2025年高考数学一轮复习：函数与方程（十一大题型）讲义（原卷版）

第07讲函数与方程

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1:函数的零点与方程的解................................................................4

知识点2:二分法...............................................................................4

解题方法总结...................................................................................5

题型一：求函数的零点或零点所在区间............................................................5

题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围......................................................6

题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题....................................................7

题型四：嵌套函数的零点问题....................................................................7

题型五：函数的对称问题........................................................................9

题型六：函数的零点问题之分段分析法模型.......................................................10

题型七：唯一零点求值问《.....................................................................10

题型八：分段函数的零点问题...................................................................11

题型九：零点嵌套问题.........................................................................12

题型十：等高线问题............................................................................13

题型十一：二分法..............................................................................14

04真题练习•命题洞见...........................................................15

05课本典例•高考素材...........................................................16

06易错分析•答题模板...........................................................17

易错点：不理解函数图象与方程根的联系.........................................................17

答题模板：数形结合法解决零点问题.............................................................17

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

从近几年高考命题来看，高考对函数与方程

2023年天津卷第15题，5分也经常以不同的方式进行考查，比如：函数零点

(1)零点存在性定理2022年天津卷第15题，5分的个数问题、位置问题、近似解问题，以选择

(2)二分法2021年天津卷第9题，5分题、填空题、解答题等形式出现在试卷中的不同

2021年北京卷第15题，5分位置，且考查得较为灵活、深刻，值得广大师生

关注.

复习目标:

(1)理解函数的零点与方程的解的联系.

(2)理解函数零点存在定理，并能简单应用.

(3)了解用二分法求方程的近似解.

，-T函数零点的概念一)(对于函数片/(.v),我们把使/(.\)=0的实数.V叫做函数尸/(.v)的库点.)

函数的零点与方程的解):方程的根与函数零点的关系)~~(方程/(.v)=0仃实数根Q函数i'=/(.v)的图像与a•轴有公共点o函数尸/代)有零点.

如果函数J=/(X)在区间［见加上的图像是连续不断的条曲线,

T〔零点存在性定理并且在/"(办/如。,那么函数j，=/(x)在区间(处。)内布r零点，

即存在cG(a,b),使得/(c)=O,c也就是方程/(2=0的根.

函数与方程

对于区间上连续不断且/(。>/(6)<0的函数/(x),

通过不断地把函数/住)的零点所在的区间一分为二，

使仅间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做.分法.

确定区间口⑶，验证/⑷给定精度£.)

二分法

T［求区间(a,B)的中点Xr)

/计算/g).若/(M)=0,则M就是函数/(<)的零点;一

O［一.分法求函数/(X)零点近似值的步骤

—：若/(。)・/口1)<0,则令b=s(此时零戊匕€(%»)).

若/SA/(xJ<。，则令"W(此时零点W/))

判断是否达到精确度“即若|叱。|<£，则函数零点的近似值为。(或b);

否则用复第(2)~(4)步.

老占突曲・题理探密

,知识苴》

知识点1:函数的零点与方程的解

1、函数零点的概念

对于函数〉=f(x),我们把使〃尤)=0的实数X叫做函数>=的零点.

2、方程的根与函数零点的关系

方程〃尤)=0有实数根。函数y=〃x)的图像与x轴有公共点O函数y=〃尤)有零点.

3、零点存在性定理

如果函数y=〃x)在区间［。回上的图像是连续不断的一条曲线，并且有“a)"伍)<0,那么函数

y=/(x)在区间(〃,/?)内有零点，即存在c£(”,/?),使得〃c)=0,c也就是方程/(九)=0的根.

【诊断自测】已知函数了(幻是定义在R上的偶函数且满足了(2-幻=/(%),当x«0,2］时，

/(x)=-x2+2x-l,则函数g(x)=f(x)Tog】(国T)的零点个数为.

3

知识点2：二分法

1、二分法的概念

对于区间［凡句上连续不断且㈤<0的函数/(%),通过不断地把函数的零点

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求

方程/(x)=0的近似解就是求函数/(X)零点的近似值.

