2024-2025学年湖南省长沙市岳麓区某中学九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市岳麓区周南梅溪湖中学九年级(上)开

学数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列方程中，是一元二次方程的是()

-1

A.4(%+2)=25B,2x2+3x-1=0C.2x+y=22D,"十2=4

2.一元二次方程/-4x=5的二次项系数、一次项系数和常数项分别是()

A.1,4,5B.0,—4,—5C.1,—4,5D.1,—4,—5

3.用配方法解方程/-6%-1=0时，配方结果正确的是()

A.(x-3)2=10B.(x-3)2=8C.(%-6)2=10D.(x-3)2=1

4.对于二次函数y=2。-1)2-8,下列说法正确的是()

A.图象开口向下B,当x>1时，y随式的增大而减小

C.当x<1时，y随x的增大而减小D.图象的对称轴是直线久=-1

5.如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪.要使草坪的面积为1800

平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为()-------------------■-----

A.(54—x)(38—x)=1800----

B.(54-x)(38-x)+x2=1800

C.54x38-54x-38x=1800

D.54%+38%=1800

6.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数

是91.设每个支干长出x个分支，则可列方程为()

A,x2+x+1=91B.(x+I)2=91C,x2+x=91D,x2+1=91

7.若a是方程N-x-l=0的一个根，贝+2a+2021的值为()

A.2021B,-2021C,2020D.-2020

8.在同一直角坐标系中，函数y=mx和函数y=mx2+2x+2(m是常数，且ni40)的图象可能是

()

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A.yi<y2<>3B.y2<yi<为C.y2<y3<7iD.y3<72<yi

10.为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点。喷出，在各个方向上沿形

状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点a到点。的距离为4,水流喷出的高度

火小）与水平距离双小）之间近似满足函数关系式y=这2+群，则水流喷出的最大高度为（）

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.将一元二次方程3万（久-1）=2化成a久2+6%+c=0（a>0）的形式为.

12.把二次函数y=2"的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得图象对应的函数表

达式是.

13.当m=时，关于x的方程（m+2）xm+3+6x-9=0是一元二次方程.

14.已知方程久2-2久一4=0的两根分别为巧和％2，则％1久2=.

15.关于久的一元二次方程（k-1）久2—2%+1=0有两个实数根，贝收的取值范围是—

16.二次函数y=a/+版+c（a力0）的图象如图所示，下列结论：（T）bc>0；

@x>0时，y随x的增大而增大；③a+b+c>0；④不等式a/久+c<0

的解集是-l<x<3,其中正确的是.（填序号）

三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题20分）

解方程：

（I）%2+3%=0；

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(2)3x(x-1)=2(1—x)；

(3)x2-6x+12=0；

(4)x2-5x-2=0.

18.(本小题8分)

已知关于x的一元二次方程/+2(m+l)x+m2-l=0.

(1)若方程有实数根，求实数小的取值范围；

(2)若方程两实数根分别为X1，%2,且满足(亚-比2>=16-X/2,求实数m的值.

19.(本小题14分)

已知二次函数y=-x2+2x+3.

(1)函数的开口方向是，对称轴是直线;

(2)函数的顶点式为,与x轴的交点坐标是；

(3)当x时，函数y随支的增大而增大；当______时，y的值小于0；

(4)该二次函数与一次函数y=x+1的交点坐标为.

20.(本小题10分)

2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱.商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公

仔，并以每个80元售出,由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可

售出75个.

(1)若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率；

(2)市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个.那么销售单价应降低多少，才能使每天所

获销售利润最大？最大利润是多少？

21.(本小题10分)

在平面直角坐标系中，已知抛物线经过4(-4,0),5(0-4),C(2,0)三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为小，的面积为S.

求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值.

(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、。为顶

点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.

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22.(本小题10分)

已知y是关于X的函数，若其图象经过点P(t,2t),则称点P为函数图象上的“周梅点”,例如：直线丫=久-3

上存在“周梅点”P(—3,—6).

(1)在直线y=-尤+1上是否存在“周梅点”？若存在，请求出“周梅点”的坐标；若不存在，请说明理

由；

(2)若抛物线y=-1x2+(|a+2)x-^a2-a+1上有“周梅点”，且“周梅点”为4(＞切)和B(久2而，求

w=xl+成的最小值；

(3)若函数y=yx2+(m-t+2)x+n+t-2的图象上存在唯一的一个"周梅点”，且当一2WmW3时，n

q

的最小值为t,求t的值.

