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文档简介

2025届辽宁大连市高二数学第一学期期末统考试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.“”是“方程为双曲线方程”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.设函数在定义域内可导,的图像如图所示,则导函数的图象可能为()A. B.C. D.3.已知直线的一个方向向量,平面的一个法向量,若,则()A.1 B.C.3 D.4.若,则=()A.244 B.1C. D.5.双曲线的焦点坐标是()A. B.C. D.6.如图,平行六面体中,为的中点,,,,则()A. B.C. D.7.已知双曲线的左、右焦点分别为,,过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于,,且,则双曲线的渐近线方程为()A. B.C. D.8.下列说法中正确的是()A.命题“若,则”的否命题是真命题;B.若为真命题,则为真命题;C.“”是“”的充分条件;D.若命题:“,”,则:“,”9.在直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,,点在棱上,且,则与平面所成角的正弦值为()A. B.C. D.10.已知球O的半径为2,球心到平面的距离为1,则球O被平面截得的截面面积为()A. B.C. D.11.在等差数列中,为其前n项和,,则()A.55 B.65C.15 D.6012.已知双曲线的离心率,点是抛物线上的一动点,到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为,则该双曲线的方程为A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知数列满足,则其通项公式_______14.若,则与向量同方向的单位向量的坐标为____________.15.将参加冬季越野跑的名选手编号为:,采用系统抽样方法抽取一个容量为的样本,把编号分为组后,第一组的到这个编号中随机抽得的号码为,这名选手穿着三种颜色的衣服,从到穿红色衣服,从到穿白色衣服,从到穿黄色衣服,则抽到穿白色衣服的选手人数为__________16.设分别是平面的法向量,若,则实数的值是________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在空间四边形中,分别是的中点,分别是上的点,满足.(1)求证:四点共面;(2)设与交于点,求证:三点共线.18.(12分)已知圆:,点A是圆上一动点,点,点是线段的中点.(1)求点的轨迹方程;(2)直线过点且与点的轨迹交于A,两点,若,求直线的方程.19.(12分)已知等差数列的前n项和为,若公差,且,,成等比数列.(1)求的通项公式;(2)求数列的前n项和.20.(12分)已知函数.(1)求函数的极值;(2)若对恒成立,求实数a的取值范围.21.(12分)如图,四棱锥中,底面为梯形,底面,,,,.(1)求证:平面平面;(2)设为上一点,满足,若直线与平面所成的角为,求二面角的余弦值.22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,曲线1与坐标轴的交点都在圆C上(1)求圆C的方程;(2)设过点P(0,-2)的直线l与圆C交于A,B两点,且AB=2,求l的方程

