2024中考数学压轴题：圆的综合 专项训练（原卷版）

压轴题05

圆的综合

目录

题型剖析，精准提分

题型一切线的判定

题型二圆中求线段长度

题型三圆中的最值问题

题型四圆中的阴影部分面积

题型五圆中的比值（相似）问题

好题必刷•强化落实

题型剖析・精准提分

圆的综合

题型一切线的判定题型三圆中的最值问题

题型二圆中求线段长度题型四圆中的阴影部分面积

题型五图中的比值（相似）问题

.................”-r卡国三三藤薮由金涵说后几宿康’襦遇施

;'土'';考查热度.

‘圆的综合问题在中考中常常以选择题以及解答题I圆的综合

圆的综合

:的形式出现，解答题居多且分值较大，难度较高.多考：

:查切线的性质与判定、圆中求线段长度问题和圆中最值

ii

:问题，一般会用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角：

f

ii

:形、锐角三角函数、勾股定理、图形变换等相关知识点，:

:以及数形结合、整体代入等数学思想.此类题型常涉及;

jF

:以下问题：①切线的判定；②计算线段长及证明线段比i

T

:例关系；③求三角函数值；④利用“辅助圆”求最值.-

［右图为圆的综合问题中各题型的考查热度.：

题型一切线的判定

I解题模板:

【例1】1.（2023-四川攀枝花-中考真题）如图，为。。的直径，如果圆上的点。恰使NADC=/B,求

证：直线CD与0。相切.

【变式1T】（2023-辽宁-中考真题）如图，“1BC内接于0。，是。。的直径，CE平分NACB交。。于

点E,过点£作所〃.，交C4的延长线于点足

求证：E尸与0。相切；

【变式卜2】（2023-辽宁-中考真题）如图，48是。。的直径，点C,£在0。上，NG48=2NE48,点尸在

线段A3的延长线上，且=

E

(1)求证：E尸与0。相切;

4

(2)若3/=1"1144五£1=5，求5c的长.

【变式1-3](2023-湖北鄂州-中考真题)如图，为。。的直径，E为。。上一点，点C为防的中点，过

点C作CDLAE,交AE的延长线于点。，延长DC交的延长线于点尸.

(1)求证：8是0。的切线;

题型二圆中求线段长度

解题模板:

分析题目条件并选取*iS的方法进向算

【例2】(2023-西藏-中考真题)如图，已知AB为0。的直径，点C为圆上一点，AD垂直于过点C的直线,

交。。于点E,垂足为点。，AC平分/54D.

D

E

(1)求证：CD是0。的切线;

(2)若AC=8,BC=6,求DE的长.

【变式2-1](2023-内蒙古-中考真题)如图，是口。的直径，E为口。上的一点，点C是AE的中点，连

接BC,过点C的直线垂直于班的延长线于点。，交朋的延长线于点尸.

(2)若尸C=2，尸3=10,求班的长.

【变式2-2](2023-辽宁大连-中考真题)如图1,在。。中，AB为。。的直径，点C为0。上一点，AD为

⑴求ZBED的度数;

(2)如图2,过点/作0。的切线交BC延长线于点F,过点。作。G〃AF交于点G.若AD=2后,

DE=4,求。G的长.

【变式2-3](2023-湖北恩施-中考真题)如图，AABC是等腰直角三角形，/4CB=90。，点。为AB的中

点，连接CO交0。于点E,。。与AC相切于点。.

CB

(1)求证：BC是0。的切线；

(2)延长CO交。。于点G,连接AG交。。于点F,若AC=4jI,求FG的长.

题型三圆中的最值问题

解题模板：

根据题目条件判断国中最值模型

ji3'■利用模型技巧构造图形并确定动点位置

分析几何特征并代入数值计算

技巧精讲：

1、辅助圆模型

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一，

【例3】（2023-湖南长沙-三模）如图1：在0。中，为直径，。是0。上一点，AC=3,BC=4.过。分别

作0HL8C于点”,ODLAC于点。，点E、尸分别在线段BC、AC上运动(不含端点)，且保持/EOF=90°.

