2024-2025学年人教版八年级数学上册《全等三角形》辅导训练题

2024-2025学年人教版八年级数学上册《第12章全等三角形》

优生辅导训练题（附答案）

一、单选题

1.如图，用直尺和圆规作一个角NFCE,使得NFCE=〃OB,则此作图的依据是（）

2.点P在乙4。8的平分线上，点P到。2边的距离等于7,点Q是。B边上的任意一点，下列选

项正确的是（）

A.PQ<7B.PQ>7C.PQ>7D.PQ<7

3.已知△力BC中，AB=15,AC=11,则中线AD的取值范围是（）.

A.4<<26B.4<T4D<13

C.2<AD<26D.2<AD<13

4.如图，点2,D,C,F在同一条直线上，已知BCIIEF,AD=CF,添加下列条件中的一

个，能使AABC三△DEF的是（）

5.如图，AaBC中，ZX=60°,CD平分N4CB,BF平分乙ABC,若BD=4cm,CF=7cm,

则8C的长为（）

6.如图，在△4BC中，ABAC=90°,AC=AB,BE1AD于点E,CD1AD于点D,BE=11,

CD=5,贝UDE的长是（）

A.5B.6C.7D.8

7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，乙4cB=90。,AC=BC.点B（0,-l）,

点则点A坐标为（）

A.(一1,3)B.(3,-1)C.(2,-1)D.(—1,2)

8.如图，△ABC与AADE均为等腰三角形，AB=AC,AD=AE,ABAC=ADAE,连接

BD、CE交于点F,BD与AC交于点G,CE与力。交于点H,并连接2F.下列结论：①ATIBD=

AACE；(2)AG=AH；③NBFC=N£ME；④4F平分NBFE；(5)BC||AD,正确的个数有

()

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

9.已知△ABC三△DEF,ZX=60°,ZD-zF=10°,贝此B=.

10.如图，AB=AC,CD1AB,BE1AC,垂足分别为D,E,则图中全等三角形有对.

A

11.如图，在△ABC中，AD=DE,AB=BE,44=70。，贝UNDEC=

12.如图，AE1AB,S.AE=AB,BC1CD,且BC=CD,EF=6,BG=3,DH=4,

计算图中实线所围成的图形的面积S是.

13.如图，已知4BIICF,E为DF的中点，若AB=8,CF=5,贝=

14.如图，在等腰△力BC中，AB=AC=12cm,BC=20cm,点尸从点2出发，以4cm的

速度沿BC向点C运动，点。从点C出发，以ucm/s的速度沿C2向点A运动，当u=时,

△ABP与APQC全等.

15.如图，四边形4BCD中，NB+NC=180。，点E是BC上一点，且ZE,DE分别平分

ZBAD,AADC.若2E=5,DE=3,贝。四边形ABCD的面积是

A

16.如图，AB||CD,"BM的角平分线BP交N”CD的角平分线的反向延长线于点P,直线PB

交CD于点、N,若乙HCD一2乙BNC=24°,贝UNP+N”='

D

三、解答题

17.如图：在AaBC中，BE、CF分另lj是4C、AB两边上的高，在BE上截取8。=4C,在CF的

延长线上截取CG=4B,连接力。、AG.试猜想线段4D与4G的关系，并证明你的猜想.

18.如图，已知4D是AaBC的角平分线(乙ACB＞乙B),EF14D于点P,交BC的延长线于

点M.

(1)如图1,若乙4cB=90。，求证：4M=4BAD；

(2)如图2,求证：ZM=|(Z71CB-ZB).

19.如图，已知4B=AD,/.BAD=/.CAE,乙B=,2。与8c交于点P,点C在DE上.

A

(1)求证：AC=AE,

(2)若NB=36°,ZXPC=72°.

①求NE的度数；②求证：CP=CE.

20.如图，直线4B,CD交于点。，点E是NBOC平分线的一点，点M,N分别是射线04

。。上的点，且ME=NE.

(1)求证：乙MEN=/-AOC-,

⑵点尸在线段N。上，点G在线段N。延长线上，连接EF,EG,若EF=EG,依题意补全图

形，用等式表示线段NF,0G,OM之间的数量关系，并证明.

