2019-2020年高考数学大题专项练习：立体几何（三）

2019-2020年高考数学大题专题练习—立体几何(三)

53.如图,在四棱锥E-ABCD中,平面CDE_L平面ABCD,ZDAB=ZABC=90°,AB=BC=1,

AD=ED=3,EC=2.

(1)证明：AB_L平面BCE；

(2)求直线AE及平面CDE所成角的正弦值.

54.如图1,2,已知ABCD是矩形，M,N分别为边AD,BC的中点，MN及AC交于点O,沿

MN将矩形MNCD折起,设AB=2,BC=4,二面角B-MN-C的大小为6.

(1)当9=90。时，求cos/AOC的值；

(2)点。=60°时，点P是线段MD上一点，直线AP及平面AOC所成角为a.若sina=,

求线段MP的长.

55.在四棱锥P-ABCD中，PA_L平面ABCD,底面ABCD为直角梯形，ZCDA=ZBAD=90°,

AD=DC=,AB=PA=2，且E为线段PB上的一动点.

(1)若E为线段PB的中点，求证:CE〃平面PAD；

(2)当直线CE及平面PAC所成角小于，求PE长度的取值范围.

56.如图，在几何体中，平面底面，四边形是正方形，，是的中点，且

(I)证明：平面；

(II)求直线及平面所成角的正弦值.

57.如图，已知和所在平面互相垂直，且,，点分别在线段上,沿直线将向上翻

折使得及重合

(I)求证：；

(II)求直线AE及平面ABC所成角。

58.如图，四边形是圆台的轴截面，，点在底面圆周上，且，

(I)求圆台001的体积；

(II)求二面角的平面角的余弦值.

59.如图，已知菱形及等腰所在平面相互垂直..为PB中..

(I)求证：平面ACE；

(II)求二面角8—CE—D的余弦值

60.如图，在四面体中，平面J_平面，，，，为等边三角形.

(I)求证：，平面

(II)求直线及平面所成角的正弦值.

61.已知：平行四边形ABCD中，/DAB=45°,AB=AD=2，平面AEDJ_平面ABCD,△

AED为等边三角形,EF〃AB,EF=,M为线段BC的中点。

(I)求证:直线MF〃平面BED；

(II)求平面及平面FBC所成角的正弦值；

(III)求直线8歹及平面BE。所成角的正弦值。

62.如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，

(1)若，求及所成角的余弦值；

(2)当平面及平面垂直时，求的长.

63.在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，，

AB=PA=4,BE=2.

(I)求证：平面；

(II)求及平面PCE所成角的正弦值；

(III)在棱上是否存在一点，使得平面平面？如果存在，求的值；如果不存在，说

明理由.

64.如图，在四棱锥中，，〃，且，

(I)求证:平面_L平面；

(II)求直线及平面所成角的正弦值.

65.如图，四面体中，，平面平面.

(1)求AC的长；

(2)点是线段的中点，求直线及平面所成角的正弦值.

66在四棱锥中，，，点是线段上的一点，且，

(1)证明：面面；

(2)求直线及平面所成角的正弦值.

67.如图，四棱锥，底面为菱形，平面，，为的中点,

(I)求证:直线平面；

(II)求直线AE及平面PCD所成角的正弦值.

68.如图，四棱锥中，平面平面，，，，且，.

(1)求证：平面；

(2)求5E和平面CDE所成角的正弦值；

(3)在线段上是否存在一点使得平面平面，请说明理由.

69.如图，在空间几何体ABCDFE中，底面是边长为2的正方形，，

(1)求证:AC//平面DEF；

(2)已知，若在平面上存在点，使得平面，试确定点的位置.

70.如图，在四棱锥中，是等边三角形，，.

(1)求证:平面平面；

(2)若直线及所成角的大小为60。，求二面角的大小.

71.如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，，为等边三角形,

(1)求证:平面平面；

(2)求二面角A-P3-C大小的余弦值.

72.在正三棱柱中，已知，,,,分别是,和的中点.以为正交基底，建立如图所

示的空间直角坐标系.

⑴求异面直线AC及BE所成角的余弦值；

⑵求二面角的余弦值.

73.如图,在四棱锥P-ABCD中，平面PAD_L平面ABCD,PA_LPD,PA=PD,AB±AD,AB=1,

AD=2,AC=CD=.

(1)求证:PD_L平面PAB.

(2)求直线PB及平面PCD所成角的正弦值.

(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM〃平面PCD?若存在，求的值；若不存在，说明

理由.

