人教版八年级数学上册重难考点微专题01角平分线+平行线通关专练特训(原卷版+解析)

微专题01角平分线+平行线通关专练一、单选题1．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，则线段EF的长是（

）

A．1 B．2 C．3 D．42．（2023春·山东枣庄·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F则CF的长为（）

A．2 B．3 C．3.5 D．43．（2023·全国·八年级假期作业）如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，若DE=5，BD=3，则线段CE的长为（

）

A．2 B．1 C．3 D．44．（2023春·广东广州·八年级广州市番禺区钟村中学校考期中）如图，在▱ABCD中，已知AD=8cm，AB=5cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（

A．1cm B．2cm C．3cm5．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，BC⊥OB于点C．若EC=1，则OF=（

）A．2 B．1.5 C．3 D．16．（2023春·江苏盐城·八年级统考期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点B，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB=3，AD=4，则EF的长是（

）A．0.5 B．1 C．1.5 D．27．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，若AB+AC=8，则△ADE的周长为（A．6 B．8 C．10 D．128．（2023春·海南海口·九年级海口实验中学校考开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=5，BC=4，点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥BC交AB于点Q，DA．107 B．157 C．2079．（2023春·河南商丘·九年级专题练习）如图，△ABC中，D、E分别BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=8，则DF的长是（

）A．2 B．3 C．52 10．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，若AB=12，DE=7，则AE的长为（A．5 B．6 C．7 D．811．（2023春·江苏扬州·七年级期中）如图，在△ABC中，AB=4，AC=5，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB，AC于A．8 B．9 C．10 D．不确定12．（2022秋·江苏·八年级期末）如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，△AMN的周长为33，AB=15，则AC为（

）A．15 B．18 C．20 D．2313．（2021秋·河南新乡·八年级校考期中）如图，△ABC中，BE是角平分线，DE∥BC交AB于D，交AC于E，若DE=7，AD=5，则AB=（

）A．10 B．12 C．14 D．1614．（2022·安徽·统考二模）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线BD，CD交于点D，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F．若BE=2，CF=3，BC=9，则AE的长为（

）A．2.5 B．4.5 C．3.75 D．6.7515．（2023春·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，DE∥AB交BC于点E，F为AB上一点，连接DF、EF．已知DC=5，CE=12，则A．30 B．32.5 C．60 D．78二、填空题16．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE=3，CD=4，ED=5，则FG的长为__．

17．（2023春·山西太原·八年级山西实验中学校考阶段练习）如图，CE是△ABC的角平分线，EF∥BC交AC于点F，则18．（2023春·湖北黄冈·八年级校考期中）如图，DE为△ABC的中位线，且BF平分∠ABC交DE于点F．若AB=6，BC=10，则EF=_____________．19．（2023春·陕西西安·八年级西安市华山中学校考阶段练习）如图，△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC，E点在AB边上，如果△BED周长为25cm，BD=8cm，则20．（2023秋·福建漳州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，BE，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，ED∥AC，交BC于点D，EF⊥AB于点F．若BC=35，EF=5，DE=13，则△EBD的面积为________．21．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过点E作DF∥BC交AB于D、交AC于F，若AB=4，AC=3，则22．（2023春·八年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥BC，交AC于点E，若BC=923．（2020秋·江苏南京·八年级南京第五初中校考阶段练习）如图，已知△ABC，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE于点E、D，若AC＝3，AB＝4，BC＝5，则DE的长为________．24．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC，交AB于点（1）若AE＝4，则DE的长为______；（2）若AB＝10，则DE的长为______．25．（2022秋·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，O是△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若△ODE的周长为10cm，那么BC的长为_____．三、解答题26．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．求证：△ACD为等腰三角形．

27．（2023春·上海闵行·七年级统考期末）已知：如图，在△ABC中，已知BD平分∠ABC，DE∥BC，点M是BD的中点．请说明

解：因为BD平分∠ABC（已知），所以∠CBD=______（角平分线的意义）．因为DE∥所以∠CBD=∠BDE（______）．所以∠BDE=______（______）．所以EB=ED（______）．因为点M是BD的中点（已知），所以EM⊥BD（______）．28．（2023春·江西抚州·八年级江西省抚州市第一中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D．

