2025年中考数学复习之分式方程

2025年中考数学复习热搜题速递之分式方程

选择题（共10小题）

Xm

1.分式方程—--1=有增根，则m的值为（)

(x-l)(%+2)

A.0和3B.1C.1和一2D.3

2.关于x的分式方程——=1的解为正数，则字母〃的取值范围为（）

x+1

A.-1B.a>-1C.-1D.a<--1

2x—a1

3.若关于x的分式方程一7=7的解为非负数，则〃的取值范围是（）

X-22

A.B.a>\C.心1且D.。>1且。#4

ax4

4.若关于x的方程一；=—+1无解，则a的值为（）

x-2x-2

A.1B.2C.1或2D.0或2

5.已知方程土上-°=工，且关于x的不等式组任只有4个整数解，那么6的取值范围是（

a-4"a<b

A.-1V6W3B.2<b^3C.8W6V9D.3Wb<4

7723

6.已知关于x的分式方程——+——=1的解是非负数，则相的取值范围是（）

x-11-x

A.m>2B.m^2C.m22且用W3D.加>2且znW3

7.A,8两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至8地，又立即从8地逆流返回A地，共用去9小

时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为％千米/时，则可列方程（）

48484848

A.——+——=9B.——+——=9

x+4x-44+x4-X

489696

C.—+4=9D.——+——=9

xx+4x-4

XA-7TI3??1

8.若关于元的方程一二+—=3的解为正数，则m的取值范围是（）

x-33-x

A.m<TB.m且相。2

993

C.m>--TD.根〉一彳且根。一彳

fm-5x>22-my8

9.如果关于x的不等式组11/,,1、有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程——--——=1

[X<3（%+2）2-yy-2

有非负数解，则符合条件的所有整数机的和是（）

A.13B.15C.20D.22

10.解分式方程二+—=3时，去分母后变形为（）

x-11-x

A.2+(尤+2)=3(x-1)B.2-x+2=3(x-1)

C.2-(x+2)=3(1-x)D.2-(x+2)=3(x-1)

填空题(共5小题)

27YLX3

11.若关于X的分式方程一；+丁:无解，则机=.

x-2X2-4X+2

dx41

12.若关于x的方程—-=--+1无解，则a的值是________.

%-2%-2

%+/ck

13.已知关于x的分式方程一---=1的解为负数，则k的取值范围是_____________________.

x+1x-1

2久+772

14.已知关于x的方程----=3的解是正数，则m的取值范围是

x-2

15.已知关于x的方程3=机的解满足仁=3(0<n<3),若y>l,则m的取值范围

x(%+2y=5九J

是.

三.解答题(共5小题)

16.京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书

中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的|；若由甲队先做10天,

剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成.

(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？

(2)已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元.工程预算的施工费用为

500万元.为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少

万元？请给出你的判断并说明理由.

17.某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商

家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元.

(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件？

(2)若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率

不低于25%(不考虑其他因素)，那么每件衬衫的标价至少是多少元？

X+134

18.解分式方程：-V-=——-——.

4x2-l2x+l4x-2

27YLX3

19.(1)若解关于％的分式方程一；+二—;会产生增根，求相的值.

x-2x2-4x+2

2

(2)若方程——=-1的解是正数，求。的取值范围.

x-2

20.为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场.现有甲、

乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息:

信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天;

信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.

根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？

2025年中考数学复习热搜题速递之分式方程(2024年7月)

参考答案与试题解析

一.选择题(共10小题)

XYfi

1.分式方程工.1=E均有增根,则m的值为()

A.。和3B.1C.1和-2D.3

【考点】分式方程的增根；解一元一次方程.

【专题】分式；运算能力.

【答案】D

【分析】根据分式方程有增根，得出x-1=0,x+2=0,再代入求出即可.

Xm

【解答】解::分式方程占一L有增根,

(x-l)(x+2)

.'.x-1=0,x+2=0,

=X2=-2.

两边同时乘以(x-1)(x+2),原方程可化为x(x+2)-(x-1)(x+2)=m,

整理得，m=x+2,

当x=l时，代入得：m=l+2=3,

当x=-2时，代入得：m=-2+2=0(当初=0时，方程为-----1=0,此时方程无解，舍去)，

x-1

故选：D.

【点评】本题主要考查对分式方程的增根，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，理解分式方程的增

根的意义是解此题的关键.

2.关于x的分式方程之二=1的解为正数，则字母a的取值范围为()

x+1

A._1B.。＞_1C.aW_1D.-1

【考点】分式方程的解.

【专题】计算题.

【答案】B

【分析】将分式方程化为整式方程，求得尤的值，然后根据解为正数，求得。的范围，但还应考虑分母

x+lNO即尤W-1.