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】先求出方程表示双曲线时满足的条件,然后根据“小推大”的原则进行判断即可.【详解】因方程为双曲线方程,所以,所以“”是“方程为双曲线方程”的充要条件.故选:C.2、D【解析】根据函数的单调性得到导数的正负,从而得到函数的图象.【详解】由函数的图象可知,当时,单调递增,则,所以A选项和C选项错误;当时,先增,再减,然后再增,则先正,再负,然后再正,所以B选项错误.故选:D.【点睛】本题主要考查函数的单调性和导数的关系,意在考查学生对该知识的掌握水平,属于基础题.一般地,函数在某个区间可导,,则在这个区间是增函数;函数在某个区间可导,,则在这个区间是减函数.3、D【解析】由向量平行充要条件代入解之即可解决.【详解】由,可知,则有,解之得故选:D4、D【解析】分别令代入已知关系式,再两式求和即可求解.【详解】根据,令时,整理得:令x=2时,整理得:由①+②得,,所以.故选:D.5、B【解析】根据双曲线的方程,求得,结合双曲线的几何性质,即可求解.【详解】由题意,双曲线,可得,所以,且双曲线的焦点再轴上,所以双曲线的焦点坐标为.故选:B.6、B【解析】先用向量与表示,然后用向量表示向量与,即可得解【详解】解:为的中点,故选:【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,解决本题的关键是熟练运用向量的加法、减法及实数与向量的积的运算,属于基础题7、D【解析】直线的斜率为,计算,,利用余弦定理得到,化简知,得到答案【详解】由题意知直线的斜率为,,又,由双曲线定义知,,.由余弦定理:,,即,即,解得.故双曲线渐近线的方程为.故答案选D【点睛】本题考查了双曲线的渐近线,与圆的关系,意在考查学生的综合应用能力和计算能力.8、C【解析】A.写出原命题的否命题,即可判断其正误;B.根据为真命题可知的p,q真假情况,由此判断的真假;C.看命题“”能否推出“”,即可判断;D.根据含有一个量词的命题的否定的要求,即可判断该命题的正误.【详解】A.命题“若x=y,则sinx=siny”,其否命题为若“,则”为假命题,因此A不正确;B.命题“”为真命题,则p,q中至少有一个为真命题,当二者为一真一假时,为假命题,故B不正确C.命题“若,则”为真命题,故C正确;D.命题:“,”,为特称命题,其命题的否定:“,”,故D错误,故选:C9、C【解析】取AC的中点M,过点M作,且使得,进而证明平面,然后判断出是与平面所成的角,最后求出答案.【详解】如图,取AC的中点M,因为,则,过点M作,且使得,则四边形BDNM是平行四边形,所以.由题意,平面ABC,则平面ABC,而平面ABC,所以,又,所以平面,而所以平面,连接DA,NA,则是与平面所成的角.而,于是,.故选:.10、B【解析】根据球的性质可求出截面圆的半径即可求解.【详解】由球的性质可知,截面圆的半径为,所以截面的面积.故选:B11、B【解析】根据等差数列求和公式结合等差数列的性质即可求得.【详解】解析:因为为等差数列,所以,即,.故选:B12、B【解析】先根据离心率得,再根据抛物线定义得最小值为(为抛物线焦点),解得,即得结果.【详解】因为双曲线的离心率,所以,设为抛物线焦点,则,抛物线准线方程为,因此到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和等于,因为,所以,即,即双曲线的方程为,选B.【点睛】本题考查双曲线方程、离心率以及抛物线定义,考查基本分析求解能力,属中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】构造法可得,由等比数列的定义写出的通项公式,进而可得.【详解】令,则,又,∴,故,而,∴是公比为,首项为,则,∴.故答案为:.14、【解析】由空间向量的模的计算求得向量的模,再由单位向量的定义求得答案.【详解】解:因为,所以,所以与向量同方向的单位向量的坐标为,故答案为:.15、【解析】,所以抽到穿白色衣服的选手号码为,共16、4【解析】根据分别是平面的法向量,且,则有求解.【详解】因为分别是平面的法向量,且所以所以解得故答案为:4【点睛】本题主要考查空间向量垂直,还考查了运算求解的能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【小问1详解】连接AC,分别是的中点,.在中,,所以四点共面.【小问2详解】,所以,又平面平面,同理平面,为平面与平面的一个公共点.又平面平面,即三点共线.18、(1);(2)x=1或y=1.【解析】(1)设线段中点为,点,用x,y表示,代入方程即可;(2)分l斜率存在和不存在进行讨论,根据弦长求出l方程.【小问1详解】设线段中点为,点,,,,,,即点C的轨迹方程为.【小问2详解】直线l的斜率不存在时,l为x=1,代入得,则弦长满足题意;直线l斜率存在时,设直线l斜率为k,其方程为,即,圆的圆心到l的距离,则;综上,l为x=1或y=1.19、(1);(2).【解析】(1)由等差数列的通项公式、前n项和公式结合等比数列的性质列方程可得数列首项与公差,即可得解;(2)由,结合裂项相消法即可得解.【详解】(1)因为数列为等差数列,,,,成等比数列,所以,所以,即,又因为,所以,所以;(2)因为,所以.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用及裂项相消法的应用,考查了运算求解能力,属于中档题.20、(1)极大值为,无极小值(2)【解析】(1)求函数的导数,根据导数的正负判断极值点,代入原函数计算即可;(2)将变形,即对恒成立,然后构造函数,利用求导判定函数的单调性,进而确定实数a的取值范围..【小问1详解】对函数求导可得:,可知当时,时,,即可知在上单调递增,在上单调递减由上可知,的极大值为,无极小值【小问2详解】由对恒成立,当时,恒成立;当时,对恒成立,可变形为:对恒成立,令,则;求导可得:由(1)知即恒成立,当时,,则在上单调递增;又,因,故,,所以在上恒成立,当时,令,得,当时,在上单调递增,当时,在上单调递减,从而可知的最大值为,即,因此,对都有恒成立,所以,实数a的取值范围是.21、(1)证明见解析;(2).【解析】(1)由三角形的边角关系可证,再由底面,可得.即可证明底面,由面面垂直的判定定理得证.(2)以点为坐标原点,,,分别为,,轴建立空间坐标系,利用空间向量法求出二面角的余弦值.【详解】解析:(1)证明:由,,,,,所以,又,∴,∴,∴,因为底面,底面,∴.因为,底面,底面,底面,底面,所以面面.(2)由(1)可知为与平面所成的角,∴,∴,,由及,可得,,以点为坐标原点,,,分别为,,轴建立空间坐标系,则,,,,设平面的法向量为,则,,取,设平面的法向量为,则,,取,所以,所以二面角余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的判定,线面垂直的性质,利用空间向量法求二面角的余弦值,属于中档题.22、(1

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