(1)若∠B=37°，求∠CAD的度数；(2)若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F．求证：29．（2023春·广东清远·八年级统考期中）请将下列证明过程补充完整．求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠CAE，AD∥BC，求证：证明：∵AD∥∴∠1=∠B（

），∠2=∠C（

），∵AD平分∠CAE，∴∠1=∠2（角平分线的定义），∴∠B=∠C（

），∴AB=AC（

）．30．（2022秋·七年级单元测试）如图，已知△ABC中，过点B作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，作DE∥AC交AB于E．求证：

31．（2023春·湖南长沙·九年级校联考阶段练习）如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，与射线OA，OB分别交于点C，D，再分别以C，D为圆心，以大于12CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点N，画射线ON，过点N作MN∥OB，交OA于点(1)射线ON是∠AOB的；(2)证明：OM=MN．32．（2023·湖北武汉·统考一模）如图，BE是△ABC的角平分线，点D在AB上，且DE∥(1)求证：DB=DE；(2)若∠A=60°，∠C=50°，求∠BED的大小．33．（2023秋·湖南岳阳·八年级统考期末）如右图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点(1)求证：BE=DE；(2)若∠A=75°，∠C=37°，求∠BDE的度数．34．（2022秋·重庆·八年级校考期中）尺规作图并完成证明．如图，点D、点F在△ABC外，连接AF、AD、BD，且AF∥BC，∠ABD=∠CAF，(1)用尺规完成以下基本作图：作∠ABC的平分线BE交AF于点E，连接CE（保留作图痕迹，不写作法）；(2)根据（1）中作图，求证：AD=CE；请完善下面的证明过程．证明：∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=__________．∵AF∥∴∠CBE=__________．∴∠ABE=∠AEB．∴__________．在△ACE和△BDA中，AE=AB∴△ACE≌△BDA．∴__________．35．（2021春·江西吉安·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC(1)若∠C=36°，求∠BAD(2)求证：EF=EC微专题01角平分线+平行线通关专练一、单选题1．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，则线段EF的长是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由角的等量关系可分别得出△ABE和△DCF是等腰三角形，得出AB=AE，DC=DF，再结合AB=4，AD=6，利用线段的和差即可解决．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，又∵CF平分∠BCD，∴∠DCF=∠FCB，∴∠DFC=∠DCF，∴DF=DC=4，同理可证：AE=AB=4，∴EF=AE+DF−AD=4+4−6=2，故选B．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌握．2．（2023春·山东枣庄·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F则CF的长为（）

A．2 B．3 C．3.5 D．4【答案】B【分析】直接利用平行四边形的性质结合角平分线的性质得出CD=AB=6，∠DAF=∠F，进而求出DF=AD=9的长即可由FC=DF−CD得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=6，AB∥∴∠BAF=∠F，∵∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，∴∠BAF=∠DAF，∴∠DAF=∠F，∴DF=AD=9，∴FC=DF−CD=9−3=3，故选：B．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定．利用平行线与角平分线得出∠DAF=∠F是解题的关键．3．（2023·全国·八年级假期作业）如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，若DE=5，BD=3，则线段CE的长为（

）

A．2 B．1 C．3 D．4【答案】A【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得∠DBO=∠BOD,∠ECO=∠COE，进而可得BD=OD,CE=OE，即得DE=BD+CE，再结合已知数据求解即可.【详解】解：∵OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBO=∠CBO,∠ECO=∠BCO，∵DE∥∴∠DOB=∠CBO,∠EOC=∠BCO，∴∠DBO=∠BOD,∠ECO=∠COE，∴BD=OD,CE=OE，∴DE=DO+EO=BD+CE，∵DE=5，BD=3，∴CE=DE−BD=5−3=2；故选：A.【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义和等腰三角形的判定等知识，属于常见题型，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键.4．（2023春·广东广州·八年级广州市番禺区钟村中学校考期中）如图，在▱ABCD中，已知AD=8cm，AB=5cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（

