2025年高考数学一轮复习：常用逻辑用语（五大题型）（讲义）（原卷版）

第02讲常用逻辑用语

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：充分条件、必要条件、充要条件........................................................4

知识点2:全称量词与存在量词..................................................................4

知识点3：含有一个量词的命题的否定............................................................5

解题方法总结...................................................................................5

题型一：充分条件与必要条件的判断..............................................................6

题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围......................................................6

题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假......................................................7

题型四：根据命题的真假求参数的取值范围........................................................8

题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定......................................................8

04真题练习•命题洞见............................................................9

05课本典例•高考素材...........................................................10

06易错分析•答题模板...........................................................11

易错点：混淆充分条件与必要条件...............................................................11

答题模板：充分条件与必要条件的判断...........................................................11

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

从近几年高考命题来看，常用逻辑用语没有

(1)必要条件、充分条

2023年新高考I卷第7题，5分单独命题考查，偶尔以已知条件的形式出现在其

件、充要条件；

2023年天津卷第2题，5分他考点的题目中.重点关注如下两点：

(2)全称量词与存在量

2023年全国甲卷第7题，5分(1)集合与充分必要条件相结合问题的解

词；

2022年天津卷第2题，5分题方法；

(3)全称量词命题与存

2021年全国甲卷第7题，5分(2)全称命题与存在命题的否定和以全称

在量词命题的否定.

命题与存在命题为条件，求参数的范围问题.

复习目标：

1、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；

2、理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系；

3、理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.

匐2

〃二知识导图•思维引航\\

<若p=y且1#p,则P是夕的充分不必要条件）

一（一若p#g£Lg=/>,则「是夕的必要不充分条件一）

充分条件、必要条件、充要条件>

｛若P=yH■q=/>,则尸是g的的充要条件）

（若p#q旦夕#p,则p是夕的既不充分也不必要条件）

全称量词与全称量词命题

全称量词与存在量词

会窜词与曲导词命题

常用逻辑用语

全称I让词命题,:VxW的否定V为mV。wM,rp（xJ

含有一个量词的命题的否定

存在量词命题p：3.V0£M,p住0）的否定rp为Vx£M,rp（2

如={x\p(x)},B-3夕(x)},若4G4则

常用结论={.v|p(x)},B=国］(.V)},若4$B,则夕=［旦1#P

设,4={.v|^(.v)},B={x|夕(.v)},若,4=B,则〃O夕

老占突硒・力理悭宙

「知识育亲

知识点1:充分条件、必要条件、充要条件

1、定义

如果命题“若p,则q”为真（记作0=q）,则p是q的充分条件；同时q是p的必要条件.

2、从逻辑推理关系上看

（1）若0=>4且44p,则p是q的充分不必要条件；

（2）若pLq且qnp,则p是q的必要不充分条件；

（3）若0nq且4=则p是q的的充要条件（也说p和q等价）；

（4）若q且44p<则p不是q的充分条件，也不是q的必要条件.

对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：pnq,则p是q的充分条件，同时4是

p的必要条件.所谓“充分”是指只要p成立，q就成立；所谓“必要”是指要使得°成立，必须要q成立

（即如果q不成立，则p肯定不成立）.

【诊断自测】（2024•北京西城•二模）己知aeR,》eR.则“必>1”是""十/>?”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

知识点2：全称量词与存在量词

（1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号

“V”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题”对A1中的任意一个x,有/?（无）成立“可

用符号简记为“VxeM,p（x）”,读作”对任意尤属于有p（尤）成立

（2）存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符

号“三”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的一个％,使p（Xo）成立”

可用符号简记为“玉尸（X。）”，读作“存在M中元素玉,使p（x。）成立”（存在量词命题也叫存在性命

题）.

【诊断自测】下列命题中的假命题是()

A.3xeR,log2x<0B.3XGR,COSX=1

C.VxGR,x2>0D.VxGR,2X>0

知识点3：含有一个量词的命题的否定

(1)全称量词命题p：x/x£A1,p(x)的否定可为土：oEM,rX%).