21.如图，在△ABC和AADE中，AB=AC,AD=AE,^BAC=ADAE,CE的延长线交BD于

点工

(1)求证：CE=BD.

(2)过点4作AP1DE于点P,求证：4AEP=4ADP.

(3)若NACE=30°,4BAE=15°,乙DAE=AAED-6°,求NBDE的度数.

⑷过点4作AH，BD于点H,试写出EF,FH,DH之间的数量关系，并证明.

22.在△ABC和△DEC中，AC=BC,DC=EC,AACB=^DCE=90°.

B

B

图1图2图3

(1)如图1,当点A,C,。在同一条直线上时，求证：AE=BD,AE1BD-.

(2)如图2,当点A、C、。不在同一条直线上时，(1)中结论是否仍然成立，为什么；

⑶如图3,在(2)的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G,"FG的大小固定吗？若是,

求出乙4FG的度数；若不是，请说明理由.

23.(1)如图1,在四边形2BCD中，AB=AD,^BAD=120°,NB=^ADC=90°,E、F分

别是BC、CD上的点且NE4F=60。，直接写出图中线段BE、EF、FD之间的数量关系，不必

证明.

(2)如图2,若在四边形4BC。中，AB=AD,乙8+4。=180。，E、尸分别是BC、CD上的

点，且上述结论是否仍然成立，并说明理由；

(3)如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30。的4处，舰艇乙在

指挥中心南偏东70。的8处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲

向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50。的方向以65海里/小时的

速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、尸处，且NEOF=70。，试

求此时两舰艇之间的距离.

参考答案:

题号12345678

答案cCDBCBDC

1.解：由尺规作图-作相等角可知，

在△。〃。和4CFE中，

0M=CF

OD=CE,

.DM=EF

OMD三ACFE(SSS),

故选：C.

2.解：回点P在乙4OB的平分线上，

回点P到P到和。B的距离相等，

回点P到。4边的距离等于7,

0点P到。B边的距离也等于7,

即点P与。B边上任意一点连接的线段中，最小值为7,

国当Q为。B上任意一点时，PQ>7,

故选：C.

3.解：延长4。到£,使2。=。氏则4E=2AD,则连接BE,

­■•4。是△ABC的中线,

BD=CD,

在△ZDC与汨中，

BD=CD

^ADC=乙BDE,

、AD=DE

/.△ADC三△EDB(SAS),

.・.EB=AC=11,

根据三角形的三边关系得：AB-BE<AE<AB

4<AE<26,

■：AE=2AD,

■■■4<2AD<26,

IB.-.2<AD<13

故选：D.

4.解：EIBC||EF,AD=CF,

SZ.ACB=Z.DFE,AD+CD=CF+CD,

即AC=DF,

A、添力口AB=DE,不能判定△ABC三△DEF,不合题意；

B、添加根据AAS可以判定A4BCmADEF,符合题意;

C、添加4。=。尸，不能判定△ABC三△£)£•?,不合题意；

D、添加N4=NF,不能判定4ABC三△DEF,不合题意；

故选：B.

5.解：设CD,BF交于点0,作0E平分NB0C,

D'O

回乙4=60°,

0ZXBC+AACB=120°,

MD平分乙4CB,BF平分乙4BC,

回/OBa=乙OBC=-^ABC,^OCA=乙OCB=-^ACB

22

则+(OBC=^ABC+^ACB)=60°,

^BOC=180°-(乙OCB+乙OBC)=120°,

^BOD=Z.COF=60°,

团。E平分NBOC,

^BOE=乙COE=60°,

团NBOE=乙BOD=60°,

又回。8=OB,

BOE=△BOD(ASA),同理△COECOF(ASA),

^\BE=BD=4cm,CE=CF=7cm,

团BC=BE+CE=11cm,

故选：C.

6.解：^BAC=90°,BELAD,CDVAD,

^BEA=ACDA=90°,/.CAD+乙BAE=90°,4ACD+^CAD=90°,

团乙4C。=/-BAE,

在^C。/和△AEB中，

^CDA=乙AEB=90°

Z-ACD=Z-BAE，

AC=BC

[?]△CDA=△AEB(AAS),

团CD=AE,AD=BE,

团ED=AD-AE,

回£7)=BE—CD,

团BE=11,CD=5,

团ED=11-5=6.