A．1cm B．2cm C．3cm【答案】C【分析】先根据平行四边形的性质得到AD∥CB，BC=AD=8cm，CD=AB=5cm，再利用平行线的性质和角平分线的定义得到【详解】解：在▱ABCD中，AD∥CB，BC=AD=8cm∴∠ADE=∠DEC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠EDC，则∠DEC=∠EDC，∴CE=CD=5cm∴BE=BC−CE=3cm故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的形、角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定，证得CE=CD是解答的关键．5．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，BC⊥OB于点C．若EC=1，则OF=（

）A．2 B．1.5 C．3 D．1【答案】A【分析】过E点作EH⊥OA于H点，根据角平分线的性质得到EH=EC=1，再根据平行线的性质得到∠FEO=∠BOE=15°，则FE=FO，接着计算出∠EFH=30°，则利用含30度角的直角三角形三边的关系得到EF=2，从而得到OF的长．【详解】解：过E点作EH⊥OA于H点，如图，∵∠AOE=∠BOE=15°，∴OE平分∠AOB，EC⊥OB，EH⊥OA，∴EH=EC=1，∵EF∥OB，∴∠FEO=∠BOE=15°，∴∠FEO=∠FOE，∴FE=FO，∵∠EFH=∠FEO+∠FOE=30°，∴EF=2EH=2，∴OF=2．故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了平行线的性质、含30度角的直角三角形的性质．6．（2023春·江苏盐城·八年级统考期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点B，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB=3，AD=4，则EF的长是（

）A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】D【分析】根据平行四边形的性质证明DF=CD，AE=AB，进而可得AF和ED的长，然后可得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD=3，∴∠DFC=∠FCB，又∵CF平分∠BCD，∴∠DCF=∠FCB，∴∠DFC=∠DCF，∴DF=DC=3，同理可证：AE=AB=3，∵AD=4，∴AF=AD−DF=4−3=1，DE=AD−AE=4−3=1，∴EF=4−1−1=2，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题．7．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，若AB+AC=8，则△ADE的周长为（A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】根据角平分线的定义得到∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB，平行线的性质得到∠BFD=∠FBC，∠CFE=∠FCB，等量代换得到∠ABF=∠BFD，∠ACF=∠CFE，根据等腰三角形的判定定理得到BD=FD，CE=FE，即可得到结论．【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，∴∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB，∵DE∥∴∠BFD=∠FBC，∠CFE=∠FCB，∴∠ABF=∠BFD，∠ACF=∠CFE，∴BD=FD，CE=FE，∵AB+AC=8，∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DF+EF+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=8．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，证明BD=FD，CE=FE是解本题的关键．8．（2023春·海南海口·九年级海口实验中学校考开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=5，BC=4，点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥BC交AB于点Q，DA．107 B．157 C．207【答案】B【分析】根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠QBD=∠BDQ，得到QB=【详解】解：∵∠C=90°，AB=5，∴AC=A∵PQ∥BC，∴∠CBD=∠BDQ，∵BD平分∠ABC时，∴∠CBD=∠QBD，∴∠QBD=∠BDQ，∴QB=QD，∵D为线段PQ的中点，∴QP=2QD=2QB，∵PQ∥BC，∴△CPQ∼△CAB，∴APAC=解得QB=107，故选B．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定等，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．9．（2023春·河南商丘·九年级专题练习）如图，△ABC中，D、E分别BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=8，则DF的长是（