2、用二分法求函数零点近似值的步骤

(1)确定区间［。,可，验证/(a)"伍)<0,给定精度£.

(2)求区间(。,6)的中点%.

(3)计算"xj.若〃再)=0,则占就是函数的零点；若〃。〃再)<0,贝。令。=石(此时零点

与€(”,看)).若/'(4<0,则令4=百(此时零点/e(%,6))

（4）判断是否达到精确度£,即若心-耳＜£,则函数零点的近似值为。（或6）；否则重复第（2）~

（4）步.

用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.

【诊断自测】用二分法研究函数/（x）=v+8/-1的零点时，第一次经过计算得了（0）＜0,/（0.5）＞0,则

其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（）

A.（0,0.5）,/（0.125）B.（0,0.5）,f（0.375）

C.（0.5,1）,/（0.75）D.（0,0.5）,/（0.25）

解题方法总结

函数的零点相关技巧：

①若连续不断的函数/（x）在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.

②连续不断的函数/（尤），其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.

③连续不断的函数/（元）通过零点时，函数值不一定变号.

④连续不断的函数/（尤）在闭区间［a,切上有零点，不一定能推出f（a）f（b）＜0.

题型一：求函数的零点或零点所在区间

/、＜0,/、

【典例1-1】已知函数、八则函数“X）的零点个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【典例1-2】函数〃x）=ln（2x）的一个零点所在的区间是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【方法技巧】

求函数/'（X）零点的方法：

（1）代数法，即求方程/"（x）=0的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数

y=/（x）的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.

【变式1-1］定义在（0,+动上的单调函数“X）满足：VxG（0,+a3）,/［/（x）-log2x＞3,则方程

y（x）-上=2的解所在区间是（

X

C.(1,2)D.(2,3)

【变式1-2］己知函数〃x)=2*+x-2,g(x)=log2x+x-2,故无)=d+x-2的零点分别为a,b,c,

贝！Ja+b+c=

【变式1-3]（2024•高三•山西太原•期中）已知%是函数/（xH/e'+lnx的零点，则

e”-Inx0=___.

【变式1-4]（2024•四川成都•模拟预测）已知函数〃x）=cos3x-3cos2x-3cosx+l,xe[0,2兀],

则函数的零点是—.

【变式1-5]设%是函数〃x）=log2X-27的一个零点，若0＜玉＜%＜当且/&）/伍）/（W）＜0,则

下列结论一定错误的是（）

A.x06(0,^)B.Xge(x1,x2)

C.x0e(O,jq)D.x0e(x3,+oo)

题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围

【典例2-1]（2024•高三•浙江绍兴•期末）已知命题P：函数/（x）=2/+x-a在（1,2]内有零点,

则命题〃成立的一个必要不充分条件是（）

A.3<a<18B.3<4Z<18C.a<18D.a>3

【典例2-2]（2024•四川巴中•一模）若函数/（x）=26?+3x-1在区间（-1,1）内恰有一个零点，则实

数。的取值集合为（）

A.{a|-l<a<2}

C.{a\-1<a<2}

【方法技巧】

本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数的等量关系，列关于参

数的不等式，解不等式，从而解决.

【变式2-1]（2024•山西阳泉•三模）函数〃"=厩2彳+尤2+用在区间（1,2）存在零点.则实数堂的

取值范围是（）

A.—5）B.（―5,—1）C.（1,5）D.（5,+co）

【变式2-2】设函数/。）=/+”。-1）+》在区间工3]上存在零点，则/+〃的最小值为（）

AB.eD.2

-fc7e

【变式2-3］若方程+左=0在区间［0,2］上有解，其中一4+404。<4,则实数左的取值范围

为___.（结果用。表示）

题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题

【典例3-1］（2024•全国•模拟预测）己知函数〃尤）=（/一6+a）in（x+l）,aeR的图像经过四个象

限，则实数。的取值范围是—.

【典例3-2】设函数〃x）是定义在R上的奇函数，对任意xeR,都有〃1+力=〃1-力，且当

%40,1］时，/（x）=2v-l,若函数g（x）=〃x）-log.x（其中a>l）恰有3个不同的零点，则实数a的取

值范围为_.