【解答】解：分式方程去分母得：2x-a=x+l,

解得：x=a+l,

根据题意得：。+1>0且a+iw-1,

解得:a>-1且aW-2.

即字母。的取值范围为。>-1.

故选：B.

【点评】本题考查了分式方程的解，本题需注意在任何时候都要考虑分母不为0.

2%—CL1

3.若关于x的分式方程——=-的解为非负数，则。的取值范围是（）

X-22

A.B.a>lC.心1且aW4D.。>1且。片4

【考点】分式方程的解.

【答案】C

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为

0求出。的范围即可.

【解答】解:去分母得：2（2x-a）=x-2,

解得：x=2%

2a—22a—2

由题意得:>0且-。--2-,-

33

解得：且QTM,

故选：C.

【点评】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0.

ax4

4.若关于尤的方程一；--+1无解，则a的值为（）

x-2x-2

A.1B.2C.1或2D.0或2

【考点】分式方程的解.

【专题】运算能力；模型思想.

【答案】C

【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的

分母等于0.

【解答】解：方程去分母得：ax=4+x-2

解得：（aT）x=2）

.•.当a-1=0即a=l时，整式方程无解，分式方程无解；

9

当〃W1时，X=——7

x=2时分母为0,方程无解，

r2

即---=2,

Q—1

4=2时方程无解.

故选：C.

【点评】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容.

5.己知方程土4-°=工，且关于x的不等式组卜只有4个整数解，那么6的取值范围是()

a-44-akx<b

A.-1<6W3B.2<6W3C.8W6<9D.3Wb<4

【考点】分式方程的解；一元一次不等式组的整数解.

【专题】计算题.

【答案】D

【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到a的值,经检验确定出分式方程的解，

根据已知不等式组只有4个正整数解，即可确定出b的范围.

【解答】解：分式方程去分母得：3-«-a2+4a=-1,即(a-4)(a+1)=0,

解得：a=4或a=-1,

经检验。=4是增根，故分式方程的解为。=-1,

已知不等式组解得：-l<xWb,

..•不等式组只有4个整数解，

；.3W6<4.

故选：D.

【点评】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题意是解本题的关键.

77)3

6.已知关于x的分式方程——+——=1的解是非负数，则相的取值范围是()

x-11-x

A.m>2B.m22C.m22且加W3D.m>2且加W3

【考点】分式方程的解.

【专题】计算题.

【答案】c

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出无，根据方程的解为非负数求出相

的范围即可.

【解答】解：分式方程去分母得：〃z-3=x-l,

解得：x—m-2,

由方程的解为非负数，得到机-220,且机-2W1,

解得：加22且m丰3.

故选：C.

【点评】此题考查了分式方程的解，时刻注意分母不为0这个条件.

7.A,5两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至5地，又立即从3地逆流返回A地，共用去9小

时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程()

48484848

A.-----+------=9B.-----+------=9

%+4%-44+x4-x

489696

C.—+4=9D.-----+------=9

xx+4x-4

【考点】由实际问题抽象出分式方程.

【专题】应用题.

【答案】A

【分析】本题的等量关系为：顺流时间+逆流时间=9小时.

4848

【解答】解:顺流时间为：;逆流时间为：----

%+4X-4

4848

所列方程为:-----+------=9.

x+4x-4

故选：A.

【点评】未知量是速度，有速度，一定是根据时间来列等量关系的.找到关键描述语，找到等量关系是

解决问题的关键.

8.若关于x的方程+=3的解为正数,则小的取值范围是()

993

<

m---

A.222

9

C9

-D.根〉一彳且根W一

44

【考点】分式方程的解.

【答案】B

【分析】直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出工的取值范围，进而得出答案.

【解答】解：去分母得：x+m-3m=3x-9,

整理得:2x=-2m+9,

—2m+9

解得：x=

-2-

xA-TR.3nr

・•・关于x的方程=+0=3的解为正数,

l-2m+9

-2m+9>0且-------K3

2

a9

解得：MZ<2且mA2,

qQ

故机的取值范围是：机<2且加力N

故选：B.

【点评】此题主要考查了分式方程的解以及不等式的解法，正确解分式方程是解题关键.

fm-5x>22-my8

9.如果关于x的不等式组11—,1、有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程=上--；=1

<3(%+2)2-yy-2

有非负数解，则符合条件的所有整数根的和是()

A.13B.15C.20D.22

【考点】分式方程的解；一元一次不等式组的整数解.

【专题】分式方程及应用；运算能力.

【答案】B

【分析】根据不等式组的整数解的个数确定机的取值范围，再根据分式方程的非负数解确定机的取值

范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论.

【解答】解：原不等式组的解集为-〈43丝萨，

因为不等式组有且仅有四个整数解，

所以0W警VI,

解得2W相<7.