）A．2 B．3 C．52 【答案】D【分析】首先根据条件D、E分别是BC、AC的中点可得DE∥AB，再求出∠BFD=∠DBF，根据等角对等边可得到【详解】解：∵△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，∴DE∥AB，∴∠ABF=∠BFD，∵BF平分∠ABC，∴∠FBC=∠ABF，∴∠BFD=∠DBF，∴DB=DF=4，故选：D．【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理的应用，解题的关键是证明DE∥AB，可得到10．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，若AB=12，DE=7，则AE的长为（A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】由角平分线的定义和平行线的性质，得到∠ABD=∠EDB，则BE=DE=7，即可求出答案．【详解】解：∵在△ABC中，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵DE∥∴∠CBD=∠EDB，∴∠ABD=∠EDB，∴BE=DE=7，∴AE=AB−BE=12−7=5；故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的定义和平行线的性质，解题的关键是掌握所学的知识进行计算．11．（2023春·江苏扬州·七年级期中）如图，在△ABC中，AB=4，AC=5，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB，AC于A．8 B．9 C．10 D．不确定【答案】B【分析】根据角平分线的定义和MN∥BC可以得出MB=ME，NC=NE，继而可以得出△AMN的周长【详解】解：∵MN∥∴∠MEB=∠EBC．∵BE平分∠ABC，∴∠MBE=∠EBC，∴∠MEB=∠MBE．∴MB=ME．同理，NC=NE，∴C△AMN故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等角对等边，利用角平分线及平行线的性质得出∠MEB=∠MBE是解题的关键.12．（2022秋·江苏·八年级期末）如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，△AMN的周长为33，AB=15，则AC为（

）A．15 B．18 C．20 D．23【答案】B【分析】先根据平行线的性质和角平分线的定义证明MO=BM，∠NO=CN，再根据等角对等边证明MO=BM，NO=CN，求出AB+AC=33，即可得出答案．【详解】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO，∵MN∥BC，∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠BCO，∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO，∴MO=BM，NO=CN，∴MN=MO+ON=BM+CN，∴AM+MN+AN=AM+BM+AN+NC=AB+AC=33，∵AB=15，∴AC=33−15=18，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，解题的关键是根据已知条件证明MN=MO+ON=BM+CN，求出AB+AC=33．13．（2021秋·河南新乡·八年级校考期中）如图，△ABC中，BE是角平分线，DE∥BC交AB于D，交AC于E，若DE=7，AD=5，则AB=（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【分析】根据角平分线的定义得到∠ABE＝∠CBE，根据平行线的性质得到∠DEB＝∠CBE，等量代换得到∠ABE＝∠DEB，求得BD＝DE＝7，即可得到结论．【详解】解：∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠CBE，∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠CBE，∴∠ABE＝∠DEB，∴BD＝DE＝7，∵AB＝AD＋BD，∴AB＝5＋7＝12．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．14．（2022·安徽·统考二模）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线BD，CD交于点D，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F．若BE=2，CF=3，BC=9，则AE的长为（

）A．2.5 B．4.5 C．3.75 D．6.75【答案】A【分析】由角平分线的性质得到∠ABD=∠DBC，∠ACD=∠DCB，由两直线平行内错角相等得到∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，进而证明BE=ED，【详解】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠ABD=∠DBC∵EF∴∠EDB=∠DBC∴∠ABD=∠EDB∴BE=ED∵BE=2∴EF=DE+DF=BE+FC=2+3=5∵EF∴△AEF∼△ABC∴∴∴4AE=10∴AE=2.5故选：A．【点睛】本题考查等角对等边、平行线的性质、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．15．（2023春·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，DE∥AB交BC于点E，F为AB上一点，连接DF、EF．已知DC=5，CE=12，则A．30 B．32.5 C．60 D．78【答案】B【分析】在Rt△DCE中，依据勾股定理求出DE=13，由“BD是△ABC的角平分线，DE∥AB”，依据角平分线的定义、平行线的性质、等量代换及等角对等边，可得BE=DE=13，由等底等高的三角形面积相等可知，【详解】解：∵在Rt△DCE中，∠C=90∘，DC=5∴DE=D∵BD是△ABC的角平分线，DE∥∴∠EBD=∠FBD，∠FBD=∠EDB，∴∠EBD=∠EDB，∴BE=DE=13，∵DE∥∴△DEF和△DEB的面积相等，∴S△DEF故选：B．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识的掌握情况，解题的关键是理解△DEF和△DEB的面积相等．二、填空题16．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE=3，CD=4，ED=5，则FG的长为__．

