北京市朝阳区2023-2024学年高一年级下册期末考试数学试卷（含答案解析）

北京市朝阳区2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若复数z满足i.z=l—i,贝Uz=()

A.1+iB.-1+iC.1-iD.-1-i

2.已知向量。=(L5),)=(O,3),贝1]|。一6|=()

A.6B.VsC.3D.5

3.如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A,B,C,。在同一平面内，若四

边形ABC。是边长为2的正方形，则这个八面体的表面积为()

A.8B.16C.873D.16月

4.己知加，〃是平面a外的两条不同的直线，若〃〃a,则“〃△〃”是“〃?」。”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

TT57r

5.在VA2C中，a=2,ZA=-,NB=——,则。=()

312

A.逑B.72C.亚D.布

33

6.李华统计了他爸爸2024年5月的手机通话明细清单，发现他爸爸该月共通话60次，他

按每次通话时间长短进行分组(每组为左闭右开的区间)，画出了如图所示的频率分布直方

图.则每次通话时长不低于5分钟且小于15分钟的次数为()

个频率/组距

So7

696

S5

S.O4

s.O3

.O2

os..O1

.O

051015202530通话时间/分钟

A.18B.21C.24D.27

7.已知向量d,b不共线，c=3a-tb，d——2ta+6b，若。与d同向，则实数t的值为（）

A.-3B.-1C.3D.一3或3

8.近年来，我国国民经济运行总体稳定，延续回升向好态势.下图是我国2023年4月到

2023年12月规模以上工业增加值同比增长速度（以下简称增速）统计图.

注：规模以上工业指年主营业务收入2000万元及以上的工业企业.

A.4月，5月，6月这三个月增速的方差比4月，5月，6月，7月这四个月增速的方差

大

B.4月，5月，6月这三个月增速的平均数比4月，5月，6月，7月这四个月增速的平

均数小

C.连续三个月增速的方差最大的是9月，10月，11月这三个月

D.连续三个月增速的平均数最大的是9月，10月，11月这三个月

-TT

9.在梯形ABCD中，ABDC,ACJ.BD,ZBDC=-,AB=2,DC=6,则AD与BC夹

角的余弦值为（）

口2币「后口后

AA."D.----C.-----D.---

147147

10.己知|AM|=2,AM=2MB，若动点P，。与点共面,且满足|AP\=\AM\,\BQ\=\BM\,

则MP.MQ的最大值为（）

试卷第2页，共6页

A.0C.1D.2

二、填空题

11.已知某学校汉服社、书法社、诗歌社、曲艺社四个学生社团的人数比为2:2:3:3,现用

比例分配的分层随机抽样的方法，从这四个社团中抽取20人担任志愿者，则从曲艺社抽取

的人数为.

12.袋子中有4个大小和质地相同的小球，标号为1,2,3,4.若从中随机摸出一个小球，

则摸到球的标号大于3的概率是；若从中随机摸出两个小球，则摸到球的标号之和为

偶数的概率是.

,,,uuttiuum.,-11-„,

13.在VABC中，点。，£v满足2Z)=DC，AE=AAC-若DE-AC—AB,则；1=___.

62

n5

14.在VA5C中，ZA=-,a=~,若VABC存在且唯一，贝恰(6eZ)的一个取值为.

15.已知向量”，b在正方形网格中的位置如图所示，向量)满足同=1,且a.c=»c.若

16.在正四棱锥P-ABCD中，PA与BC所成的角的大小为a,朋与底面ABC。所成的角的

大小为夕，侧面与底面A2CZ)所成的角的大小为/,二面角4-尸3-。的大小为6.给

出下列四个结论：

®/3<y<a<8；

②tana=6tan月；

(3)tanacosy=1；

④sin,-sinb=sinPcos8.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题

17.如图，在长方体ABCJD-A4G。］中，AB=BC=2,CCt=4,E为CC1的中点.

⑴求证：4&//平面瓦)3；

⑵求证：平面£E©J_平面ACC1；

(3)求点C到平面ED3的距离.

18.生成式人工智能(AIGC)工具正处于蓬勃发展期，在对话系统、机器翻译、文本摘要

等领域得到广泛应用.为了解学生对生成式人工智能工具的使用情况，某校从全体学生中随

机抽取了100名学生，调查得到如下数据：

经常使用20人

偶尔使用30人

从未使用50人

用频率估计概率.

