2024-2025学年湖南省永州某中学高三（上）月考数学试卷（8月份）（含答案）

2024-2025学年湖南省永州一中高三（上）8月月考

数皿「学，、忆试\_rx卷、/▲

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合4—{xeZ\—3<x<3],B={x\y=Vx+1},则2nB=()

A.{-1,0,1,2}B.(-1,3)C.{0,1,2}D.(-1,+8)

2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1,0),贝1的共轨复数5=()

A.1+质B.1C.-l+yfliD.-1-<3i

3.(久-O的二项展开式中炉的系数为()

A.15B.6C.-4D.-13

4.已知直线2：丫=-+1与圆。：(x+I)2+y2=r2(r>0),贝U''VkeR,直线1与圆C有公共点”是

ar>Q的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知/(久)=n则不等式f(x+3)</(%2+3x)的解集是()

A.(-3,1)B.(0,1)

C.(-00,-3)U(1,+8)D.(1,+8)

6.设函数/(%)=S讥3%(3>0).已知f(%1)=-1,/(x2)=1，且1%1-12l的最小值为5则3=()

A.1B.2C.3D.4

7.如图，在四棱锥尸―ABGD中，底面Z8C0是边长为4的正方形，PA=PB=4,PC=PD=2<2,该棱锥

的高为()

A.1

B.2

C.<2

D./3

8.双曲线捻-，=1（£1>0">0）的左、右焦点分别为F1、尸2孑是双曲线右支上一点，且直线PF?的斜率为

2,是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）

A・沁=】B-X=1必-卜唱-白1

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知x>0,y>0,且久+2y=2,贝！］()

A.的最小值是1B.%2+y2的最小值是《

C.28+4〉的最小值是4D」+2的最小值是5

xy

10.设函数/(%)=x3—x2+ax—1,贝(J()

A.当。=-1时，/(%)有三个零点

B.当a>，时，/(%)无极值点

C.BaER,使/(%)在R上是减函数

D.VaGR,/(%)图象对称中心的横坐标不变

11.函数/(%)及其导函数((%)的定义均为R,且/(%)是奇函数，设0(%)=((%),/i(x)=f(x-4)+%,则

以下结论一定正确的有()

A.g(x)为偶函数

1

称

对

B.函数g(2x-1)的图象关于直线x=2-

C.h(x)的图象关于(4,4)对称

D.设数列｛0｝为等差数列，若的+a2+-+an=44,则以的)+h(a2)+•■■+h(ail)=44

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.过原点的直线/与曲线y=eLy=ln(x+a)都相切，则实数a=.

13.A,B,C,D,E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.(1)甲选到力的概率为；已知乙选了力

活动，他再选择B活动的概率为.

14.已知a>0,xr,不分别是函数/'(%)=-a与g(x)=-蛆一a的零点，则一条石■的最大值为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知在中，Z+B=3C,2sin(A—C)=sinB.

⑴求sin/l；

(2)设力B=5,求力B边上的高.

16.（本小题15分）

如图，三棱锥4—BCD中，DA=DB=DC,BD1CD,Z.ADB=Z.ADC=60°,E为BC中点.

(1)证明BC1DA；

(2)点F满足前=方］，求二面角D—AB—尸的正弦值.

17.(本小题15分)

设Fi，尸2为椭圆C：与+马=1(a>6>0)的左、右焦点，点4(，羽)在椭圆C上，点4关于原点的对称点

为B,四边形的面积为，3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若过尸2的直线/交椭圆C于M,N两点，求证：/所+&为定值.

18.(本小题17分)

已知函数/'(x)=(1—ax)ln(l+%)—%.

(1)当a=—2时,求/1(x)的极值;

(2)当％20时,/(x)>0,求a的取值范围.

19.(本小题17分)

将n(nN2)个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列｛厮｝,对任意如果四>出，那么称

数对(田,卬)构成数列｛厮｝的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数.

(1)若将1,2,3,4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合；

(2)计算以下数列的逆序数.

(0)an=-2n+19(1<n<100)；

(》n,n为奇数

(回)a=(1<n<fc)；

n-三，九为偶数

(3)已知数列a1，。2，…，an的逆序数为处求Qn，。n―1，…，的的逆序数.

参考答案

1.71

2.D

3.B

4.B

5.4

6.5

1.D

8.X

9.BC

10.BD

U.ACD

12.-

e

15.解：(1)・.・Z+B=3C,A+B+C=7if

•••4C—7T,

・•・C=%

4

2sin(i4—C)=sinB,

•••2sin(A—C)=sin[7r—(Z+C)]=sin(Z+C),

•••2sinAcosC—2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

・•・sinAcosC=3cosAsinC,

<2..o/2.

