北京市某中学2025届高三年级上册8月阶段测试数学试卷

北京市第十五中学2025届高三上学期8月阶段测试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若集合4={%,2+2%<0},八,忖>1},则40案=()

A.{x|-2<x<-l|B.{x|-l<x<0}C.{x|0<x<l}D.{x|l<x<2}

2.在等比数列｛““｝中，若。1=1,%=4,则电。3=（）

A.2B.±2C.4D.±4

3.若a>b,则下列不等式中正确的是()

A.—<—B.a2>b2C.a+b>2y[abD.a2+b2>2ab

ab

4.下列函数中，是偶函数，且在区间（0,+8）上单调递增的为)

1

A.片一B.y=ln|x|C.y=2xD.y=l-\x\

x

5.下列求导运算不正确的是（）

B.(l+lnx)r=l+—

x

C.(2)'=2"1112D.(cosx)'=-sin%

fx2I1x<[

6.已知函数/（、）=存在最小值，则实数。的取值范围是（）

A.(-oo,l]B.(一004)C.[L+8)D.(l,+°o)

7.(%-«)4的二项展开式中d的系数为()

A.15B.6C.-4D.-13

x-l,x<0

8.若函数/（x）=，0,x=0,则“占+尤2>0”是“，（网）+/（工2）>°”的（）

x+l,x>0

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.设。=f—,b—t—,c=f（2+，），其中—贝!]（）

试卷第1页，共4页

A.b<a<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

10.已知工为单位向量，向量[满足雇)=2，卜-几4=1,则H的最大值为()

A.1B.2C.V5D.4

11.“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实

现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为

G

L=LM，其中A表示每一轮优化时使用的学习率，。表示初始学习率，。表示衰减系数,

G表示训练迭代轮数，G。表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为

0.5,衰减速度为18,且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4,则学习率衰减到0.2以下(不

含0.2)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：坨2。0.3)()

A.75B.74C.73D.72

—(n=2k,斤eN"),

2

12.已知数列｛an｝满足。"+i=则()

^-[n=2k-\,左eN*),

A.当/<0时，｛册｝为递增数列，且存在常数M>0,使得见<初恒成立

B.当%>1时，｛册｝为递减数列，且存在常数M>0,使得。">可恒成立

C.当0<%<1时，存在正整数N。，当〃〉N。时，。“-!<焉

D.当0<%<1时，对于任意正整数乂，存在"〉N。，使得巴一；>嬴

二、填空题

13.函数丁=11的定义域是.

X—1

14.已知复数z=i(2+i),则|z|=_.

15.已知命题。：若见£为第一象限角，且贝Usine>sin〃.能说明命题。为假命题

的一组a,P的值可以是a=,/3=.

16.已知向量1满足"=2,^=(2,0),且1+0=2,则cos(a,g)=.

17.在数列｛an｝中，4=2,a2=-3.数列｛0｝满足2=。用-。eN*).若｛%｝是公差为1的

试卷第2页，共4页

等差数列，则｛%｝的通项公式为2=，。“的最小值为.

log](1-x),-1<x<n

18.已知函数/1)=5的值域是[-M],若，则〃，的取值范围

2f制-3,w<x4加一

是.

三、解答题

19.在VN8C中，乙4=30。，。是边48上的点，CD=5,CB=7,DB=3.

⑴求cosB与ACBD的面积；

(2)求边NC的长.

20.某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛.从这两个年级

各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高

二年级成绩的频数分布表.

成绩分组频数

[75,80)2

[80,85)6

[85,90)16

试卷第3页，共4页

规定成绩不低于90分为“优秀”.

(1)估计高一年级知识竞赛的优秀率；

(2)将成绩位于某区间的频率作为成绩位于该区间的概率.在高一、高二年级学生中各选出1

名学生，记这2名学生中成绩优秀的人数为《，求随机变量J的分布列；

(3)在高一、高二年级各随机选取1名学生，用X,丫分别表示所选高一、高二年级学生成绩

优秀的人数.写出方差。('),。(丫)的大小关系.(只需写出结论)

21.已知函数/(X)=sin[x-：].