74.如图，已知梯形ABCD中,AD〃BC,AD_LAB,AB=BC=2AD=2,四边形EDCF为矩形，

CD=，平面EDCF_L平面ABCD.

(1)求证:DF〃平面ABE.

(2)求平面ABE及平面EFB所成锐二面角的余弦值.

(3)在线段DF上是否存在点P,使得直线BP及平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求

出线段BP的长.

75.在四棱锥中，底面是矩形，平面，是等腰三角形，，是的一个三等分点(靠近

点)，及的延长线交于点，连接.

(I)求证:平面平面；

(II)求二面角A-PE-F的正切值

76.在等腰梯形中，，将梯形沿着翻折至(如图)，使得平面及平面垂直.

(I)求证：；

(II)求直线及平面所成角的正弦值.

77.已知在四棱锥中，平面，，是边长为的等边三角形，，为的中点.

(1)求证：；

(2)若直线及平面所成角的正切值为，求二面角的大小.

78.如图，四棱锥的底面为菱形，，侧面是边长为的正三角形，侧面底面.

()设的中点为，求证：平面.

()求斜线及平面所成角的正弦值.

()在侧棱上存在一点，使得二面角的大小为，求的值.

试卷答案

53.证明：（1）VZDAB=ZABC=90°,

・•・四边形ABCD是直角梯形，

VAB=BC=1,AD=ED=3,EC=2.

CD==,

.*.CE2+DC2=DE2,AEC±CD,

面EDC_L面ABCD,面EDC0面ABCD=DC,

・・・CE_L面ABCD,

.\CE±AB,又AB_LBC,BCACE=C,

・・・AB_L面BCE.

解：（2）过A作AH_LDC,交DC于H,

则AH_L平面DCE,连结EH,

则NAEH是直线AE及平面DCE所成的平面角,

,:-,

AH==,

AE==,

sinZAEH=,

・•・直线AE及平面CDE所成角的正弦值为.

54.解：如图，设E为AB的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.

(1)当8=90。时,A(2,-1,0),C(0,1,2),・・・

(2)由0=60°得，，M(0,-1,0),

0,如),

设，则

•'-AP=0P-0A=（^-2,0,正入），

设平面AOC的法向量为，

,/,，二，取，

由题意，得，即3入2-10入+3=0,或人=3（舍去），

在线段MD上存在点P,且.

55.证明：(1)取PA的中点F,连结EF,DF,

则EF//AB,EF=AB,

又DC〃AB,DC=AB,

；.EF〃CD,EF=DC,

四边形EFDC是平行四边形，

；.CE〃DF,又CE。平面PAD,DFc平面PAD,

；.CE〃平面PAD.

解：(2)；AD=CD=,AD±CD,.\AC=2,

又AB=2,ZBAC=45°，,BC=2,

；.AC_LBC,

又PA_L平面ABCD,BCu平面ABCD,

PAJ_BC,又PAClAC=A,

；.BCJ■平面PAC,

过E作EM/7BC,则EM_L平面PAC,

ZPCE为CE及平面PAC所成的角，即NPCEV

•/PA=2,AC=2,PC=2,BC=2,PB=4,

AZBPC=,

当ZPCE=时,CE_LPB,此时PE=3,

.•.当NPCE时,PE<3.

56.(I.证明：如图1所示，连接交于点，连接..

因为四边形是正方形，

所以M是AC1的中点

又已知。是A3的中点

所以

又因为31G〃3C且5C=23iC]

所以，

即四边形及是平行四边形

所以，

因此与。〃平面4ACC]................................................................................7分

图1

(II)如图2所示，过点作面及面的交线，交直线于

过作线的垂线，垂足为.再过作线的垂线,垂足为

因为AHLBQAA]

所以面AA",

所以AD，AG,又因为A"LAG,

所以面，所以即及面所成的角.10分

因为〃面，所以〃，

且为的中点，

如图3所示，为边上的高，

AB=722+22+2x2=2^,

BD=V22+42+2X4=2A/7,

因为工C5CDsinl20°=~BDCP

22

所以，所以

因为，所以,

A.H51V31

所以sinZA*裳:射智............

................................15分

L

AH

图4

57.