(1)估计该校学生经常使用生成式人工智能工具的概率；

(2)假设每名学生使用生成式人工智能工具的情况相互独立，从该校全体学生中随机抽取两

名学生，估计这两名学生中至少有一名学生经常使用生成式人工智能工具的概率；

⑶从这100名学生中抽取5次，每次随机抽取10名学生，记第i次。=1,2,3,4,5)抽取的10

名学生中，有《名学生经常使用生成式人工智能工具，有4名学生偶尔使用或者从未使用过

生成式人工智能工具.将q,a2,a3,%,%的方差记为T，4，%，4，”，么的方差

记为s；,比较s；的大小.(结论不要求证明)

19.在VABC中，b+2c-2acosB=0.

⑴求NA；

试卷第4页，共6页

(2)若VABC的面积是必，求。的最小值.

2

20.如图1,在VABC中，AB=3,AC=4,BC=5,D,E分别为AC,BC的中点.将「CDE

沿折起到△CQE的位置，得到四棱锥G-D4BE，如图2.

(1)求证：OE_LC]A；

(2)若M是线段GB上的点，平面的f与线段GA交于点N.再从条件①、条件②、条件③

这三个条件中选择一个作为已知.使点M唯一确定，并解答问题.

(i)求证：N为GA的中点；

(ii)求证：CAL平面。EM/V.

条件①

条件②QE〃MW；

条件③EM1.08.

注：如果选择的条件不符合要求，第(II)问得0分，如果选择多个符合要求的条件分别解

答，按第一个解答计分.

41012

21.设4=%022'%是由，7X〃(心3)个非负整数组成的〃行〃列的数表，记

_anlan2…ann_

Raaca+a+a

i=n+n++«,-„，j=ij2j+nj,i,je|l,2,---,n|,设与，R2,R“的平均

rj

数为〃(A),若〃(A)<5,则称数表A为“〃阶H数表”.

(1)判断如下两个数表是否为“4阶反数表”；说明理由;

01-2

101

A=

210

321

⑵证明：对于一个给定的正整数",不存在“八阶H数表"A,使得K+gN〃对任意的i,

/£{1,2,，阳都成立;

⑶对任意的5阶H数表”A,是否存在i,je{l,2,,n}f满足%=0,使得用+。/<〃？说

明理由.

试卷第6页，共6页

参考答案:

题12345678910

号

答DBCBCBAADC

案

1.D

【分析】根据给定条件，利用复数乘法运算计算即得.

【详解】由=得-i?,z=(l-i>(-i),所以z=-l-i.

故选：D

2.B

【分析】利用向量线性运算的坐标表示，再利用坐标计算模即得.

【详解】向量4=(1,5),1=(0,3),则=(1,2),

所以|°一6=衽+2?=5

故选：B

3.C

【分析】先计算出每个面的面积，再乘以8即为表面积；

【详解】每个面的面积为迫X22=VI,所以该图形的表面积为8出.

4

故选：C

4.B

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面间的关系分析判断即可.

【详解】因为加，〃是平面a外的两条不同的直线，n//a,

所以当〃z_Lw时，加可能与a垂直，可能与a平行，也可能与a相交不垂直,

当7"_1_。时，帆_1_〃成立，

所以“〃△〃”是“〃da”的必要不充分条件.

故选：B

5.C

【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解即得.

【详解】在VABC中，由4=］TT，/2=得S1T，得/C=：JT，

答案第1页，共12页

2sin-

a276

由正弦定理六二得。=4

.71

sinAsin—

3

故选：C

6.B

【分析】根据给定的频率分布直方图，求出每次通话时长不低于5分钟且小于15分钟的频

率即可得解.

【详解】观察频率分布直方图，得每次通话时长不低于5分钟且小于15分钟的频率为：

1-5(0.06+0.03+0.02+0.02)=0.35,贝60x0.35=21,

所以每次通话时长不低于5分钟且小于15分钟的次数为21.

故选：B

7.A

【分析】根据给定条件，利用共线向量定理，结合平面向量基本定理求解即得.

【详解】由向量3=32—%与d=-2ta+6A同向，得3。—仍=4(—2勿+6Z?),A>0,

\-2tA=3

即3a-g=-2比”+6助，而向量a,》不共线，则｛，又力>0,解得7=-3,

-t=O/t

所以实数/的值为-3.

