直线的方程典型例题讲义-高三数学一轮复习

直线的方程知识点及典型例题

知识点：

1.直线的倾斜角：倾斜角的取值范围.

定义:-当直线与X轴平行或重合时，规定直线的倾斜角.

2.直线的斜率：定义:____________________________

计算：经过两点「2（久2，、2）的直线倾斜角是%斜率是k,则k=

当戊=时，直线的斜率

3.直线的斜率k与倾斜角a的函数关系：a?[0《）时，ke,左随a的增大而；

a?[0,：）时，kE,/c随a的增大而.

4.直线方程的几种形式

名称已知条件方程的形式适用范围

点斜式

斜截式

两点式

截距式X截距：

一般式

5.两直线的位置关系判断

一重合h_LG

斜截式”匕瓦

一般式"弋。

/2：月2%+82y+c2=0

6.距离公式

1.平面上两点P1O1，%）、22（久2，%）间的距离因「2卜

2.点PQo，yo）到线4久+By+C=0的距离d=

※求点到线的距离时，直线方程要化为一般式

3.两条平行线”北然变：狗的距离d=________________________

।Dy"TC<2—U

※求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。

典型例题

例1.给出下列说法：其中说法正确的是

①若a是直线I的倾斜角，则(T4a<180。；②若k是直线的斜率，则keR；

③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角.

例2.(1)已知点4(2,-3),5(-3,-2),直线小过且与线段AB相交，求直线小的斜率k的取值范围为

(2)已知点4(2,-3),B(5,5),直线小过且与线段4B相交，求直线小的斜率k的取值范围为

(3)已知点A(0,3),B(-3,-2),直线小过且与线段4B相交，求直线m的斜率k的取值范围为

例3.(1)求与直线3x+4y+1=。平行且过(1,2)的直线方程；

(2)求与直线2x+y-10=。垂直且过(2,1)的直线方程.

例4.卜：ax+y+a-1=0不经过第一象限，且%(1)求证：k恒过定点；

例5.如图，在ANBC中，已知4(5,-2),5(7,3),且4C边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上.

y

M

（1）求点C的坐标;（2）求AB边上的中线所在直线方程.

补充练习：

一、单选题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线x-2y-2=0在y轴上的截距为（）

A.-2B.2C.-1D.1

7

2.经过两条直线%:%+y=2,%：2%—y=l的交点，且直线的一个方向向量力=（一6,4）的直线方程为（）

A.2x—y—1=0B.2%+y—3=0C.3x—2y—5=0D.2x+3y—5=0

3.设aER,则“直线a=+y—1=。与直线为+ay+1=0平行”是"a=±1"的（）

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

4.经过两点/（一1,0）,8（2,3）的直线的倾斜角为（）

A.30°B,45°C.60°D.90°

5.已知函数/（%）=alnx+合在％=1处的切线与直线％+y+1=0垂直，则a=（）

A.2B.-2C.1D.-1

6.已知直线k：x+（a—l）y+2=0,Z2：^T~3bx+y=0,且hl%，则小+/的最小值为（）

A工B-CD—

A。42C，216

二、多选题:在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

7.(多选)实数刈y满足%2+y2+2%=0,则下列关于长的判断正确的是()

A.彳的最大值为VZB.上彳的最小值为一1^

x—ix—1

C.-彳的最大值为、^D.的最小值为-

X—13X—13

8.设直线系L：(x—4)cos0—ysind—1(0<0<2TT),贝！|()

A.点Q(4,0)到L中任意一条直线的距离为定值

B,存在定点P不在L中任意一条直线上

C.点M(l,4)到L中所有直线距离的最大值为5

D.对任意的整数n(nN3),存在正n边形，其所有边均在L中的直线上

9.已知直线入：CLX+2y+3a=0和直线%：3%+(a—l)y+7—a=0,下列说法正确的是()

7

A.当a=耳时，卜1l2

B.当a=—2时，lr//l2

C.直线k过定点(-3,0),直线%过定点(T,l)

D.当k,。平行时，两直线的距离为总中

10.已知点M(l,0)关于直线小比一丫+1=0(zn?R)的对称点N在直线x+y=0上，则实数小的值为()

A.RB.2C.—CD.-2

三、填空题：

11.设点P(5,2)到直线Z:y=k(x-1)-2的距离为d,贝卜的最大值是.

12.直线/与直线丫='x+1平行，且过直线x+y=4与2x+3y-8=0的交点，则直线Z的方程为

13.一条光线从P(6,4)射出与无轴相交于点Q(2,0),经x轴反射，交y轴于R,则光线从P到R所走的路程为.

14.平面直角坐标系中，任意两点4(久1，%),5(%2,72)>定义服/?=[(%1一久2)2+(、1->2)2为“4B两点间的距离”，

定义|MB||=|%i-x2|+|为一刃为“，B两点间的曼哈顿距离”，已知。(0,0)为坐标原点，P(x,y)(x>0,y<0)为

平面直角坐标系中的动点，且||OP||=2,则d°p的最小值为.

四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(1)求原点到直线x+2y—5=0的距离.

(2)已知直线x—2y—2—0,12：x—2y—1—0,求直线1之间的距离.

16.在平面直角坐标系久。y中，已知？4BC的三个顶点的坐标分别为4(-3,2),B(4,3),C(2,l).

(1)求经过点4且与直线8c平行的直线方程；

(2)在?4BC中，求BC边上的高线所在的直线方程.