【方法技巧】

方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点

的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果

不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.

【变式3-1］（2024•河南•二模）已知函数”X）是偶函数，对任意xeR,均有〃x）=/（x+2）,当

xe［0,l］时,/（x）=l-x,则函数g（x）=/（x）-Iog5（x+1）的零点有个.

【变式3-2］己知函数〃元）=（尤2-6尤+时（尸的四个零点是以。为首项的等差数列，则

m+n—__.

【变式3-3］（2024•全国•模拟预测）若函数/（x）=Y-◎6工+2恁21有三个不同的零点，则实数a

的取值范围是—.

【变式3-4］（2024•陕西商洛•模拟预测）已知关于x的方程x=/£（a>0且awl）有两个不等实根，

则实数。的取值范围是（）

题型四：嵌套函数的零点问题

3。2,尤42

【典例4-1】设函数/（x）=7c，若方程产⑴-叭X）-。+3=0有6个不同的实数解，则实

-----,%>2

、工一1

数a的取值范围为（）

A.（|，BB/［JC.］别D.（3,4）

【典例4-2］（2024•高三•河南•期末）已知函数/（尤）=见出，若方程

X

"（%）］2一（3m+2）/（x）+2机+1=0有三个不同的实数解，则实数加的取值范围是（）

A.--,+ooB.-oo,--u{l}

C.「巩-5」D.「双皇

【方法技巧】

1、涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围.

2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功一定要扎实、过关.

【变式4-1］（2024•内蒙古呼和浩特•二模）已知函数/（为=』，若关于x的方程

e

/'（X）-1+m=0恰有3个不同的实数解，则实数机的取值范围是（）

A.［T，+川C.S,2）U（2,+8）D.（l,e2）

【变式4口已知函数小户卜一"。［‘若方程"⑺»2叭出4=。有5个不同的实数解，则

实数。的取值范围为（）

【变式4-3］（2024•高三•上海•期中）已知函数/（x）=sinx,-mVxM］,g（x）=cosx,-^<x<^,下

列四个结论中，无强的结论有（）

①方程f［g（x）］=。有2个不同的实数解；

②方程g［f（x）］=。有2个不同的实数解；

③方程f（同］=0有且只有1个实数解；

④当时，方程g［g（初|=机有2个不同的实数解.

A.0个B.1个C.2个D.3个

题型五：函数的对称问题

【典例5-1】已知函数〃x)=若y=/(x)的图象上存在两个点A8关于原点对称，则

实数。的取值范围是()

A.B.(1,+<»)C.[-1,+»)D.(-1,+co)

【典例5-2】(2024•云南昭通•模拟预测)己知函数/⑺=lnx+sinx,g(x)=ax2+sinx,若函数

图象上存在点M且g(x)图象上存在点N,使得点M和点N关于坐标原点对称，则。的取值范围是()

「1)(1]

L2e)I2e_

C.卜：,+少DJf；

【方法技巧】

转化为零点问题

【变式5-1](2024•四川内江•一模)已知函数〃力="，^<x<e2^,8")=/三+1，若了⑺

与g(x)的图象上分别存在点M、N,使得M、N关于直线y=x+l对称，则实数上的取值范围是()

1~\「4[「2]「3一

A.——,eB.一一fZC.——2D.——,3e

eJ\_eJ\_eJl_e_

【变式5-2](2024•四川•三模)定义在R上的函数y=/(x)与y=g(x)的图象关于直线x=l对称，

且函数y=g(2x-l)+l为奇函数，则函数y=/(x)图象的对称中心是()

A.(-1,-1)B.(—1,1)C.(3,1)D.(3,—1)

【变式5-3](2024•河北邯郸•二模)若直角坐标平面内A,2两点满足条件：

①点都在〃工)的图像上；

②点关于原点对称，则对称点对(AB)是函数的一个“兄弟点对”(点对(A,B)与(6A)可看作一个

“兄弟点对“).