故选：A

8.A

【分析】根据给定的折线图，计算平均数、方差逐项判断即得.

5.6+3.5+4.4

【详解】对于AB,4月，5月，6月这三个月增速的平均数为-----------二4.5,

3

4月，5月，6月，7月这四个月增速的平均数为二.——=4.3,B错误；

4

1I2+12,A]2

4月，5月，6月这三个月增速的方差为1」=0.74,

3

4月，5月，6月，7月这四个月增速的方差为L*++°』+06=0.615,A正确;

4

对于CD,9月，10月，11月这三个月增速的平均数为4$+4§6+6、=零,

10月，H月，12月这三个月增速的平均数为46+636+6.1=6,口错误；

10?1Q414?1

9月，10月，11月这三个月增速的方差为夕(4)2+(4)、(而力=砺，

答案第2页，共12页

10月，11月，12月这三个月增速的方差为丁5。一=m,C错误.

3450

故选：A

9.D

【分析】首先根据题干计算出相应的边长，再根据余弦定理计算出再计算

ADBC=(AC+CD)\BD+DC],最后代入夹角公式即可.

【详解】设AC与交于E,因为NBOC=4,AC±BD,CD=6,所以CE=3—,DE=3,

又因为AB//CD,AB=2,所以NABD=NBDC=—,AACD=Z.BAC——,AE=y/3>BE=1,

所以网>=4,AC=4A/3,

由余弦定理得AD?=AB2+Br)2-2AB-3£hcos/ABr)=4+16-2x2x4xg=12，即AD=26，

BC2=Cr>2+BD2-2C£)BDcosZBr)C=36+16-2x6x4x-=28,即BC=2币,

2

ADBC=(AC+CD^BD+DC^ACBD+ACDC+CDBD-CD2=\AC\\DC\COSZACD+\-\BD\COSZBDC

lh1ADBC125/21

=4V3X6XT+6X4X--36=12,所以.叶冈=2若x26=下，

故选：D

10.C

【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，确定点P,Q的轨迹，由此设其坐标，再利

用数量积的坐标表示，结合三角恒等变换及三角函数的性质求出最大值.

【详解】以点Af为原点，直线A3为无轴建立平面直角坐标系，如图，则4-2,0),8(1,0),

答案第3页，共12页

由|AP|=|AM|=2,得点尸在以A为圆心，2为半径的圆(x+2>+y2=4上,

由|BQ|=|BM|=1,得点。在以8为圆心，1为半径的圆(x-l)2+V=l上,

设P(-2+2cos%2sina),Q(1+cos/3,sin0),

则MP'MQ=(-2+2cosa)(l+cos/?)+2sinasin(3

=2cosacos/?+2sinasin+2(cosa-cos/?)-2

=2cos(a一⑶+2底等+?卜”三一？卜

=_4sin?—-4sin-sinj=—(2sinj+sinj)2+sin2*4sin2*41,

2222222

当a=5,£=夸时，能取到所有等号，

所以MP的最大值为1.

故选：C

【点睛】关键点点睛：建立坐标系，利用向量的坐标运算，转化为求三角函数最值处理是解

题的关键.

11.6

【分析】根据分层抽样的定义结合题意直接求解即可.

【详解】由题意得从曲艺社抽取的人数为

故答案为：6

12.—/0.25—

43

【分析】利用古典概型，结合列举法求出概率即可.

【详解】从中随机摸出一个小球，摸到球的标号大于3的概率是;;

答案第4页，共12页

从中随机摸出两个小球的样本空间Q={12,13,14,23,24,34},共6个,

摸到球的标号之和为偶数的事件A={13,24},共2个，

所以摸到球的标号之和为偶数的概率|=1.

o3

故答案为：;；;

13.-

3

【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合平面向量基本定理求解即得.

UUUUUU1

【详解】在VABC中，向量AB,AC不共线，由=AE=AAC»

^DE=AE-AD=/LAC--(AC+AB)=(A--)AC--AB,DE=-AC--AB,

22262

119

因此2—所以2=彳.

263

2

故答案为：—

14.5(答案不唯一)

【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解即可.

ba得sin人”必b

【详解】在VABC中，=?ci—p由正弦定理

6sin5sinA5

由VABC存在且唯一，知sin3=l或sin3<l且bWa,解得6=5或0<bw],而6eZ,

所以6的一个取值为5.