故选：B.

7.解：过C作直线"ly轴，过B作BE1Z于E,过A作4)1/于。，

^ADC=乙ACB=乙BEC=90°,

团皿IC+Z.ACD=^ACD+乙BCE=90°,

^\Z-CAD=乙BCE,

在△AC。与△CBE中,

/.CAD=乙BCE

乙ADC=乙CEB,

.AC=BC

^ACD=△CBE(AAS),

^\AD—CE,CD=BE,

团点B(O,—1),点C(l,l),

回BE=CD=1,AD=CE=1+1=2,

04(-1,2).

故选：D.

8.解：过点A作AM1BD于点M,AN1CE于点N,

^Z-BAC=Z-DAE,

^BAD=Z.CAE,

在△840和△CAE中，

AB=AC

Z.BAD=Z.CAE

.AD=AE

0ABADSACAE(SAS),故①正确，

^Z-ADB=Z-AEC,

^DHF=^LAHE,

^\Z-DFE=Z-HAE,

^BFC=乙DFE,

^BFC=^LDAE,故③正确，

[?]△BAD=△CAE,

回BD=CE,S>BAD=S^CAE，

展BDxAM=-CExAN,

22

团4M=AN,

前2平分Z_BFE,故④正确，

在AE力”和A/MG中，AE=AD,AAEH=LADG,

由于无法判断NEAH=^DAG,

故无法判断△AE”三AADG,故AH与4G不一定相等.故②错误.

故选：C.

9.解：[?]△ABC=^DEF,

团ZJ1=Z-D,Z-C=Z-F,Z-B=乙E,

国乙A=60°,乙D—乙F=10°,

回NO=60°,乙F=50°,

在^DEF中，ZE=180°一乙D—乙F=70°,

团NB=ZE=70°,

故答案为：70°.

10.解：如图，

团CDLAB,BELAC,

团=AADC=(BDO=(CEO=90°,

^\Z-BAE=Z.CAD,AB=AC,

.-.AAEB=AXDC(AAS)；

・•・AD=AE,

・•.BD=CE,

•••Z-BDO=(CEO,(BOD=Z-COE,

.*.△BOD三△COE(AAS)；

•・•乙CDB=BEC=90°,BD=CE,BC=CB,

・•・Rt△BDC三Rt△CEB(HL)；

由上可得，图中全等三角形共有3对,

故答案为：3.

11.解：在和中，

AB=EB

AD=DE,

、BD=BD

0AABD=AEBD(SSS),

国匕DEB==70°,

^DEC=180°-乙DEB=110°.

故答案为：110。.

12.解：^EFA=乙AGB=90°,乙EAB=90°,

^FEA+Z.EAF=90°,乙GAB+^EAF=90°,

^FEA=乙GAB,

在△FEA和△GAB中，

Z.EFA=乙AGB=90°

回Z.FAE-Z.GAB,EF-6,BG—3,

、EA=AB

FEA三△GAB(AAS),

团凡4=GB=3fEF=AG=6.

同理可证，CH=GB=3,GC=DH=4,

E

国FH=E4+AG+GC+C”=3+6+3+4=16,

回实线所围成的图形的面积S是巳(4+6)xl6-|x3x6x2-|x3x4x2=50.

13.解:SABWCF,

团=乙FCE,Z.ADE=zF,

团E为。F的中点，

团OE=FE,

在△4。£'与4CFE中,

Z.A=£.FCE

Z-ADE=Z.F，

、DE=FE

团△ADEw2kCFE(AAS),

如W=CF=5,

回=AB-AD=8-5=3,

故答案为：3.

14.解：设运动时间为/秒，

•・•点尸从点8出发，以4cm的速度沿BC向点。运动，点。从点。出发，以ucm/s的速度沿&4

向点A运动，

:・BP=4t(cm),CQ="(cm),

.*.PC=20-4t(cm),

'：AB=AC,

Z-B=Z.C,

当BP=CQ,AB=PC时，工ABP三XPCQ,

：.AB=PC=12cm,

..BP=8cm=CQ,

A4t=8,

解得：t=2,

v=-=4；

2

②当BA=CQ,PB=PC时，2ABPNAQPC,

•:PB=PC,

：.PB=PC=-BC=10cm,

2

：.4t=10,

解得：t=2.5,

.5=工=4.8,

2.5

综上所述：当u=4或4.8时AABP与△PQC全等，

故答案为：4或4.8.