已知函数〃力=].;〉1,,则"无)的"兄弟点对'的个数为()

A.2B.3C.4D.5

题型六：函数的零点问题之分段分析法模型

【典例6-1]（2024•黑龙江•高三大庆市东风中学校考期中）设函数/（x）=——2ex——+。（其中e

为自然对数的底数），若函数人幻至少存在一个零点，则实数。的取值范围是

,1,1

A.（0,e2——]B.（0,e2+~]

ee

C.[/—,+8）D.（-8,e2H—]

ee

【典例6・2】（2024•福建厦门-厦门外国语学校校考一模）若至少存在一个工，使得方程

二工（/一？^%）成立.则实数冽的取值范围为（）

1111

A.m>e2+—B.m<e2+—C.m>e+—D.m<e+—

eeee

【方法技巧】

分类讨论数学思想方法

【变式6-1】设函数/（%）=£-2X-5+4（其中e为自然对数的底数），若函数/（%）至少存在一个零

点，则实数〃的取值范围是（）

A.（0,1+-]B.（0,e+-]C.[e+L+co）D.（-oo,l+-]

eeee

InJC

【变式6-2】已知函数/（九）=--x2+2ex-a（其中e为自然对数的底数）至少存在一个零点,

x

则实数。的取值范围是（）

A.卜（»,/+2）

C./一■,+<»]

题型七：唯一零点求值问题

【典例7-1】（2024•安徽芜湖•二模）在数列｛%｝中，£为其前〃项和，首项4=1,且函数

=d一%sinx+（2%+l）x+l的导函数有唯一零点，则凝=（）

A.26B.63C.57D.25

【典例7-2]（2024•贵州毕节•模拟预测）若函数〃x）=/-4x+a（e2i+e*）有唯一零点，则实

数。=（）

A.2B.yC.4D.1

【方法技巧】

利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：

(1)利用零点存在性定理构建不等式求解.

(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.

(3)转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

【变式7-1]在数列{%}中，4=1,且函数/(司=^+4田sinx—(2a“+3)x+3的导函数有唯一零点，

则的值为().

A.1021B.1022C.1023D.1024

【变式7-2](2024•辽宁沈阳•模拟预测)已知函数g(x)/(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,

且g(x)+/z(x)=/+x,若函数〃x)=2卜一"+公(尸1)-6万有唯一零点，则正实数％的值为()

A.—B.—C.2D.3

23

【变式7-3](2024•江西•二模)已知函数g(x),/z(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且

22

g(尤)+〃(x)=2023"+log2023(x+Vl+x),若函数/(x)=2023+号叫-2g(%-2023)-22有唯一零点，贝l|实数

%的值为()

A.-1或;B.-1或-另C.-1D.y

题型八：分段函数的零点问题

2x_1%>o

2二八，若实数根e(O,l],则函数g(x)=〃x)-，w的零点个数为

{-x-2x,x<0

()

A.0或1B.1或2C.1或3D.2或3

„fx—c,x>0,

【典例8・2】(2024•北京西城•一模)设CER,函数=。若/⑺恰有一个零点，则

[2X-2c,x<0.

c的取值范围是()

A.(0,1)B.{0}U[l,+oo)

C.(0.1)D.{0}U[g,+8)

【方法技巧】

已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的

图象，利用数形结合的方法求解.

【变式8-1】己知函数若函数g(x)=〃x)-。有3个零点，则。的取值范围是

Inx,x>0

()

A.(0,1)B.(0,2]C.(2,+oo)D.(l,+<»)

“、[2X+a,x<2

【变式8-2](2024•图三•北京通州•期末)已知函数/(%)={

[a-x,x>2.

⑴若a=-亚,则/'(x)的零点是—.

(2)若/'(X)无零点，则实数。的取值范围是—.