(2)存在量词命题p：玉：owM,p(%0)的否定为也£加，力(兀)・

【诊断自测】(2024•全国•模拟预测)已知命题p:X/x£Z,%220,贝Ijr?为()

A.eZ,x2<0B.Z,x2<0

C.GZ,x2<0D.Z,x2<0

解题方法总结

1、从集合与集合之间的关系上看

设A={x|p(x)},3={x|<7(x)}.

(1)若A=3,则p是q的充分条件(°=>q),4是p的必要条件；若则p是4的充分不必

要条件，q是p的必要不充分条件，即且q%p；

简记：“小=>大”.

(2)若3=A,则p是q的必要条件，q是p的充分条件；

(3)若A=3,则p与q互为充要条件.

2、常见的一些词语和它的否定词如下表

原词语等于大于小于是都是任意至多至多

(=)(>)(<)(所有)有一个有一个

否定词语不等于小于等于大于等于不是不都是某个至少有一个都

(<)(>)两个没有

(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合/中的每一个元素x证明其成立，要判断

全称量词命题为假命题，只要能举出集合"中的一个无。，使得其不成立即可.

(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合拉中能找到一个七使之成立即可，否则这

个存在量词命题就是假命题.

题型洞察

题型一：充分条件与必要条件的判断

【典例1-1］（2024•浙江宁波•二模）已知平面a,£,7,ac?=/,则“/_L/”是“e_L7且尸_L7”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【典例1-2】（2024•湖南•二模）已知实数a>6>0,则下列选项可作为。-6<1的充分条件的是（）

A.\［a—y/b=1B.------=—

ba2

a

C.2-2*=1D.log2a-log2Z?=l

【方法技巧】

1、要明确推出的含义，是p成立q一定成立才能叫推出而不是有可能成立.

2、充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.

【变式1-1］（2024•辽宁沈阳•二模）已知向量4=（2,4）,6=（3,-1）,贝以=应”是“（“+助工卜-助”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不

必要条件

ab

【变式1-2］（2024•福建福州•模拟预测）设a,，eR,则“"<0”是“时+帆=。”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式1-31（多选题）已知0是r的充分而不必要条件，q是厂的充分条件，s是厂的必要条件，q是s的必

要条件，下列命题正确的是（）

A.r是q的充分条件B.p是q的充分条件

C.厂是q的必要而不充分条件D.r是s的充分而不必要条件

题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围

【典例2-1】设xeR,a<b,若"aWZ/'是"尤2+左_240”的充要条件，贝防-〃的值为（）

A.0B.-3C.3D.2

【典例2-2】给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上.

已知集合尸={x|T<k<5},S=［x\l-m<x<3+2m^,存在实数加使得"xeP"是"xeS”的___条件.

【方法技巧】

1、集合中推出一定是小集合推出大集合，注意包含关系.

2、把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参

数的不等式求解.在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点能否能取到，容易出错.

【变式2-1］已知命题P：“方程a/+2尤+1=0至少有一个负实根”，若P为真命题的一个必要不充分条件为

a<m+l,则实数用的取值范围是

22

【变式2-2】已知集合40B={x|x-2ar+a-l<0},若A”是“x©3”的必要非充分条

件，则实数。的取值范围是

【变式2-3］已知命题p:4-x46,q:x2a-l,若"是q的充要条件，则”

题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假

【典例3-1】下列正确命题的个数为（）

①VxeR,X2+2>0；②VxeN/wi；③HxeZ.x'vl；@3xeQ,x2=3.

A.1B.2C.3D.4

【典例3-2］（2024•高三•北京通州•期中）下列命题中的假命题是（）

A.VxeR,（g）>0B.HreR,%>苫

C.VxeR,2|A|>1D.HxeR,tanx>1

【方法技巧】

1、全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要理解汉字意思，又要使用数学结论.

2、全称量词命题和存在量词命题的真假性判断相对简单，注重细节即可.