15.解：过点E作EF14B于F,过点E作于“，过点E作EG1DC的延长线于G,

A

VAE,DE分另|J平分NBA。、^ADCf

EF=EH=EG

•・•乙B+乙BCD=180°

/.ABWCD

•••乙FBE=乙ECG

•・•EFLAB,EF1DG

・•・乙BFE=乙CGE=90°

•・•Z-FBE=乙ECG,乙BFE=乙CGE=90°,EF=EG

・•.△BEF=△CEG(AAS)

•••BE=CE,S^BEF=S^CEG

•'S四边形4BC0=S4BEF+S五边形4FEC。=^^CEG+S五边形人尸比。=$四边形人”。

•・•EF=EH,AE=AE

・•・Rt△AFE=^△AHE(HL)

•••SRtMFE=SRJAHE

•・•EG=EH,DE=DE

Rt△EHD=Rt△EGO(HL)

SRQEH。=SRQEG。

S四边形ZBCO=S四边形ZFGD=SRSAFE+SRSAHE+SRSEHQ+SRSEG。=2(SRtM“E+

SRSEHQ)=2s4aoEvAB\\CD

・•・乙BAD+Z.BCD=180°

vAE.DE分另U平分NBA。、/ADC,

・•.LEAD+乙ADE=90°

AAED=90°

vAE=5,DE=3

1115

SA4ED=,DE=_x5x3=

回四边形ABC。面积为15

故答案为：15.

16.解：如图所示：PQ交HM于点、E,

由题意可知：

BP平分N2BM,CQ平分NHCD,

・•.匕ABP=乙MBP=：乙ABM,乙HCQ=乙DCQ=乙HCD,

•・•乙HCD一2乙BNC=24°,

•••2ADCQ-2乙BNC=24°,

即“CQ-/BNC=12°,

•・•Z-DCQ=乙BNC+乙P,

・•・乙P=12°,

•・•AB||CD

・••乙BNC=Z.ABP=Z.MBP

•・•乙MBP是工BPE的一个外角，

••・乙BEP=乙MBP一乙P=乙BNC-12°

・•・乙HEC=乙BEP=乙BNC-12°

•・•乙HCQ是A的一个外角，・•・乙H=乙HCQ-乙HEC=乙DCQ一(乙BNC-12°)=CDCQ-

乙BNC+12°=12°+12°=24°

・•.乙P+=12°+24°=36°,

故答案为：36

17.解：猜想：AD=AGfADLAG,证明如下：

证明：©vBELAC,CFLAB,

^HFB=(HEC=90°,

又回=乙CHE,

^ABD=2LACG,

在△ABO和△GG4中，

AB=CG

Z.ABD=Z-ACG，

BD=CA

0AXBD=△GCZ(SAS),

SAD=GA(全等三角形的对应边相等)；

@vAABDSAGCA,

SAADB=/-GAC,

又团NZDB=Z-AED+Z-DAE,Z-GAC=乙GAD+Z-DAE,

^\Z-AED=乙GAD=90°,

团4。1GA.

综上所述：AD=AG,ADLAG.

18.(1)证明：•・•乙ACB=90°,

・•.AADC+ADAC=90°,

•・•£产14。于点「，

・•・/,APE=Z-MPD=90°,

/.AEP+/-BAD=90°,

•・•40是△ABC的角平分线，

・•・/-BAD=Z.DAC,

•••Z.ADC=Z.AEP,

•••乙ADC+ZM=90°,

・•・Z-M=Z-DAC=4BAD；

(2)证明：・・・EF1AD于点尸，

・•.Z.APF=乙MPD=90°,

••・Z-AFP+Z.DAC=90°,

・•・乙M=90°-乙ADC=90°一(乙B+乙84。)=90°-^BAD-乙B,

2。是ANBC的角平分线，

・•・/-BAD=Z-DAC,

.・.乙M=90°-^DAC-乙B=/-AFP-乙B,

•・•Z.ACD=ZM+4MFC=ZM+Z-AFP,

Z-M=Z.ACD一乙M一乙B,

•••2zM=Z.ACD-乙B,

即=

•e•Z-M——QZ-ACB-Z.B).