面ABC±面BCD

(1)面ABCc面BCD=BC,nFCJ.面ABC二>ABLCF.............5分

ZBCD=90°^CFIBC

B

(2)设A3=AC=1,贝lJBC=亚,Cr)=0,JB。=2,

设BE=t,则ED=EA=2-t,

取3Q的中点〃，连接HE,AH,

又则

ZEBH=45°,HE?=f_t+L

2

面ABC1面BCD'

,、面ABCc面BCD=BC}nAHJ_面BCD

(3).............7分

AHIBC

又AH±面BCD,AE~=AH-+EH2,

,、21,1.•.点E是3。的中点,.....10分

：.(2-tY=-+t2-t+-,:.t=l

V'22

HEPBC,:.HE1^ABCN3E4为所求角的线面角.....12分

AE=1,AH=—,EH=—...........14分

22

jr

所以直线AE及平面ABC所成角为一

4...............................15分

法2:,

JT

所以直线AE及平面ABC所成角为一

4(酌情给分)

58.

解法一：(I)由已知可得：OM平面AOD.又ACDM.从而有ACDO

由平面几何性质可得AC_LCB-一一4

设OOl=h,在直角4ABC中，有AC2+BC2=AB2

即(9+h2)+(l+h2)=16

h=-\/3

....圆台的体积……-一一7

(II)过点O在△DOM内作OEDM,作OH平面DAM,垂足分别为E,H,连EH.

…易得EHDM,故NOEH就是二面角的平面角....一一10

在小DOM中,(2«=虚

由VD-AOM=VO-ADM得OH=-----13

在直角△OEH中，

则二面角A—DM—O的余弦值为五—15

7

解法二：(I)由题意可得、、两两互相垂直，

以为原点，分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系-一一2

设，则，，

DM=(2,1,-/2),AC=(0,3,/?)

■.■DMLAC:.DMAC=3-h2=0

解得h=6-—5

圆台的体积.....——7

(II)AM=(2,2,0),DM=(2,1,-73),OM=(.2,0,0)--9

设平面ADM、平面ODM的法向量分别为

〃=(X]，M，Z]),v=(x2,y2,z2)

则且即且

取，=(石，一石,1)♦=(0,百,1)--13

则二面角A—DM—O的余弦值为一—15

7

59.

证：（I）.连结BD,设BD交AC于M点，连结ME..........................................2分

在平行四边形ABCD中，AC,BD相互平分，即DM=BM,

又PE=BE

在中，

MEu面AEC

EM//PD..........................................6分

解：(II).

过D作DO垂直BA延长线及O点，连结PO,易得DO,PO,BO两两垂直

建立如图坐标系，设AB=2,则

8(0,3,0),C(0,2,V3),P(V3,0,0),D(0,0,6)

3

2

.......................................10分（注：每对一个给1分）

设面BCE的一个法向量为，面DCE的一个法向量，则

m-BC=—%+v3=0n-DC==0

m•BE-玉一』％=0

n-DE=x2+y2-A/3=0

.12分（注：每对一个给1分）

_-m・n77^65

cos<m,n>=iI=।—=~~~14分

|m|.|»|V6565

二面角B—CE—D的余弦值为......................15分

60.

证：（1）取中点，连结，为等边三角形.

工，……（2分）

又平面_L平面，平面平面=,

平面，，平面，±,……（5分）

又±,，平面....（7分）

（2）法一：设点C到平面的距离为d,由,.......（10分）

即，得……（13分）

设直线及平面所成角为，则……（15分）

法二：取中点，连，则_L,±,，平面，平面_L平面,又平面平面

=,过点C作±,垂足为G,则_L平面，所以就是所求角.....（10分）

在中，算得，……（13分）所以……（15分）

法三：如图建立空间直角坐标系，

所以...（10分）

AB=（-1,AO）,AD=

设E=（x,%z）是平面ABD的一个法向量

所以取y=贝M=（3,.......（13分）

设直线及平面所成角为，则……（15分）

61.

(D证明：在4ADB中，：DAB=45°AB=AD=2,.\AD±BD

取AD中点O,AB中点N,连接ON,则ON〃BD,

ADON又平面AEDJ_平面ABCD,平面AEDA平面ABCD=AD,AD±OE,

；.EO_L平面ABCD,

.•.以O为原点，OA,ON,OE分别为x轴,y轴,z轴，建立空间直角坐标系，如图取BD的中点

H,连接FH,OH,则OH〃AB〃EF,JLOH=EF,

，FH〃EO,

；.FH_L平面ABCD,

AD(-1,0,0)B(-1,2,0)H(-1,1,)F(-1,1,)C(-3,2,0)M(-2,2,0),

=(0,2,0)=(1,0,)=(1,-1,),

设平面AED的一个法向量为（x,y,z），则

不妨设=（,0,-1）

±

又：MF<Z平面AED

，直线MF〃平面AED

(II)解：：=(-2,0,0),=(0,-1,)

设平面FBC的一个法向量为(x,y,z)，则，

不妨设=(0,,1)

设平面BED及平面FBC所成的角为。

则IcosI=II=,.'.sin

平面BED及平面FBC所成角的正弦值为——

4

(III)解：直线BF及平面BED所成角为a,

------V3

则sina=Icos<BFn>I=II=-----。

4

73

直线BF及平面BDE所成角的正弦值为一

4

62.