⑴若/(x())=g,x0e[0,2?i],求毛的值；

(2)设g(x)=/(x>cosx,求g(x)在区间0,"上的最大值和最小值.

22.已知函数/(x)=e*，-ax-q).

(1)若曲线y=f(x)在点(1,7(1))处的切线平行于x轴，求实数a的值；

⑵求函数”无)的单调区间.

23.已矢口函数/(x)=2x3-3x2+尤.

(1)若曲线y=/(x)在点卜。,[(%))处的切线的斜率为1,求曲线y=/(x)在点(尤。,/(%))处

的切线方程；

(2)定义:若均有/(x)Vg(x),则称函数g(x)为函数/⑺的控制函数.

①试问g(x)=x是否为函数/(x)=2》3-3/+尤的“控制函数”？并说明理由；

@Vxe[0,3],若g(x)=x+/n为函数/(力=2%3-3J?+X的“控制函数”,求实数加的取值范

围.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案ACDBBABCCc

题号1112

答案CD

1.A

【分析】根据集合描述求集合，应用集合交运算求交集即可.

【详解】4={%k2+{%[-2<x<0},3={x卜|>1}={x>1或x<-1},

4cB={x|—2<x<—1},

故选：A

【点睛】本题考查了集合的基本运算，利用集合交运算求交集，属于简单题.

2.C

【分析】由等比数列的性质计算即可.

【详解】由于{%}是等比数列，且％=1,%=4,

所以42a3=aia4=4,

故选：C.

3.D

【分析】根据不等式的性质，赋值，如。=1,6=-1,即可判断A、B、C,再根据基本不等

式即可判断D.

【详解】解：由令=

则，=71=-7,则4>；,故A错误；

则“2=1,62=1,则/=/,故B错误；

则成=-1,则而无意义，故C错误；

因为a>b,则小20,/>0,所以。2+/>2必

故选：D.

4.B

【解析】结合函数的单调性与奇偶性的定义与判定方法，以及初等函数的性质，逐项判定,

即可求解.

答案第1页，共13页

【详解】由题意，对于/中，函数/(-x)=-：=_/(x),所以函数为奇函数，不符合题意；

对于8中，函数/(无)=111m满足/(-%)=111|-%|=111|_¥|=/(%),所以函数为偶函数，

当x>0时，函数y=lnx为(0,+8)上的单调递增函数，符合题意；

对于C中，函数了=2,为非奇非偶函数，不符合题意；

对于。中，y=l-|x|为偶函数，当x>0时，函数y=l-x为单调递减函数，不符合题意，

故选：B.

【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟记函数

的单调性与奇偶性的判定方法，以及初等函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与论证

能力，属于基础题.

5.B

【解析】直接利用导数公式和运算法则求解.

【详解】A.由导数公式得=_1,故正确；

B.由导数运算法则得(l+lnx)=L,故错误；

X

C.由导数公式得(24=2,In2，故正确；

D.由导数公式得(cosx)，=-sinx,故正确；

故选：B

【点睛】本题主要考查导数公式和运算法则的应用，属于基础题.

6.A

【分析】根据分段函数的单调性求解即可.

【详解】当时，f(x)=x2+l,

所以/(x)在(-%0)上单调递减，在(0』上单调递增，则/(工'“=/(0)=1,

当x>l时，f(x)=T-a,所以/(x)在。,+⑹上单调递增，无最小值，

根据题意，/(x)存在最小值，

所以2—即aVl.

故选：A.

7.B

答案第2页，共13页

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令X的次数为3,求出〜从而可求得结果.

【详解】解：(工-6)4的通项公式为：&[=(_1)°.”.卢=(-1)(：:5,

r

令4-歹3,可得r=2,

所以二项展开式中/的系数：C<(-1)2=6.

故选：B.

8.C

【分析】根据题意分析可知/(x)为奇函数且在R上单调递增，分析可知王+%>0等价于

/(x1)+/(x2)>0,即可得结果.

【详解】由题意可知：/(无)的定义域为R,且"0)=0,

若x>0,贝i]-x<0,可知y(x)+/(-x)=(无+l)+(-x-l)=0,

若x<0,同理可得/(尤)+/(-x)=0,所以/(无)为奇函数，

作出函数/(x)的图象，如图所示，

由图象可知/(x)在R上单调递增，

若国+%>0,等价于占>一丫2,等价于/(玉)>/(一％)=-/(々)，等价于/(%)+/(%)>0,

所以“国+%>0”是“/(尤J+/卜)>0”的充要条件.