补充练习答案：

1.【答案】C

【解答】

解：直线方程为汽—2y—2=0,

令X=0,得y=-1,

所以直线X—2y—2=0在y轴上的截距为—1.

故选C.

2.【答案】D

【解答】

解：联立直线匕与5解得：｛;二;，

所以两直线的交点为(1,1),

又直线的一个方向向量3=(-6,4),所以所求直线的斜率为-|,

故所求直线方程为：y—l=-|(x—1),即2x+3y-5=0,

故选D

3.【答案】A

解：由两条直线平行的充要条件可得：a2-1=0,解得a=±l.

经过验证可得：a=-l时，两条直线重合，舍去，所以a=l,

••・"直线ax+y-l=。与直线比+ay+l=0平行”是"a=±1”的充分不必要条件.

故选A.

4.【答案】B

【解答】

解：设直线的倾斜角为a,ae[0°,180°),

由于经过做-1,0),B(2,3)两点，

所以直线A8的斜率k==1,则tana=1,

a=45°.

5.【答案】D

【解答】

解：函数/(%)=alnx+x2,求导得：/'(刀)=2%+%

因为/(久)在x=1处的切线与直线x+y+l=0垂直,

所以“X)在久=1处的切线斜率为r(1)=2+a=1,

解得Q=-1.

故选。.

6.【答案】A

【解答】

解：由题意，匕！。，从而1+(。-1)=0,即a=l-V"百力，

从而a?+b2=4b2—2yT~^b+1=4(b—?/+p由二次函数性质知

当b=?时，a2+62有最小值;.

故选A.

7.【答案】CD

【解答】

解：由/+y2+2%=0得(％+1)2+y2=1,实数x,y满足%2+y2+2%=0对应的点p(x,y)在以为圆心,以1为

半径的圆上，

告的几何意义是表示圆上的点P(x,y)到4(1,0)连线的斜率，

设“\=/c,则y=/a:-M当直线y=for-k与圆。+1)2+*=1有公共点时，\~k-k\_解得一字工人工?，

—33

所以-'彳的最大值为■的最小值为-

x—l3x—13

故CD正确.

故选CD

8.【答案】ABD

【解答】

解：对于4中，由点Q(4,0)到L的距离为d=『1=1,所以点Q(4,0)到L中任意一条直线的距离为定值，所以A

Jcos2?+sin2?

正确；

对于B中，由点Q(4,0)到L的距离为d=1,可得直线L表示的是圆C:(x—4>+V=1的所有切线，所以存在定点P,例

如：圆。一4)2+必=1内部的点，不在直线L中任意一条直线上，所以8正确；

对于C中，由直线B项知直线L表示的是圆C:(x—4>+V=1的所有切线，其中圆C的圆心C(4,0),半径为r=1,又由

”(1,4),可得|MC|=5,

所以点M(l,4)到L中所有直线距离的最大值为5+r=6,所以C不正确；

对于。中，例如：若圆C是一个正三角形的内切圆，即正三角形的三边分别为圆C的切线，因为直线L表示的是圆。:。-

4)2+y2=1的所有切线，所以三角形的三边均在直线L中的直线上，所以。正确.

故选：ABD.

9.【答案】AD

【解答】

解：对于A,当。=,时，直线4为,％+2y+,=0,直线=为3%—5y+7—1=0,

此时两直线的斜率分别为七=—和&=5,

所以々1,左2=—1，所以-L，2，故A选项正确；

对于当。=一2时，直线h为X—y+3=0,直线%为第―y+3=0,

此时两直线重合，故3选项错误；

对于C,由直线k：ax+2y+3a=0,整理可得：a(x+3)+2y=0,

故直线。过定点(一3,0),

直线3%+(a—l)y+7—a=0,整理可得：a(y—1)+3%—y+7=0,

故直线。过定点(-2,1),故。选项错误；

对于。，当%平行时，a(a-l)=2x3,解得a=3或。=一2,

当a=-2时，两直线重合，舍去；

当a=3时，直线为3%+2y+9=0,直线，2为3%+2y+4=0,

此时两直线的距离d=J一旬=书,故。选项正确.

J32+2213

故选：AD.

10.【答案】AC

【解答】

解：因为点N在直线x+y=0上，设点N(a,—a),

又M(L0),

则MN的中点坐标为(等,£),

其必在直线血％—y+1=0(m?/?)_L,

则mx孚+|+1=0,

化衙为根(。+l)+a+2=0,Q)

又直线MN垂直直线租％-y+1=0(zn?R),

故^--X7?1=-l(aH1),化筒=a—1,(2)

联立①②，解得

-1+AT3-1-<3

g、一,或"、一,

m=­y/~3\m=7-3

又当a=1时，根据MN垂直直线m%—y+1=0(m?/?),

必有m=0,此时直线方程为y=1,

MN的中点坐标为(1,-手，不在直线y=l上，不满足题意，

故m=±V-3,

故选：AC.

11.［答案］4V7

【解答】

解:直线=/久—1)-2过定点M(l,-2),

则PM垂直于直线/时，d有最大值，为|PM|=J(5—1尸+(2+2尸=4。,

故答案为4。.

12.【答案】3x—4y—12=0

【解答】

解:联立直线x+y=4和2x+3y-8=0得久=4,y=0,则得其交点为(4,0).

因为直线I与直线y=1x+1平行，

所以设直线1的方程为丫=，无+6(b?l),将点(4,0)坐标代入得b=-3,

4

3

X3即2-O

所以直线I的方程为y4--3%

故答案为：3x—4y-12=0.

13.［答案］6c

【解答】

解：2(6,