19.(1)证明：vABAD=Z.CAE,

Z-BAD+Z-DAC=Z-CAE+Z-DAC,

即NBAC=^DAE,

在△RAC和△D/E中，

乙B=乙D

AB=AD,

ZBAC=乙DAE

/.△BAC三△DAE(ASA),

AC=AE；

(2)解：0vZ.B=36°,L.APC=72°,

•••Z-BAP=Z.APC一乙B=72°-36°=36°,

・•.Z.CAE=36°,

•・•△BAC=△DAE,

AC—AE,

.­./.ACE=ZE=1x(180°-/.CAE}=|1x(180°-36°)=72°；

②证明：•・•△BAC三△D4E,

Z.ACB=Z-E,

•••Z-ACB=/.ACE,

由①可知：4APC=AE=72°,

在AACP和AACE中，

Z.APC=乙E

^ACP=^ACE，

.AC=AC

/.△ACP三△ACE(AAS),

・•.CP=CE.

20.(1)证明：作E”1CD,EKLAB,垂足分别是H,K,如图.

回0E是480c的平分线，

团EH=EK.

团ME=NE,

团Rt△EHN=RtEKM.

国乙ENH=4EMK.

记ME与。C的交点为P,

国匕EPN=4OPM.

^MEN=^AOC.

(2)(2)OM=NF+OG.

证明：在线段0M上截取OGi=OG,连接EG/,如图.

A

回0E是NB0C的平分线,

田乙EON=^EOB.

^\Z-MOF=Z-DOB,

^\Z-EOM=Z.EOD.

团。E=OE,

0AEOG】=△EOG.

团EG】=EG,乙EG、O=Z.EGF.

团EF=EG,

0EF=EG1,Z-EFG=Z-EGF.

^\Z-EFG=乙EG、。.

团NEFN=LEG1M.

回4ENF=乙EMG].

ENF=△EMGr.

^\NF=MGr.

团。M=MG1+OG1,

WM=NF+OG.

21.(1)证明：^BAC=Z.DAE,

团乙B/C+Z-BAE=/-DAE+/-BAE,

^Z-CAE=乙BAD,

又固4B=AC,AD=AE,

[3ACAE=ABX£)(SAS),

ME=BD；

(2)证明：团4P1DE,

团乙APE=/.APD=90°,

又团ZE=AD,AP=AP,

回Rt△AEP=RtAZD尸(HL),

团4AEP=Z-ADP；

(3)解:^Z.AED=x°,则m4E=%o—6。,

团乙ADE=Z.AED=x°,

^Z.AED+乙ADE+ADAE=180°,

团%+%+%—6=180,

解得％=62,

^ADE=乙AED=62°,乙DAE=56°,

^BAD=^DAE+/-BAE=71°,

[?]△CAE=△BAD,

团乙48。=AACE=30°,

B^ADB=180°一乙BAD-乙ABD=79°,

^BDE=(ADB一乙ADE=17°；

(4)解：EF+DH=FH,理由如下：

如图所示，过点A作/M1CF于M,连接AF,

^CAE=^BAD,AM1CF,AH1BD

^AM=AH(全等三角形对应边上的高相等)，

又团4F=AF,

回Rt△AFM=RtAZFH(HL),

MM=FH,

又团AM=AH,AE=AD,UME=^AHD=90°,

回Rt△AEM=RtAADU(HL),

团EM=DH,

CA

22.(1)解：证明：如图1,

B

图1

在△ZCE和△BCD中，

AC=BC

•・・Z.ACB=乙ECD=90°,

EC=DC

/.△ACE=△BCD(SAS),

zl=z2,AE=BD,

•••z3=z4,

・•・乙BFE=/.ACE=90°,

AE-LBD；

(2)成立，证明：如图2,

Z-ACB=乙ECD,

・•・乙ACB+Z,ACD=乙ECD+Z.ACD,

•••乙BCD=Z-ACE,

在△ACE和△BCD中，

AC=BC

Z-ACE=Z.BCD,

.EC=DC

・•.△ACE=△BCD,

zl=z2,AE—BD,

•