故答案为：5

15.02拒,或-20

(分析]建立平面直角坐标系得到a、b的坐标可得N-。+b);设c=(%V)，根据卜|=1,

且a-c=6-c.建立关于x，y的方程组求出x，y可得C的坐标，再由GC的坐标运算可得答案.

【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则d=0,3),ft=(3,1),

所以(a-6).(a+6)=(-2,2).(4,4)=-8+8=0；

设d=(x,y),贝ijY+y'i,

且。-c=6-c，所以且无+3y=3x+y,

答案第5页，共12页

V2V2

X=x=------

(x+3y=3x+y22

由。+v=l一解得，或，

V2E

y=y=

2~~

(42回V20

所以C=或。=

2

所以。•c=+=2A/^,BKiz-c=-—3x-^-=-25/2.

故答案为：①0;②2及，或-2也.

16.①③④

【分析】做出四个角，利用三角函数用边来表示，然后在逐一判断选项.

【详解】如图：。为底面的中心，E分别为A8的中点，连接AC,PO,O&

2

设底面边长为。，侧棱长为6,斜高尸E为"显然/=幺+〃2,

4

因为AD/ABC,所以NA4。为异面直线K4与BC所成的角，

h-

即a=ZPAD,并且sina=—,2〃，

bcosa-—~——

b2b

因为尸O,平面A5CD,所以/PAO为K4与平面ABC。所成的角，即分=NPAO,并且

sm.j3c=—PO—

bf

因为E为依的中点，所以PELAB,OELAB,所以/PEO为平面与平面ABC。所成

角的平面角，

PO-

即/=Z.PEO,且sin/=,_2_。，

hcosz=7=ii

过点A作尸3,垂足为歹，连接尸C,由侧面三角形全等可知CFLPB,

所以NA/C为二面角A—P3—C的平面角，即5=/AFC,AF=CF=—,

答案第6页，共12页

2a2h2c2

r-2仁~2

AF2+CF2-AC2

且cosNA"=22

2AFCF-2a/?-h

b2

因为〃</?,所以cos/AFC<0,即S为钝角，所以5最大,

因为&<上-,所以cos(z<cos7n,因为,所以sin7>sin力=>/>尸,

2b2hhb

综上所述，所以，故①正确；

当tan小4=

tan。=故②错误;

a°AO

tanacos/=—­—=1,故③正确;

a2h

/一叫b-PObyj2h2-b2,

sin)3-sin0cos8=sin

丁J-^

而sinB=Jl平U]户叫一。=sin._sin£cos1，即sin分一sinb=sin尸cos<5,故④

正确.

故答案为：①③④

【点睛】关键点点睛：本题的关键是做出4个平面角，然后通过用边来表示这些角的三角函

数，没有具体数据，所以运算比较抽象并且运算量较大，在运算过程中，需要注意边之间的

寺星天祭

17.(1)证明见解析；

⑵证明见解析；

⑶手.

【分析】(1)令ACcBDnB,由三角形中位线性质，线面平行的判定推理即得.

答案第7页，共12页

(2)利用线面垂直、面面垂直的判定推理即得.

(3)过C作CGLEF于G,由(2)的结论，结合面面垂直的性质推理计算即得.

【详解】(1)在长方体中，令=尸，则尸为AC中点，连接口,

由E为CC］的中点，得EF//AC\,而AC［<z平面ED3,EFu平面£2出,

所以AC"/平面EZ出.

(2)由CC|_L平面ABCD,BDu平面ABCD,得CG_LBD,

矩形ABC。中，AB=BC,则矩形ABC。为正方形，ACJ.BD,

而A。CG=C,AC,CGu平面ACC1，则加人平面ACC］，又3Du平面ED3,

所以平面£DB_L平面ACC1.

(3)在一£FC中，过C作CG_LEF于G,由平面£DB_L平面ACG,平面EDBc平面

ACG=EF,

CGu平面ACG，因此CGL平面瓦必，显然=EF=yjFC2+EC2=46>

在RtZiEFC中，CG=".EC=空

EF3

所以点C到平面汨的距离为2叵.

3

18.(1):；

(3)s：=s。

【分析】(1)根据给定条件，利用古典概型计算即得.

答案第8页，共12页

（2）利用（1）的结论，利用独立事件、对立事件的概率公式计算即得.

（3）利用平均数、方差的定义计算判断即得.

【详解】（1）依题意，这100名学生中有20名学生经常使用生成式人工智能工具，

所以所求概率的估计值为赤=：.