(1)OC=；四边形COOH是(填矩形/菱形/正方形)；S=；

-------------------四边彩C3OE--------

(2)当尸和。不重合时，求证：AOFDSAOEH；

(3)□在图1中，0P是ACEO的外接圆，设。P面积为S,求S的最小值，并说明理由；

[如图2：若。是线段A8上一动点，且QA：QB=l：w,NEQ尸=90°,。"是四边形CEQ尸的外接圆，则当

〃为何值时，OM的面积最小？最小值为多少？请直接写出答案.

(1)求证：△ADC/△BCD；

(2)当AACD的面积最大时，求/C4D的度数.

【变式3-2](2023-四川-中考真题)如图1,已知线段AB,AC,线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连

接BC,以8c为边在8c上方作RUBOC,且/D3C=30。.

(1)若N5OC=90。，以A8为边在AB上方作Rt454E,且NA£B=90。，ZEBA=30°,连接。E,用等式表

示线段AC与。E的数量关系是；

(2)如图2,在(1)的条件下，若八E_LAB,AB=4,AC=2,求BC的长；

(3)如图3,若/3CD=90。，AB=4,AC=2,当AD的值最大时，求此时tan/CBA的值.

【变式3-3](2023-陕西西安-模拟预测)【问题情境】

如图1,在z/LBC中，44=120。，AB=AC,8c=56，则的外接圆的半径值为,；

【问题解决】

如图2,点尸为正方形ABCD内一点，且ZBPC=90。，若AB=4,求利的最小值；

【问题解决】

如图3,正方形A5CO是一个边长为4国的书展区域设计图，CE为大门，点E在边8C上，CE=晶,

点P是正方形ABCD内设立的一个活动治安点，到8、E的张角为120。，即=120。，点A、D为另两

个固定治安点，现需在展览区域内部设置一个补水供给点Q,使得Q到A、。、P三个治安点的距离和最

小，试求QA+QD+Q尸的最小值.(结果精确到01m,参考数据旧”7,14.322205)

题型四圆中的阴影部分面积

技巧精讲:

【例4】(2024-西藏拉萨-一模)如图，等腰AABC的顶点C在。。上，3c边经过圆心0且与。。交

于。点，ZB=30°.

(1)求证：A2是。。的切线;

(2)若45=6,求阴影部分的面积

【变式4-1](2023-陕西西安-一模)如图，正六边形ABCDEF内接于

⑴若P是CO上的动点，连接8尸，FP,求ZBPF的度数；

(2)已知△ADF的面积为23,求0。的面积.

【变式4-2](2023-浙江衢州-中考真题)如图，在RtZXABC中，NACB=90。,。为AC边上一点，连结03.以

OC为半径的半圆与A3边相切于点。，交AC边于点E.

B

(1)求证：BC=BD.

(2)若O8=Q4,AE=2.

□求半圆。的半径.

□求图中阴影部分的面积.

【变式4-3](2023-辽宁阜新-中考真题)如图，A2是。。的直径，点C,。是0。上A2异侧的两点，DELCB,

交CB的延长线于点E,且8。平分/ABE.

(2)若NABC=60。，AB=4,求图中阴影部分的面积.

【变式4-4](2023-山东枣庄-中考真题)如图，为0。的直径，点C是AO的中点，过点C做射线2。的

垂线，垂足为£

(2)若8E=3,AB=4,求8c的长；

(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积(用含有口的式子表示).

题型五圆中的比值（相似）问题

技巧精讲:

【例5】（2024-陕西西安-模拟预测）如图，AB为。。的直径，点。为上一点，过点8作。。切线交

AD延长线于点C,CE平分NACB,CE,BD交于F.

（1）求证：BE=BF；

（2）若0。半径为2,sinA=|,求。F的长度.