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参考答案

l.B

2.D

3.4

4.C

5.A

6.A

7.C

8.D

9.C

1Q.A

ll.3x2-3x-2=0

12.y=2(x+3)2—1

13.-1

14.—4

15.k<2且k*1

16.①④

17.W：⑴%2+3%=o；

x(x+3)=0,

•••=0,%2=-3；

(2)3x(x-l)=2(1一%)；

3%(x-l)+2(久—1)=0,

(%—1)(3%+2)=0,

42

・•・%i=1,X2=一§；

(3)X2-6X+12=0；

/=36-48=-12<0,

*­*原方程无实数根；

(4)x2—5x—2=0,

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•；/=(-5)2+4x1x(-2)=33,

.r_5土库

...X1=5+产,%2=_5ZJ33_

18.解：(1)由题意有△=[2(m+l)]2-4(m2-l)>0,

整理得8nl+8>0,

解得m>-1,

••・实数租的取值范围是相>-1;

(2)由两根关系，得第1+%2=-2(m+1),x1-X2=m2—1,

(%1-％2)2=16-%62

⑸+%2)2—3%1%2—16=0,

[-2(m+l)]2-3(m2-l)-16=0,

・m2+8772—9=0,

解得772=—9或=1

•・•m>—1

.・.m=1.

19.解：二次函数y=-/+2%+3,

(1)a=—1,b=2,c=3,

a<0,对称轴％=—=—2x(-1)=1，

二次函数的开口向下，对称轴为直线％=1,

(2)y=—x2+2%+3,

y——(7—2%+1)+4=—(%—I)2+4,

顶点式：y=-(%-1)2+4；

当y=0时，-%2+2%+3=0,

BP%2—2x—3=0,

••.(%+l)(x-3)=0,

*,,%]——1,%2=3,

・•・与久轴的交点坐标为(—1,0)(3,0),

(3)•・・二次函数的开口向下，对称轴为直线久=1,

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•1•当x<1时，函数y随比的增大而增大，

・•・二次函数的开口向下，与X轴的交点坐标为(一1,0)(3,0),

.,.当％<-1或^>3时，y的值小于0,

(4必二[产+5

解得｛二/或修；专，

•••交点坐标为(-1,0),(2,3).

20.解：(1)由题意，设每次上涨的百分率为小，

依题意，得：80(1+m)2=125,

解得：m1=0.25=25%,=-2.25(不合题意，舍去).

答：每次上涨的百分率为25%.

(2)由题意，设每个售价为万元，

每天的利润w=(x-70)[75+5(125-%)]

=(久一70)(700-5%)

=-5x2+1050%—49000

=-5(x-105)2+6125.

二当久=105时，每天的最大利润为6125.

.­.每个应降价(125-105)元，即每个应降价20元.

答：每个应降价20元，才能使每天利润达到最大，最大利润为6125元.

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21.解：（1）设此抛物线的函数解析式为:

y=ax2+bx+c（a。0）,

将4（一4,0）,8（0,-4）,C（2,0）三点代入函数解析式得:

,16a—4b+c=0

c=-4

4a+2b+c=0

1

%--

2

解-1e.

(b-4

lc-

所以此函数解析式为：y=/2+%-4；

（2）・.・M点的横坐标为根，且点M在这条抛物线上,

M点的坐标为：（犯加2+S一4）,

S+sAOBM-S△AOB

1111

=—x4x(-—m2-m+4)+—x4x(-m)--x4x4

=—m2—2m+8—2m—8

=—m2—4m,

=—(m+2)2+4,

•・•—4<m<0,

当租=一2时，S有最大值为：S=—4+8=4.

答：m=一2时S有最大值S=4.

-1

(3)设+久一4).

当08为边时，根据平行四边形的性质知PQ〃。&且PQ=OB,

•e•Q的横坐标等于尸的横坐标,

又•••直线的解析式为y=-x,

则Q(%,-%).

1

由PQ=OB,M|-x-(|x2+x-4)|=4,

解得％=0,-4,-2±2^/5.

%=0不合题意，舍去.

如图，当8。为对角线时，知/与P应该重合，。尸=4.

四边形P80Q为平行四边形则8。=PQ=4,Q纵坐标为4,代入y=-%得出Q为（一4,4）；

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四边形PBQ。为平行四边形则8Q=0P=4,(?横坐标为4,代入丫=一%得出(2为(4,—4)；

由此可得Q(—4,4)或(—2+22—2或(—2—25^,2+2^/5)或(4,—4).

22.解：(1)在直线y=—x+1上存在“周梅点”；理由如下：

设点尸(t,2t)是直线y=—x+l上的“周梅点”，

—t+1=2t,

.-1

-ft-3

・・.直线y=x+1上的“周梅点”为(静)；

(2)设抛物线“周梅点”的坐标为尸

将点P的坐标代入抛物线y=+(|a+2)%一|。2-。+1中得:

2.x———x2+(—d+2)%——a+1，

122

一万%2+—CIX——(Z2—CL+1=0,

•・,“周梅点”为和8(%2)2)，

-1o7

•••%1>刀2是方程一5炉+-ax--a2-a+1=。的两个根，

14a一工。2一。+1A

贝|J11+%2=-三=11•%2=_-----=5a2+2Q-2,

~2-2

4=(|a)2-4X(-1)(-1a2-a+1)>0,

—2a+2之0,

解得：a<1,

.・.w=%，+若=(%]+久2)2—2%I%2

=(竽)2-2&2+2a—2)

=5a2—4a+4

对称轴为直线a=%

•••当a=1