＞20)把椅子.(1)用含x的代数式表示学校分别在这两个商店购买这一批桌椅所需的费用.(2)购买多少把椅子时，两家商店的收费一样多？(3)现在学校需要购买30把椅子，通过计算说明在哪家商店购买较为合算.解:(1)在甲商店购买所需的费用:200×20＋40(x－20)＝(40x＋3200)元.在乙商店购买所需的费用:(200×20＋40x)×0.9＝(36x＋3600)元.(2)根据题意，得40x＋3200＝36x＋3600，解得x＝100.答:购买100把椅子时，两家商店的收费一样多.(3)当x＝30时，在甲商店购买所需的费用:40x＋3200＝40×30＋3200＝4400(元).在乙商店购买所需的费用:36x＋3600＝36×30＋3600＝4680(元).因为4400＜4680，所以在甲商店购买较为合算.决策、方案设计类的实际问题的解题思路，通常是对所有可能的方案进行计算，然后比较计算结果，选出合理的方案.

方法归纳交流

当有多种方案供选择时，解决方法:(1)先列一元一次方程解两种方案值相等的情况(找特殊值).(2)再取小于(或大于)特殊值时情况，比较两种方案的合理性.(3)得出结论.·导学建议·

A.24x＝4C.x＝4×1＋B.x＝4D.x＝1＋4×B2.在一次庆祝活动中，同学们需要手拿气球入场，王老师买回一袋气球.若每名学生分3个，则少21个；若每名学生分2个，则多25个.下列说法错误的是(

D

)A.本题中学生人数一定，可以以学生人数为等量关系列方程B.若设有气球x个，则列方程＝C.若设学生有x名，则列方程3x－21＝2x＋25D.若设有气球x个，则列方程＝D3.大丰新华书店推