(1)因为四边形是菱形，所以.

又因为平面，所以.

又，所以平面.

设ACIBD=O.

因为，，

所以，，

如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系.

则，，，，所以，.

设及所成角为，则.

ry

8

X

（2）由⑴知，设（），则，

设平面的法向量，则，，所以，

令，则，，所以.

同理，平面的法向量.

因为平面平面，所以，即，解得.所以.

63.

解：（I）设中点为，连结，因为〃，且，所以〃且，所以四边形为平行四边形,

所以〃，且.因为正方形，所以〃，所以〃，且，所以四边形为平行四边形，所以

//.因为平面，平面，所以〃平面（4分）.

（II）如图，建立空间坐标系，则，，，，，所以=（4,4,一4）,=（4,0,-2）,=（0,4,-4）.

设平面的一个法向量为，所以

m-PC=0[x+v—z=Q

m-PE=0l2x-z=0

令，则，所以.

设及平面所成角为，

则

.I—Im-PD-4W

sina=cos<m,PD>\=।=-j=----尸=——

11poM|#x4在6

所以及平面所成角的正弦值是（8分）.

（川）假设存在点满足题意，则，

设平面的一个法向量为，则

nDE=02x-2v+z=0

n-FE=Q[(4-<7)X+2Z=0

令，则，所以.

因为平面平面，所以，即，

所以，故存在点满足题意，且(12分).

64.

(I)证明：取中点为，连接，因为，所以，又，，所以，所以四边形为矩形，所

以，

又，所以平面.-------------------------------4分

又，所以平面，

又平面，所以平面平面.----------------------6分

(II)在中，，，，所以；

在中，，，，所以.

取和的中点分别为和，则，

又，所以，所以四边形为平行四边形，

又，为的中点，所以，

所以平面，所以平面，所以平面平面，-------10分

所以为在平面上的射影，所以为及平面所成的角。12分

在中，，，所以，

所以疝〃%=2=茎=巫。

PC2755

即直线PD及平面PBC所成角的正弦值为半---------------------15分

(用其它方法(如用空间向量法、等体积法等)解答，酌情给分！)

65.

(1)・・•，，，

：.AB±BD,

又，・,平面平面，平面平面，

**•平面，

：.AB±BCf

9：AB=BC=lf

AC=y/2.

(2)由(1)可知平面，过作于点，连接，则有平面，

二・平面平面，

过作于点，则有平面，连接，

则为及平面所成的角.

由，，得，工，

又・・•AB=1,

•••，人7,••，

/.sinNBEH=四

BE

66.

(1)由，得，

又因为，且，所以面，....5分

且面.所以，面面。....7分

(2)过点作，连结，

因为，且，

所以平面，又由平面，

所以平面平面，平面平面，过点作，即有平面，所以为直线及平面所成

角....10分

在四棱锥中，设，则，，，.・.，

从而，即直线及平面所成角的正弦值为...15分

67.

（I）证明：，

ED=1,AD=2,:.AE^CD

又「A^/CD,AELAB

又，平面ABC。，..PA，AE,PAcA3=A

直线AEL平面

（II）（方法一）连接PE,过A点作AH,PE于H点.

:CDLEA,CDLPA,EAcPA=A,

平面，.

又，平面.

所以ZAEP为直线AE及平面PCD所成的角.

在中，，

直线AE及平面PC。所成角的正弦值为名笈

7

（方法二）如图建立所示的空间直角坐标系A-孙z.

P（0,0,2）,E（0,73,0）,C（1,73,0）,D（-1,A/3,0）.

AE=（0,V3,0）,PC=（1,V3,-2）,DC=（2,0,0）

设平面的法向量，

PC."=O+J3y_2z=0=力=0,1,y-j

DCn=O(2x=0

I1

cos<^,4=q=空.所以直线AE及平面PCD所成角的正弦值为2亚

1A斗同77

X

68.

⑴由，，

可得BD=2g.

由，且，可得.

又.所以.

又平面平面，

平面平面，

平面，所以平面.