【变式8-3](2024•山西•模拟预测)己知函数〃尤)="J©：.，无：1，若函数y=/Q)_2有三个零

[lnx+l,x>l,

点，则实数。的取值范围是()

A.(-8,2)B.(-3,4)C.(-3,6)D.(-3,+8)

Y^Y_§%<0

■■'-c,令〃(x)=/(x)-左，则下列说法正确的()

{—2+Inx,x>0

A.函数的单调递增区间为(0,+8)

B.当左«<-3)时，力㈤有3个零点

C.当左=-2时，入⑺的所有零点之和为-1

D.当％e(ro,T)时，〃(x)有1个零点

题型九：零点嵌套问题

【典例9-1]设定义在R上的函数/(x)满足/(x)=9x2+(G-3)xex+3(3-a)e2x有三个不同的零点

A.81B.-81C.9D.-9

【典例%2]若关于x的方程(彳+1)一+」(:T)，=6恰有三个不同的实数解看,巧，鼻，且

XX+1

(1)

玉<0<尤2<W，其中加eR,贝!]占+—(尤2+X3)的值为()

A.-6B.-4C.-3D.-2

【方法技巧】

解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.

【变式9-1］已知函数/（x）=2（a+2）e出一（々+1）犹"+%2有三个不同的零点芯,兀2，工3，且再＜。＜%2＜工3,

则［2一一小2一小的值为（

）

A.3B.6C.9D.36

【变式9-2】已知函数/（尤）=（“+3/2’」（〃+1）%/+北2有三个不同的零点七,々，％3，且玉＜%2＜兄3，则

三¥1-二）的值为（）

1〃八*A*）

A.3B.4C.9D.16

【变式9・3］（2024•四川成者B•一模）已知函数/（%）=（111¥）2-£入1111：+0%2有三个零点为、巧、£且

2e

21nxilnx7lnx3

为＜%＜%3，贝丁++的取值范围是（）

x{x2x3

A-Je'b-d-（一川

题型十：等高线问题

|log2x|,x＞0

【典例10-1］已知函数/'（X）=＜式.5八，若方程〃力=。恰有四个不同的实

，3Sin7LX—COS7LX,——＜%＜0

13

数解，分别记为n，巧，X3＞匕，则%+々+X3+%4的取值范围是（）

119＞「219）「517）8兀178兀1

A.B.

oIZy|_512）L24JL343J

【典例10-2】已知函数/（何=（厩若关于X的方程〃x）=f有四个不同的实数解》

L,

g+Zxj+gz的最小值为（）

巧，X3,X4,且X［＜尤2＜尤3＜%,则（6+占）（退一：

7Q

A.-B.8C.-D.1

22

【方法技巧】

数形结合数学思想方法

【变式10-1】己知函数/（x）=若“3有四个不同的解iE且

xl<x2<x3<x4,则X1+X2+X3+X4的取值范围是___.

x2+2x+1,x<0/、

【变式（陕西咸阳•模拟预测）已知函数）

10-2]2024•"X=111Hx>。，若方程有四

个根须,工2，兀3,兀4，且演＜工2＜兀3＜工4，则下列说法错误的是（）

A.x1+x2=—2B.x3+x4>2

C.^x2>4D.0<«<1

【变式10-3](2024•陕西商洛•一模)已知函数〃x)=MgM，xe(-L0)i1(0,4],若关于x的方程

/、1611

〃%)=〃有3个实数解玉,％2，退，且演<%<%则-------------的最小值是()

')x3x1x3x1x2

A.8B.11C.13D.16

「sinTLXI0Wx«2

【变式10-4](2024•陕西渭南•一模)已知"x)=l=一一，若存在实数%(i=l,2,3,4,5),

[e",x<0

5

当无,<无用(力=1,2,3,4)时，满足<(%)=/(/)=/(%)=/&)=/优),则的取值范围为()

i=l

A-[T]B-

C.(-8,4]D.-[,4)

题型十一：二分法

【典例11-1]（2024•辽宁大连•一模）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法.对于非线性可

导函数〃尤）在寺附近一点的函数值可用“X卜〃％）+/'（/乂彳-%）代替，该函数零点更逼近方程的解，

以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解.利用这个方法，解方程尤3一3》+1=0,选取初始值

在下面四个选项中最佳近似解为（）

A.0.333B.0.335C.0.345D.0.347

【典例11-2]（2024•广东梅州•二模）用二分法求方程log,》-1=。近似解时，所取的第一个区间

2x

可以是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【方法技巧】

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.

求方程〃x）=0的近似解就是求函数零点的近似值.

【变式11-1】以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（