原分式方程的解为了=3，

因为分式方程有非负数解，

8

所以贰M20,解得%>1,且相W5,因为加=5时y=2是原分式方程的增根.

所以符合条件的所有整数m的和是2+3+4+6=15.

故选：B.

【点评】本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个

数确定机的取值范围.

2%+2

10.解分式方程+--=3时，去分母后变形为()

x-11-x

A.2+(x+2)—3(x-1)B.2-x+2—3(x-1)

C.2-(x+2)=3(1-x)D.2-(x+2)=3(x-1)

【考点】解分式方程.

【答案】D

【分析】本题考查对一个分式确定最简公分母，去分母得能力.观察式子x-1和1-尤互为相反数，可

得l-x=-(x-1),所以可得最简公分母为x-1,因为去分母时式子不能漏乘，所以方程中式子每一

项都要乘最简公分母.

【解答】解：方程两边都乘以X-1,

得：2-(x+2)=3(x-1).

故选：D.

【点评】考查了解分式方程，对一个分式方程而言，确定最简公分母后要注意不要漏乘，这正是本题考

查点所在.切忌避免出现去分母后：2-(x+2)=3形式的出现.

二.填空题(共5小题)

2T71X3

11.若关于X的分式方程----+—=----无解，则加=-4或6或1.

x-2X2-4X+2-----------

【考点】分式方程的解.

【专题】计算题.

【答案】见试题解答内容

7TTLX3

【分析】该分式方程一:+^=—;无解的情况有两种：(1)原方程存在增根；(2)原方程约去分

x-2X2-4X+2

母后，整式方程无解.

【解答】解：(l)x=-2为原方程的增根，

此时有2(x+2)+mx=3(x-2),即2X(-2+2)-2m=3义(-2-2),

解得m=6.

(2)x=2为原方程的增根，

此时有2(x+2)+mx=3(x-2),即2X(2+2)+2m=3X(2-2),

解得m=-4.

(3)方程两边都乘(x+2)(x-2),

得2(x+2)+nvc—3(尤-2),

化简得：(m-1)x=-10.

当相=1时，整式方程无解.

综上所述，当m=-4或m=6或m=l时，原方程无解.

【点评】分式方程无解，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形.

nx4

12.若关于x的方程—=—+1无解，则a的值是2或1.

x-2x-2--------------

【考点】分式方程的解.

【专题】压轴题.

【答案】见试题解答内容

【分析】把方程去分母得到一个整式方程，把方程的增根x=2代入即可求得a的值.

【解答】解：x-2=0,解得：x=2.

方程去分母，得：ax—4+x-2,即（a-1）尤=2

当a-IWO时，把x=2代入方程得：2a=4+2-2,

解得：a=2.

当a-1=0,即。=1时，原方程无解.

故答案为：2或1.

【点评】首先根据题意写出。的新方程，然后解出。的值.

x+kki

13.已知关于x的分式方程——-——=1的解为负数，则k的取值范围是当且g.

x+1x-1z

【考点】分式方程的解.

【专题】计算题.

【答案】见试题解答内容

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，根据解为负数确定出左的范

围即可.

【解答】解：去分母得：（x+4）（尤-1）-k（x+1）=/-1,

去括号得：x2-x+kx-k-kx-k—x1-1,

移项合并得：x=l-2左，

根据题意得：1-2左＜0,且1-2AW±1

解得：且

故答案为：左〉★且ZW1.

【点评】此题考查了分式方程的解，本题需注意在任何时候都要考虑分母不为0.

2%+7?2

14.已知关于x的方程----=3的解是正数，则根的取值范围是相＞-6且相¥-4.

x-2-------------------------------

【考点】分式方程的解.

【答案】见试题解答内容

【分析】首先求出关于X的方程--=3的解，然后根据解是正数，再解不等式组求出现的取值范围.

X-2

【解答】解：解关于x的方程--=3得尤=根+6,

x-2

Vx-2#0,解得x#2,

:方程的解是正数，

.,.m+6>0且m+6#2,

解这个不等式得m>-6且机W-4.

故答案为：机>-6且机W-4.

【点评】本题考查了分式方程的解，是一个方程与不等式组的综合题目，解关于x的方程是关键，解关

于m的不等式组是本题的一个难点.

15.已知关于x的方程2M的解满足产［厂31n（o<〃<3）,若y>l,则m的取值范围是马<m<

x（x+2y-5n'-5------

2

3—'

【考点】分式方程的解；解一元一次不等式；二元一次方程组的解.

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力.

【答案】—<m<^.

【分析】先解方程组5n”,求得X和y,再根据y>l和0<〃<3,求得x的取值范围，最后

根据3=偌，求得加的取值范围.