(2)如图建立空间直角坐标系，

c

V

则，，，，

，，，

设是平面的一个法向量，则，

即.

令，则.

设直线及平面所成的角为，

UUTr

/uurr-BE・n

则sina-cos(BE,nuurr

BEn

所以和平面所成的角的正弦值.

(3)设，.

，，*

UUULUUUlULUUUULUUL_

则。尸=£>C+CP=DC+4CE=72(22-1,-2+1,2).

设是平面一个法向量，则，，

*=0,

即V

[(22-l)x,+(-A+l)y+2z,=0'

令，则.

若平面平面，则，

即，.

所以，在线段上存在一点使得平面平面.

69.

解：(1)连BD交AC于O,取DE中点K,良OK、KF

•；AC.BD是正方形的对角线

.".O为BD中点，，，，四边形AOKF为平行四边形，

又：平面DEF,平面DEF

；.AC〃平面DEF

(2)在4DAF中，,,，所以

又因为，，平面ABCD

AF_L平面ABCD.

以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系(如图)..

则，，，，，

设，因为，，

又丽=(2,-2,0,),DP=ADE+(-24,24,2/1)+(-2〃,0,〃)

=(-2彳_2禺2422+〃)

所以而=丽+而=(2—2彳一2〃,2/1—2,2；1+〃)，

-2(2-24-2〃)+2A+〃=0,

'"[-2(2-22-2//)+2(22-2)+2(22+//)=0,

解得即.所以是线段上靠近的三等分点.

70.

(1),/,

且AFBD是等边三角形

,均为直角三角形，即，，

平面

•.,ZMq平面

平面平面？AD

(2)以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系

设，则，.

•.•直线及所成角大小为60°,所以

utruun

,uiruun、PBCD

cos(PB,CD

PB-CD2

即，解得或(舍)，

•••C=(1,2,0),

设平面的一个法向量为.

•・•，，则

即

令，则，所以.

•・,平面的一个法向量为，

,，则

即

令，则，，

U

m=(1,—1,—1).

故二面角的大小为90°

71.

(1)如图取的中点，连接，依题，

所以四边形是平行四边形，

所以.因为是中点，

所以，故，

所以为等边三角形，所以，

因为，所以

所以平行四边形为菱形，

所以，所以，即，又已知，所以平面，

平面，所以平面平面.

⑵由⑴知，平面，平面平面，所以如图，以为轴，为轴，过点及平面垂直

的直线为轴建立空间直角坐标.设，则，，所以，

所以.设平面的法向量，则

，令，则，所以.

同理可得平面的法向量，所以，

所以二面角A-PJB-C大小的余弦值为.

72.

(1)因为，则，

所以,,......2分

记直线和所成角为，

贝4cosa=|cos<AC,BE>|=|一,?，「_7/

口“百一彳’

所以直线和所成角的余弦值为.................................4分

(2)设平面的法向量为，

因为，，

则，取得：.......................6分

设平面的一个法向量为，

因为，，

则，取得：...................8分

4x道+(-1)X0+1X02庖

cos<m,n>=/=———

，(扬2+(-1)2+()2."2+02+1217

根据图形可知二面角为锐二面角，

所以二面角尸—8C]—C的余弦值为笠....

.........................10分

73.()见解析.().()存在，.

()二•面面，面，且，

・•・面，

:.AB±PD,

又・・•，,

面.

()如图所示建立空间直角坐标系，

y

设直线及平面所成角为，

则有，，，

设平面的法向量为

由，得,

PB•n-2+l-2_>/3

sin0=

\PB\-\n\63—3

又•..直线及平面所成角为锐角,

・••所求线面角的正弦值为.

()假设存在这样的点，

设点的坐标为.

则的=(〃,—1,4),

要使直线面，

即需要求.

・・—1+—0,

解得〃=L

4

,AM1

此时L——二—.

AP4

74.见解析.

解：(1)证明：取为原点，所在直线为轴,

所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

设平面的法向量为，

・•・不妨设,

又丽=(-1,2,君)，

DF-n=-^3+y/3=O,

-'■DF±n,

又：平面，

平面.

(2)解：・・・,,

设平面的法向量为，

・•・不妨设，

\m'n\105商

二|cos昨

\m\\n\2-A/31-31

二.平面及平面所成锐二面角的余弦值为

(3)解：设，，

P(-2,22,732),

丽=（一九一1,24—2,丸），

又•.,平面的法向量为，

-sinO=|cos<游.马=I后--+加I—=B

2收