【变式3-1】下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（）

A.3jreR,l+siiu<0

B.每个等腰三角形都有内切圆

C.VxeR,x2+2x>-1

D.存在一个正整数，它既是偶数又是质数

【变式3-2］（2024•广东东莞•三模）已知全集U和它的两个非空子集A,8的关系如图所示，则下列命

C.3x&B,xeAD.VxgB,xeA

【变式3・3】（2024•福建厦门•模拟预测）已知集合M,N满足McNwO,贝1J（）

A.VXGM,XGNB.VxGM,x^N

C.,XGND.BxeM,x^N

题型四：根据命题的真假求参数的取值范围

【典例4-1】（2024•全国•模拟预测）已知命题“对于Vxe（O,+«））,+为真命题，写出符合条件

的。的一个值：—.

TT1T

【典例4-2]（2024•高三•湖北武汉•期末）若命题“V%e,tan2%+22〃乃是假命题，则实数加

_oo

的取值范围是.

【方法技巧】

1、在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，若哪个是假命题，去求真命题

的补集即可.

2、全称量词命题和存在量词命题的求参数问题，要注意端点是否可以取到.

【变式4-1]若命题"XZxeR,（a+lW+x+GO”是真命题，则实数。的取值范围为一.

【变式4-2]（2024•辽宁•三模）若“土«0,内），使尤2一狈+4<0”是假命题，则实数。的取值范围

为.

【变式4-3]（2024•辽宁•模拟预测）命题。：存在使得函数〃力=》2-2制在区间[a,4w）

内单调，若P的否定为真命题，则。的取值范围是—.

题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定

【典例5-1】（2024•内蒙古赤峰•一模）命题“VxeR,勘eN*,〃>无的否定形式是（）

A.VXGR,V〃EN*，n<x2B.*wR,0neN*,rKx2

C.3XGR,sN*,nWx1D.3XGR,GN*,rKx1

【典例5-2]（2024•陕西商洛•三模）命题“对任意的工£凡/一%2+120，，的否定是（）

A.不存在X£R,%3_%2+”0B.存在Y+iwo

C.存在X£R,%3_%2+]<0D.对任意的X£R,%3一%2+1>0

【方法技巧】

含量词命题的否定，一是改写量词，二是否定结论.

【变式5-1]（2024•四川成都•模拟预测）命题引目T』,x+W<0的否定是（）

A.3XG[-1,1],X+|X|>0

B.VXG[-1,1],X+|X|>0

C.Vx-1)U(1,+O?),A:+|X|>0

D.VxG(-<x>,-1)u(1,+«?),x+|x|<0

【变式5-2】已知命题(cosO『V(siW则()

A.-np:30e|,(COSO*°>(sin。广,且r7是真命题

s，n

B.I，(cos0)°>酬。叶,且r7是假命题

可:me£1s

C.,(cos。*'>(sin<\且力是假命题

，12

D.^p:\/0e1(cosdf'>(sinO广,且力是真命题

【变式5-3］（2024•贵州遵义•一模）已知命题o：Vx>l,lnx>；-则引为（）

A.\fx>1,Inx<——§3B.3xVI,Inx<——3

C.3xW1,InxV-------D.3x>1,InxW--------

33x333x3

1.（2022年新高考天津数学高考真题）“x为整数”是“2x+l为整数”的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

1.（2022年新高考浙江数学高考真题）设xeR,则“sinx=l”是“cosx=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不

必要条件

2.（2022年新高考北京数学高考真题）设｛q｝是公差不为。的无穷等差数列，贝广｛%｝为递增数列”是“存

在正整数N。，当〃〉N。时，%>0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2021年天津高考数学试题）已知aeR,则“a>6”是>36”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

1.设集合&=满足条件p},3={x|x满足条件q}.

(1)如果那么p是q的什么条件？

(2)如果那么p是q的什么条件？

(3)如果A=3,那么p是4的什么条件？

试举例说明.

2.在下列各题中，判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既