【答案】2【分析】根据平行线的性质得到∠EGB=∠GBC，∠DFC=∠FCB，由角平分线的定义得到∠GBC=∠GBE，∠FCB=∠FCD，于是得到BE=EG，CD=DF，代入数据即可得到结论．【详解】解：∵ED∥∴∠EGB=∠GBC，∠DFC=∠FCB，∵∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，∴∠GBC=∠GBE，∠FCB=∠FCD，∴∠EGB=∠EBG，∠DCF=∠DFC，∴BE=EG，CD=DF，∵BE=3，CD=4，ED=5，∴EB+CD=EG+DF=EF+FG+FG+DG=ED+FG，即3+4=5+FG，∴FG=2，故答案为2．

【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明，属于基础题．17．（2023春·山西太原·八年级山西实验中学校考阶段练习）如图，CE是△ABC的角平分线，EF∥BC交AC于点F，则【答案】等腰三角形【分析】根据角平分线的定义得出∠ACE=∠BCE，根据平行线的性质得出∠FEC=∠BCE，等量代换得出∠ACE=∠FEC，根据等角对等边得出FE=FC，即可求解．【详解】解：∵CE是△ABC的角平分线，∴∠ACE=∠BCE，∵EF∥∴∠FEC=∠BCE，∴∠ACE=∠FEC，∴FE=FC，∴△FEC是等腰三角形．故答案为：等腰三角形．【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角对等边，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．18．（2023春·湖北黄冈·八年级校考期中）如图，DE为△ABC的中位线，且BF平分∠ABC交DE于点F．若AB=6，BC=10，则EF=_____________．【答案】2【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得ED∥BC，ED=12BC【详解】解：∵DE是△ABC的中位线，BC=10，∴ED∥BC，∴∠DFB=∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠FBC，∴∠DBF=∠DFB，∴BD=FD，∵AB=6，ED是△ABC的中位线，∴BD=1∴EF=DE−DF=DE−BD=5−3=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，角平分线的定义，平行线的性质，以及等角对等边的性质，熟记性质以及定理，求出BD=FD是解题的关键．19．（2023春·陕西西安·八年级西安市华山中学校考阶段练习）如图，△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC，E点在AB边上，如果△BED周长为25cm，BD=8cm，则【答案】17【分析】先根据平行线的性质和角平分线的定义得出∠EDA=∠EAD，根据等角对等边得出ED=EA，根据△BED周长为25cm，BD=8cm，求出【详解】解：∵AD是角平分线，∴∠EAD=∠CAD，∵DE∥∴∠EDA=∠CAD，∴∠EDA=∠EAD，∴ED=EA，∵C△BED∴BD+AE+BE=25cm即BD+AB=25cm∵BD=8cm∴AB=25−8=17cm故答案为：17．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，解题的关键是证明ED=EA．20．（2023秋·福建漳州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，BE，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，ED∥AC，交BC于点D，EF⊥AB于点F．若BC=35，EF=5，DE=13，则△EBD的面积为________．【答案】55【分析】过E作EM⊥BC于M，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求得EM，根据平行线和角平分线的性质易证∠DCE=∠DEC，根据等角对等边求得CD，从而求得BD，最后根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：过E作EM⊥BC于M，∵BE平分∠ABC，EM⊥BC，EF⊥AB，EF=5，∴EM=EF=5，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠DCE，∵ED∥AC，∴∠ACE=∠DEC，∴∠DCE=∠DEC，∴CD=DE=13，∵BC=35，∴BD=BC−CD=35−13=22，∴S故答案为：55．【点睛】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质的综合应用以及等角对等边的应用；解题的关键是熟练掌握相关性质．21．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过点E作DF∥BC交AB于D、交AC于F，若AB=4，AC=3，则【答案】7【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义得出BD=DE，EF=FC，进而解答即可．