（2）设“第i名学生经常使用生成式人工智能工具”为事件4,7=1,2,

“从该校全体学生中随机选取两名学生，至少有一名学生经常使用生成式人工智能工具”这事

件B,

p（B）=1-p（AA）=1-A）­依题意，P（A）与尸（4）估计为E，

———14

于是P（4）与尸（4）估计为i-二=丁

所以所求概率尸⑻估计为1=4x]4=会9

（3）记4，〃2，〃3，〃4，。5的平均数为鼠b],4,b3,“，灯的平均数为办，

—15-1515_

依题意，q+白=10。=1,2,3,4,5）,£1=可%,b=三£白=三£（10-。,）=10-a,

53i=i3i=i

因此S；-a）2,S；=生佃-5）2=生[（1。-沟T=生（4沟2,

3i=i>i=i3i=i3i=i

所以£=s；.

2兀

19.（Dy

⑵n

【分析】（i）用余弦定理进行边角互化可解；

（2）由面积公式得到A=2,再用余弦定理和基本不等式可解.

【详解】（1）人+2c—2acos5=0,用余弦定理得到，b+2c-2ax---------=0,化简得

lac

到c?+加一/=_反，则cosA="+cj-=色」,Ae（0,兀），则A=§.

2bc2bc23

（2）由于A=?,s=—bcsinA=^>bc=2.

322

由余弦定理可得°=yjb2+c2—2bccosA=\!b2+c2+be>y/2bc+bc=J3bc—瓜,当且仅当

b=c=0时等号成立，所以”的最小值为".

答案第9页，共12页

20.（1）证明见解析；

（2）选择条件，答案见解析.

【分析】（1）利用线面垂直的判定、性质推理即得.

（2）选择条件①③，利用线面平行的判定、性质推理得（i）；利用线面垂直的判定推理得

（ii）.

【详解】（1）在VABC中，由AB=3,AC=4,8C=5,得AB1AC,

由。，E分别为AC,BC的中点，得DE//AB,则DE人AC,

因此。E_LG，Z）E_LA。，而CQA。=。，GO,A。u平面ClAO,

则。平面GA。，又£Au平面GA。，

所以DELGA.

（2）选条件①：C\M=MB,

（i）由£>£7/AB,DE.平面。3氏48<=平面648,得DE〃平面C[42,

又DEu平面。£%V,平面DEMN平面GA8=MW,因此DE7/NM,则MW〃AB,

而所以GN=NA,即N为C|A的中点.

（ii）因为。G=ZM,由（i）得CN=NA,则DN^GA,

由（1）得。E_LC]A,又DN\DE=D,DN,DEu平面DEMN,

所以GA_L平面OEMN.

选条件③：EM±QB,由EC】=EB,得

（i）由DE〃/IB,DEU平面GAB,A8u平面GAB,得DE〃平面C^AB,

又。Eu平面。EMN,平面DEMN「平面GAB=MW,因此DE//MW,则MW〃AB,

而所以C|N=NA,即N为C|A的中点.

（ii）因为。G=ZM,由⑴得QN=NA,则。N，GA,

由（1）得。E_LC]A,又DN\DE=D,DN,DEu平面DEMN,

答案第10页，共12页

所以GA_L平面O£MN.

条件②，DE//NM,

由(1)可得。E//平面则过直线。E的平面与平面C|AB相交，所得交线均与OE平

行，

给定条件为上述交线，因此这样的点M不唯一确定.

21.(1)A不是“4阶H数表”；数表3是“4阶H数表”.

(2)证明见解析

(3)存在，理由见解析

【分析】(1)计算有〃(4)==4：4+6=5z2即可判断数表A,计算〃(A)=1+—+2=^<2

444

即可判断数表2;

(2)利用反证法，根据定义有K+&++R„=Cl+C2++C“，证明出

〃(A)=N+&++&W，则与假设矛盾，即证明出原命题；

(3)设p=min{&&,，叫CC，…C}，然后分。=。和PNO两大类讨论即可.

【详解】(1)数表A不是“4阶H数表”，数表8是“4阶H数表”，理由如下：

+”士,,,,K+R2+H3+凡6+4+4+6.

在数表A中，〃(4)=」-—£=---------=5>2,

44

因此数表A不是“4阶H数表”.

在数表B中，+1+2='<2,因