九年级数学相似三角形的判定培优教程

九年级数学相似三角形的判定培优教程考点·方法·破译1.理解掌握三角形相似的三个判定定理，能根据已知条件选择合适的定理证明三角形相似;2.能灵活根据需要找相似三角形，并能熟练进行比例变换、等积变换;3.会进行数形转化，将等积问题、比例问题、求边长及证角相等等问题转化为证相似求解.经典·考题·赏析【例1】(新疆)如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()【解法指导】本题主要用SAS和SSS进行判定，若能运用排除法就更便捷，方法是根据△ABC的最大角等于135°,而B、C、D的钝角均小于135°，且A中三角形夹钝角两边之比为1:2，与△ABC夹钝角两边之比相等，由SAS可判定它们相似.本题应选A.【变式题组】1.(沈阳)如图，AC是矩形ABCD的对角线,E是边BC延长线上一点，AE与CD交于点F，则图中相似三角形共有()对ABC第4题图DABCDO第3题图ADBC第2题图A.2对 ABC第4题图DABCDO第3题图ADBC第2题图AADF第1题图第1题图BCE12122.(滨州)如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD·AB。其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为()A.1 B.2 C.3 D.43.(山西)如图，AB是⊙O的直径,AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC//OD,AB=2,OD=3，则BC的长为()A. B. C. D.4.(牡丹江)如图,△ABC中，CD⊥AB于D，一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是()①∠1=∠A，②，③∠B+∠2=90°,④BC：AC：AB=3：4：5，⑤AC·BD=AC·CDA．1 B.2 C.3 D.4【例2】(潍坊)如图，AC是圆O的直径，AC=10厘米，PA、PB是圆O的切线，A、B为切点，过A作AD⊥BP，交BP于D点，连结AB、BC.(1)求证△ABC∽△ADB;(2)若切线AP的长为12厘米，求弦AB的长.【解法指导】(1)证明:∵AC是圆O的直径，∴∠ABC=90°，又∵AD⊥BP，∴∠ADB=90°，∴∠ABC=∠ADB,又∵PB是圆的切线，∴∠ABD=∠ACBABCDPO在△ABC和△ADB中:ABCDPO连结OP，在Rt△AOP中，AP=12厘米，OA=5厘米，根据勾股定理求得OP=13厘米，又由已知可证得△ABC∽△PAO，∴【变式题组】ABCPO5.(清远)如图，已知AB是⊙O的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点ABCPO(1)求证:△ABC∽△POA；(2)若OB=2，OP=.求BC线段的长.6.(梅州)如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F.（1）△ADE∽△BEF；（2）设正方形的边长为4,AE=x，BF=y.当x取什么值时，y有最大值?并求出这个最大值.AABCDEF【例3】(怀化)如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG、AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N，求证:(1)AE=CG;(2)AN·ND=CN·MN.ABCDEFGNM【解法指导】证明:（1）∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形∴AD=CD，DE=DG,∠ADC=∠EDC=90°，∴∠ADE=∠CDGABCDEFGNM（2）由(1)得△ADE≌△CDG,∴∠DAE=∠DCG，又∠ANM=∠CND,∴，即AN·DN=CN·MN∴△AMN∽△CDN【变式题组】ABCDEFG7.(泰安)如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.(1)求证：FD2=FB•FC；(2)若G是BC的中点，连接ABCDEFG【例4】(安徽)如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C,∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F,ME交BC于G.(1)写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对；(2)请连接FG.如果α=45°，AB=，AC=3，求FG长。【解法指导】解:(1)△AMF∽△BGM,△DMG∽△DBM,△EMF∽△EAM(写出两对即可)以下证明△AMF∽△BGM.∵∠AFM=∠DME+∠E=∠A+∠E=∠BMG，∠A=∠B∴△AMF∽△BGM.（2）解:当α=45°时，可得AC⊥BC且AC=BC,∵M为AB的中点，∴AM=BM=又∵△AMF∽△BGM，∴∴又AC=BC=cos45°=4，∴CG=4-=，CF=4-3=1∴FG=【变式题组】ABCDMN(中山)正方形ABED边长为4,M,N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，(1)证明:Rt△ABM∽Rt△MCN;(2)设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式;当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积;(3)当M点运动到什么位置时Rt△ABCDMN【例5】(全国竞赛)如图，已知四边形ABCD的内接圆⊙O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E,AE=EC，AB=AE，且BD=,求四边形ABCD的面积.【解法指导】本题要根据等积式化成比例式，再利用两边对应成比例,夹角相等判定△ABE∽△ACB，推出∠ABE=∠ACB.(要注意逆向思维的应用)解：由题设得AB2=2AE2=AE·AC,∵AB：AC=AE：AB，又∠EAB=∠BAC，∴△ABE∽△ACB，∴∠ABE=∠ACB，从而AB=AD。连结AO，交BD于H,则BH=HD=.∴OH=，AH=OA-OH=2-1=1.∴，∵E是AC的中点，∴S△ABE=S△BCE，S△ADE=S△CDE，∴S△ABD=S△BCD，S四边形ABCD=2S△ABD=。【变式题组】9.(全国联赛)在锐角△ABC中，AD⊥BC,D为垂足，DE⊥AC,E为垂足，DF⊥AB,F为垂足.O为△ABC的外心.求证:(1)△AEF∽△ABC；(2)AO⊥EF.演练巩固反馈提高(南昌)下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）(恩施)如图，在△ABC中，∠C=90°,∠B=60°,D是AC上一点,DE⊥AB于E，且CD=2,DE=1，则BC的长为()A.2 B. C. D.(梧州)如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于（）A. B. C. D.4.(山西)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,BC=3,AC=4,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为()A. B. C. D.5.(抚顺)如图，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G,FG=2，则CF的长为()A.4 B.4.5 C.5 D.66.(烟台)如图，△ABC与△AEF中，AB=AE,BC=EF,∠B=∠E,AB交EF于D.给出下列结论:①∠AFC=∠C；②DF=CF；③△ADE∽△FDB;④∠BFD=∠CAF.其中正确的结论是________(填写所有正确结论的序号).ABCDE7.(肇庆)如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE.(1)求证:∠CBE=36°；(2)求证：AE2=ABCDEABCDEO8.(怀化)如图，直线DE经过⊙O上的点C，并且OE=OD,EC=DC,⊙O交直线OD于A、B两点，连接BC、AC,OC.求证:(1)OC⊥DE；(2)ABCDEO培优升级奥赛检测1.(吉林)如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF.(1)求证:△CBE∽△AFB；(2)当时，求的值FFBACDEO2.(恩施)如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFC摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合，点E不与点C重合)，设BE=m,CD=n.(1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.(2)求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.(3)以△ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图2)在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD2+CE2=DE2.A(4)在旋转过程中，(3)中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立，若成立，请证明;若不成立,请说明理由.AAAAABCDEGFCEODBGCEODBG图2图2图1F图1F3.(荆门)如图，半径为的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点.(1)求证：