【详解】解：∵DF∥∴∠DEB=∠EBC，∠FEC=∠ECB，∵BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠DBE=∠EBC，∠FCE=∠ECB，∴∠DBE=∠DEB，∠FEC=∠FCE，∴BD=DE，EF=FC，∴C=AD+AF+DE+EF=AD+AF+BD+FC=AB+AC=4+3=7．故答案为：7．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定，平行线的性质以及角平分线的定义，有效的进行线段的等量代换是解题的关键．22．（2023春·八年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥BC，交AC于点E，若BC=9【答案】3【分析】先根据含30°直角三角形的性质，得出AC=12BC=92，再证明∠ECD=∠EDC=30°【详解】解：∵∠A=90°，∠B=30°，BC=9，∴AC=12BC=∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=1∵DE∥∴∠ADE=∠B=30°，∠EDC=∠BCD=30°，∴∠ECD=∠EDC=30°，∴CE=DE，∵∠A=90°，∠EDC=30°，∴AE=1∴AE=1【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是根据含30°直角三角形的性质和等腰三角形的判定，得出AE=123．（2020秋·江苏南京·八年级南京第五初中校考阶段练习）如图，已知△ABC，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE于点E、D，若AC＝3，AB＝4，BC＝5，则DE的长为________．【答案】7【分析】BE为∠ABC的角平分线，∠EBC=∠ABE，CD为∠ACB的角平分线，则∠ACD=∠DCB，因为BC∥DE，根据平行线的性质，内错角相等，可得出AD=AC，AB=AE，所以DE=AD+AE=AB+AC，从而可求出DE的长度．【详解】解：∵BE为∠ABC的角平分线，CD为∠ACB的角平分线，∴∠EBC=∠ABE，∠ACD=∠DCB；∵DE∥BC，∴∠DCB=∠CDE，∠EBC=∠BED；∴∠ADC=∠ACD，∠ABE=∠AEB，∴AD=AC，AB=AE；∴DE=AD+AE=AB+AC=3+4=7；故答案为：7．【点睛】本题综合考查了勾股定理、平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质．熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．24．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC，交AB于点（1）若AE＝4，则DE的长为______；（2）若AB＝10，则DE的长为______．【答案】45【分析】(1)根据平行线的性质和角平分线的定义可得DE=AE=4．(2)由∠ADB=90°，可得∠ADE+∠BDE=∠BAD+∠ABD=90°．易证∠ADE=∠BAD,∠BDE=∠ABD，可得EB=ED=AE,则可求出DE的长．【详解】(1)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．∵DE∥AC，∴∠ADE=∠CAD，∴∠BAD=∠ADE，∴DE=AE．∵AE=4，∴DE=4．故答案为4．(2)∵BD丄AD，∴∠ADB=90º．∴∠ADE+∠BDE=∠BAD+∠ABD=90º．∵DE=AE，∴∠ADE=∠BAD，∴∠BDE=∠ABD，∴EB=ED，∴EB=ED=AE=12AB=1∴DE=5．故答案为5．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，以及等角对等边．熟练掌握以上性质是解题的关键．25．（2022秋·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，O是△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若△ODE的周长为10cm，那么BC的长为_____．【答案】10cm【分析】由角平分线的性质、平行线的性质可得OD=BD，OE=CE，从而BC的长等于△ODE的周长，问题即解决．【详解】∵BO平分∠ABC∴∠ABO=∠DBO∵OD∥AB∴∠DOB=∠ABO∴∠DBO=∠DOB∴OD=BD同理OE=CE∵OD+DE+OE=10cm∴BC=BD+DE+CE=OD+DE+OE=10cm故答案为：10cm【点睛】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定，关键是利用角平分线的性质、平行线的性质得到两个等腰三角形．三、解答题26．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．求证：△ACD为等腰三角形．