•••—sinA=3X—cosA,

・••sinA=3cosZ,艮[JcosZ=^sinA,

1

又•・,siMZ+cos2A=1,sin2X+§sin2A=1,

解得siMZ=备

又•・,AG(O,TT),•••sinA>0,

.A3AH0

•••sinA=f；

(2)由(1)可知sinA=七%cosA=^sinA=

・•・sinB=sin(i4+C)=sinAcosC+cosAsinC=义?+x?=

_LU乙_LU乙O

.__BC___5__「方

：

,,sinCsinBsinAsin4’

・•.AC=S^2sinB=5<2x等=2/10,BC=5彘xsinA=5/2x=3Y,

设边上的高为h,

贝叼AB-h=^xACxBCxsinC,

|/i=ix2/10x3<5x昌,

解得h=6,

即4B边上的高为6.

16.证明:(1)连接4E,DE,

■：DB=DC,E为8c中点.

•••DE1BC,

又DA=DB=DC,AADB=^ADC=60°,

•■•A2。。与4AB。均为等边三角形,

AC-AB,

AE1BC,AEnDE=E,

.­.BC1平面ADE,

•••ADu平面4DE,

.­.BC1DA.

(2)解：设D4=DB=DC=2,

BC=

DE=AE=2，AD=2,

AE2+DE2=4=AD2,

AE1DE,

X---AEIBC,DECBC=E,

.­.AE1平面BCD,

以E为原点，建立如图所示空间直角坐标系,

D(<2,0,0),X(0,0,72)>B(0,/2,0),£(0,0,0),

FF=DX>

•••F(-/2,0,72),

Dl=(-72,0,AA2)，XB=(0,72,-72)，布=(一2,0,0)，

设平面£MB与平面力BF的一个法向量分别为五=Oi，yi，Zi),厄=(久2，y2，Z2)，

则朦上df=L解得力=4=1,

一1^2—”,令=1，解得久2=°，Z2=1,

故苏=(1,1,1)>nJ=(0,1,1),

设二面角D-AB-F的平面角为0,

则回响=n=高咛

故sin。=苧，

所以二面角D-AB-F的正弦值为苧.

17J?：(1)设椭圆C的焦距为2c(c>0),四边形为平行四边形，其面积设为S,

则S=2C£=/^,所以C=C,

所以Q2—b2=c2=3,

解得Q2=4,b2=1,

所以椭圆C的方程为=+*=1.

4

(2)证明：F2(73,0),当直线/与x轴重合时，1的方程为y=0,

此时不妨令|F2Ml=a+c=2+y/~3,\FN\=a-c=2-V-3,则"市+7F777=4;

2仍2似I仍27Vl

当直线［与无轴不重合时，［的方程可设为久=my+-/3,

由卜=my+/3

\x2+4y2=4'

得(m2+4)y2+2yl~3my—1=0,J=(2V-3m)2+4(m2+4)=16(m2+1)>0,

设M6,%),N(%2/2)，

则乃+%=一邦'=一高<0，

22

\F2M\=J(xt—V-3)+yl—J(my1+V-3—V-3)+y1=V1+m21yl

22

\F2N\=J-V"^)2+光=J(jny2+V-3—V-3)+yl—V1+m|y2b

,=工+工.生明^_.应正正=4

722

|产2MlI尸2N|J1+m211yli|y2lVl+m1X1721V1+m也丫21

综上所述，焉+焉为定值4.

尸2Ml\F2N\

18.解：(1)当a=—2时，/(%)=(1+2x)ln(l+%)—x,x>—1,

f(x)=2Zn(l+x)+^,

当一1<x<0时，/(久)<0；当%>0时，f'(x)>0,

所以/(x)在(-1,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

故f(x)的极小值为f(0)=0,无极大值；

(2)由/(X)=(1—ax)ln(l+久)一久，得f'(x)=一。伍(1+x)-与号产，x>—1,

令gO)=/0)，则g'(x)=一含一表彳，

当xNO时，/(x)>0,且"0)=0,1(0)=0,

1

所以g'(0)——1—2a>0,a<-->

当a〈一段时，/(%)>不；----=一上行之0，

2八,2(1+%)2(1+%)22(1+%)/

所以9。)在［。,+8)上单调递增，9(%)=/'(%)>g(0)=0,

故/(%)在［0,+8)上单调递增，/(%)>f(0)=0恒成立，

即a的取值范围为(—8,—去.

19.解：(1)由1,2,3,4构成的逆序对有(4,3),(4,2),(4,1),(3,2),(3,1),(2,1),

若第一个数为4,则至少有3个逆序对；

若第二个数为4,则恰好有2个逆序对的数列组合为{1,4,2,3}；

若第三个数为4,则恰好有2个逆序对的数列组合为［1,3,4,2}或［2,1,4,3}；

若第四个数为4,则恰好有2个逆序对的数列组合为［2,3,1,4}或［3,2,1,4}.

综上所述，符合