X

【解答】解：解方程组得

（x=n+2

（y=2n—1"

Vy>l,

：.2n-1>1,即

又・・・0V〃V3,

Al<n<3,

n=x-2,

：.l<x-2<3,即3VxV5,

「2

又•.•一=m，

x

.22

017V*

5J

27

故答案为：-<m<2«

【点评】本题主要考查了分式方程的解以及二元一次方程组的解，解题时需要掌握解二元一次方程和一

元一次不等式的方法.根据X取值范围得到二的取值范围是解题的关键.

X

三.解答题(共5小题)

16.京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书

中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的|；若由甲队先做10天,

剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成.

(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？

(2)已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元.工程预算的施工费用为

500万元.为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少

万元？请给出你的判断并说明理由.

【考点】分式方程的应用.

【专题】压轴题.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效

率.根据工作量=工作效率X工作时间列方程求解；

(2)根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断.

【解答】解：(1)设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要|x天.根据题意，

g1011

得—+30(—+-)=1.

-x-xx

33

解得x=90.

经检验，％=90是原方程的根.

22

-x—5x90=60.

33

答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天.

(2)设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，

则有丫扃+焉)=L

解得j=36.

需要施工费用：36X(8.4+5.6)=504(万元).

V504>500.

，工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元.

【点评】此题考查分式方程的应用，涉及方案决策问题，所以综合性较强.

17.某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商

家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元.

(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件？

(2)若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率

不低于25%(不考虑其他因素)，那么每件衬衫的标价至少是多少元？

【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)可设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，根据第二批这种

衬衫单价贵了10元，列出方程求解即可；

(2)设每件衬衫的标价y元，求出利润表达式，然后列不等式解答.

【解答】解：(1)设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2尤件，依题意有

1320028800

+1O~Q,

x2x

解得尤=120,

经检验，尤=120是原方程的解，且符合题意.

答：该商家购进的第一批衬衫是120件.

(2)3尤=3X120=360,

设每件衬衫的标价y元，依题意有

(360-50)y+50X0.8y2(13200+28800)X(1+25%),

解得y》150.

答：每件衬衫的标价至少是150元.

【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列出

方程是解题的关键.

r+134

18.解分式方程：---=——-——.

4%2-12%+14%-2

【考点】解分式方程.

【答案】见试题解答内容

【分析】方程两边同时乘以(2x+l)(2x-1),即可化成整式方程，解方程求得x的值，然后进行检验,

确定方程的解.

X+132

【解答】解:原方程即

(2%+1)(2%-1)2%+12x-l

两边同时乘以(2x+l)(2x-l)得：x+l=3(2x-1)-2(2x+l),

x+l=6x-3-4尤-2,

解得：尤=6.

经检验：尤=6是原分式方程的解.

，原方程的解是x=6.

【点评】本题考查的是解分式方程，

(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.

(2)解分式方程一定注意要验根.

2TYIX3

19.(1)若解关于1的分式方程一；+二—;会产生增根，求相的值.

x-2X2-4X+2

2

(2)若方程——=-1的解是正数，求。的取值范围.

x-2

【考点】分式方程的增根；分式方程的解.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，把增根代入化为

整式方程的方程即可求出m的值.

(2)先解关于尤的分式方程，求得尤的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求。的取值范围.

【解答】解：(1)方程两边都乘(x+2)(x-2),得

2(x+2)+mx=3(x-2)

•.•最简公分母为(x+2)(x-2),

・•・原方程增根为％=±2,

・,•把x=2代入整式方程，得加=-4.

把％=-2代入整式方程，得m=6.

综上，可知机=-4或6.

(2)解：去分母，得2x+a=2-x

解得：x=竽,

•.•解为正数,

2.—CL

----->0,

3

:.2-a>0,

：.a<2,且x#2,

二•aW-4

.\a<2且-4.

【点评】本题考查了分式方程的增根、分式方程的解、一元一次不等式，增根确定后可按如下步骤进行:

①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.

20.为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场.现有甲、

乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息:

信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天;

信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.

根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？

【考点】分式方程的应用.

【专题】工程问题；压轴题.

【答案】见试题解答内容

【分析】如果设甲工厂每天加工x件产品，那么根据乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的

1.5倍，可知乙工厂每天加工1.5x件产品.然后根据等量关系：甲工厂单独加工完成这批产品的天数-

乙工厂单独加工完成这批产品的天数=10列出方程.

【解答】解：设甲工厂每天加工尤件产品，则乙工厂每天加工1.5尤件产品,

……，口12001200

依就思侍丁--=10,

解得：x=40.

经检验：尤=40是原方程的根，且符合题意.所以1.5x=60.

答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品.

【点评】本题考查了分式方程在实际生产生活中的应用.理解题意找出题中的等量关系，列出方程是解

题的关键.注意分式方程一定要验根.

考点卡片

1.解一元一次方程

(1)解一元一次方程的一般步骤：

去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，

灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转