【答案】证明见解析【分析】利用平行线的性质得出∠1=∠3，进而利用等腰三角形的性质得出AC=AD即可.【详解】证明：∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2．

∵AD∥∴∠2=∠3．∴∠1=∠3．∴AB=AD．∵AB=AC，∴AC=AD，∴△ACD为等腰三角形；【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟记等角对等边是解本题的关键．27．（2023春·上海闵行·七年级统考期末）已知：如图，在△ABC中，已知BD平分∠ABC，DE∥BC，点M是BD的中点．请说明

解：因为BD平分∠ABC（已知），所以∠CBD=______（角平分线的意义）．因为DE∥所以∠CBD=∠BDE（______）．所以∠BDE=______（______）．所以EB=ED（______）．因为点M是BD的中点（已知），所以EM⊥BD（______）．【答案】见解析【分析】根据角平分线和平行线的性质可得∠BDE=∠ABD，再由等角对等边可得EB=ED，根据等腰三角形三线合一，即可得出结论．【详解】解：因为BD平分∠ABC（已知），所以∠CBD=∠ABD（角平分线的意义）．因为DE∥所以∠CBD=∠BDE（两直线平行，内错角相等）．所以∠BDE=∠ABD（等量代换）．所以EB=ED（同一个三角形中，等角对等边）．因为点M是BD的中点（已知），所以EM⊥BD（等腰三角形三线合一）．【点睛】本题考查了角平分线的意义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．28．（2023春·江西抚州·八年级江西省抚州市第一中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D．

(1)若∠B=37°，求∠CAD的度数；(2)若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F．求证：【答案】(1)53°(2)见解析【分析】（1）根据等腰三角形底角相等，再根据直角三角形的性质即可求得∠CAD；（2）根据两直线平行内错角相等，再根据AD是∠BAC的角平分线即可得到∠DAC=∠F，从而证得AE=FE．【详解】（1）解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠B=∠C=37°，∠ADC=90°，∴∠CAD=90°−∠C=53°；（2）证明：∵EF∥∴∠BAF=∠F，∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAF=∠DAC，∴∠DAC=∠F，∴AE=FE．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形、平行线、直角三角形的相关知识．29．（2023春·广东清远·八年级统考期中）请将下列证明过程补充完整．求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠CAE，AD∥BC，求证：证明：∵AD∥∴∠1=∠B（

），∠2=∠C（

），∵AD平分∠CAE，∴∠1=∠2（角平分线的定义），∴∠B=∠C（

），∴AB=AC（

）．【答案】两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；等量代换；同一个三角形中，等角对等边【分析】只需要利用平行线的性质和角平分线的定义证明∠B=∠C，即可证明AB=AC．【详解】证明：∵AD∥∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），∠2=∠C（两直线平行，内错角相等），∵AD平分∠CAE，∴∠1=∠2（角平分线的定义），∴∠B=∠C（等量代换），∴AB=AC（同一个三角形中，等角对等边）故答案为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；等量代换；同一个三角形中，等角对等边．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，证明∠B=∠C是解题的关键．30．（2022秋·七年级单元测试）如图，已知△ABC中，过点B作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，作DE∥AC交AB于E．求证：

【答案】证明见解析【分析】先根据角平分线的定义和平行线的性质，推出∠BAD=∠EDA，进而得到AE=ED，根据垂线的定义，推出∠ABD=∠BDE，进而得到BE=ED，即可证明AE=BE．【详解】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥∴∠EDA=∠CAD，∴∠BAD=∠EDA，∴AE=ED，∵AD⊥BD，∴∠BAD+∠ABD=90°，∠EDA+∠BDE=90°，∴∠ABD=∠BDE，∴BE=ED，∴AE=BE．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，垂线的定义，熟练掌等角对等边的性质是解题关键．31．（2023春·湖南长沙·九年级校联考阶段练习）如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，与射线OA，OB分别交于点C，D，再分别以C，D为圆心，以大于12CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点N，画射线ON，过点N作MN∥OB，交OA于点(1)射线ON是∠AOB的；(2)证明：OM=MN．【答案】(1)平分线；(2)证明见解析．【分析】（1）根据尺规作图过程，即可得到答案；（2）根据角平分线的定义得到∠AON=∠BON，再利用平行的性质，得到∠BON=∠MNO，最后根据等角对等边的性质即可证明结论．【详解】（1）解：由尺规作图过程可知，射线ON是∠AOB的平分线．故答案为：平分线．（2）证明：∵ON是∠AOB的平分线，∴∠AON=∠BON，∵MN//OB，∴∠BON=∠MNO，∴∠AON=∠MNO，∴OM=MN．【点睛】本题考查了尺规作图—角平分线，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形等角对等边的性质是解题关键．32．（2023·湖北武汉·统考一模）如图，BE是△ABC的角平分线，点D在AB上，且DE∥(1)求证：DB=DE；(2)若∠A=60°，∠C=50°，求∠BED的大小．【答案】(1