【变式5-1］（2023-湖南湘西-二模）如图，是O。的直径，点C,D在。。上，AO平分/C43,交BC

于点E,连接2D.

(1)求证：ABED~LABD.

3

(2)当tan/A8C=—,且AB=10时，求线段2。的长.

4

(3)点G为线段AE上一点，且3G平分NA3C,若GE=^,BG=3,求CE的长.

【变式5-2](2024-陕西西安-一模)如图，A3是。。的直径CD与。。相切于点C,与54的延长线交于点

D,连接BC,点E在线段03上，过点E作3。的垂线交。C的延长线于点尸，交8c于点G.

(1)求证：FC=FG；

(2)若49=2AD=20,点E为05的中点，求GE的长.

【变式5-3X2024-陕西西安-一模)如图，是0。的直径，点D在直径A2上(D与A8不重合)，CD1AB

且C£)=AB,连接C2,与0。交于点尸，在CD上取一点E,使EF与。。相切.

(1)求证：EF=EC；

⑵若。是。4的中点，AB=4,求成的长.

好题必刷，强化落实

一、解答题

1.(2024-云南-模拟预测)如图，四边形A3C。内接于0。，对角线AC是0。的直径，过点。作47的垂

线交的延长线于点E,歹为CE的中点，连接8。，DF,与AC交于点p.

(1)求证：。F是0。的切线；

⑵若NZ)PC=45。，PD2+PB2=8,求AC的长.

2.(2024-湖北黄冈-模拟预测)如图，尸。平分/APO,与口。相切于点A,延长4。交于点C,过

点。作垂足为B.

(1)求证：PB是□。的切线；

(2)若□。的半径为4,OC=5,求R4的长.

3.(2024-江苏淮安-模拟预测)如图，已知直线/与0。相离，Q4，/于点/,交0。于点P,点B是。。

上一点，连接成并延长，交直线/于点C,使得A5=AC.

(1)判断直线AB与0。的位置关系并说明理由;

(2)PC=2#,。4=4,求线段PB的长.

4.(2024-四川凉山-模拟预测)如图，CD是0。的直径，点尸是CD延长线上一点，且AP与。。相切于点

A,弦ABJ_CD于点尸，过。点作OE_L"于点E.

⑴求证：ZEAD=ZFAD；

⑵若B4=4,PD=2,求G)O的半径和DE的长.

5.(2024-四川凉山-模拟预测)如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,以AC为直径的交AB于点。，E

为BC的中点，连接。E并延长交AC的延长线于点孔

(1)求证：OE是0。的切线；

(2)若/A=30。，DF=3,求CE长.

6.(2024-山东泰安-一模)如图，AB,CD是0。的两条直径，过点C的0。的切线交AB的延长线于点E,

连接AC,BD.

(1)求证：ZABD=ZCAB；

⑵若3是的中点，AC=12,求的半径.

7.(2024-福建南平-一模)如图1,点。是的边上一点.AD=AC,ZCAB=a,0。是△BCD的

外接圆，点E在OBC上（不与点C,点D重合），且NCEO=9（r-a.

（1）求证：是直角三角形；

（2）如图2,若CE是口。的直径，且CE=2,折线AT用是由折线ACE绕点A顺时针旋转a得到.

口当a=30°时，求4cDE的面积；

□求证：点C,D,尸三点共线.

8.（2023-四川甘孜-中考真题）如图，在RtZXA3c中，ZABC=9Q°,以BC为直径的0。交AC边于点

过点C作。。的切线，交8。的延长线于点E.

⑴求证：ZDCE=ZDBC；

(2)若AB=2,CE=3,求0。的半径.

9.（2023-湖北黄石-中考真题）如图，AB为0。的直径，D4和0。相交于点尸，AC平分ND4B,点。在

0。上，且CDJ_D4,AC交所于点尸.

D

(1)求证：8是0。的切线;

(2)求证：ACPC=BCi;

AF

(3)已知BC2=3FP.£>C,求的值.