故选：C.

9.C

【分析】借助正负性、对勾函数的性质及二次函数的性质判断即可得.

【详解】由故)€(-00,-1),故4=:一;>0,

由对勾函数性质可得6=/+；<-(1+1)=-2,

答案第3页，共13页

c=，2+/)<0,且c=%,(2+%)=/2+2,=9+1)-12-1,

综上所述，有6<。<”.

故选：C.

10.C

【分析】设二(1,0),a=(x,y),根据力=2求出X,再根据得=1得到V=1_(2T『,

最后根据向量模的坐标表示及二次函数的性质计算可得.

【详解】依题意设：=(1,0),Z=(xj),

由a,e=2，所以x=2,贝(］。=(2,歹)，

又"双=(2,了)-(；1,0)=(2-A,y),J3.|a-2e|=1,

所以1(2-犷+丁=1,即/=1-(2-%『，

所以口=，22+j?=14+1-(2-2)《火,当且仅当2=2时取等号,

即的最大值为6.

故选：C

11.C

【分析】由已知可得。=，，再由0.5xg,<0.2,结合指对数关系及对数函数的性质求解即

可.

1o4

【详解】由题设可得0.5。后=0,4,则。=：，

2

G2181g5_18（lg2-lg5）_18（21g2-^砥2x0.3-）

所以O5x<02,即G>18*1==7：,

14-21g2-lg5-31g2-l3x03-1

e5

所以所需的训练迭代轮数至少为73次.

故选：C.

12.D

【分析】直接构造反例即可说明A和B错误；然后证明引理：当0<q<1时，对任意的正

整数N。，都存在〃〉既，使得。“-击.最后由该引理推出C错误，D正确.

答案第4页，共13页

【详解】当为=时，。2=/=；，«3=^=1<2=«2>所以此时｛a„｝不是递增数列，

乙乙I4OI

A错误；

当%=[时,%=¥=!，&=幺/=^|>，=。3，所以此时｛册｝不是递减

ZZ4Zo210o

数列，B错误；

我们证明以下引理：当0<%<1时，对任意的正整数既，都存在〃〉N。，使得。“一^»焉.

若该引理成立，则它有两个直接的推论：

①存在0<q<l,使得对任意的正整数N。，都存在〃〉N。，使得击；

②当0<%<1时，对任意的正整数N。，都存在〃〉乂，使得凡—>焉.

然后由①是C的否定，故可以说明C错误；而②可以直接说明D正确.

最后，我们来证明引理:

当0<%<1时，对任意确定的正整数N。：

1111e11

如果心。+1生2-100,2+100则标+「矛而;

；+

(2-1002〃可+1+1

如果。为+1G则。为+2或4

2Wo+2~2-

此时若0.+2=3，贝U

Ao+22

j,J_

,观一+1001=111Jn—L］」—L；

224200420021420()j210(

若%2=%+1，贝！1

/丫0十22

3>2-100+1/J

为+22242002420021420"210(

无论哪种情况,都有0%+2任一焉,；+2],从而0为+2一;焉.

\乙J.\J\J乙JL\J\JJ4■!vzVz

这说明观一或叫+2-;所以可以选取〃€｛乂+1,乂+2｝,使得

乙L\J\J乙-L

。》一；2击.这就说明存在〃〉N。，使得。"一；2击.

这就证明了引理，从而可以推出C错误，D正确.

故选：D.

【点睛】最关键的地方在于引理：当0<%<1时，对任意的正整数N。，都存在〃〉N。，使

答案第5页，共13页

得一；N焉.这一引理可以帮助我们判断出较难判断的c和D选项.

13.{x|x2-l且无H1}

【分析】求使函数有意义的X的范围即为定义域，逐项求解即可.

[x+l>0

【详解】解：由题意得,八，解得X2-1且XW1,

[x-1N0

故函数的定义域为“1xN-1且XW1}.

故答案为：{尤且XH1}

14.V5

【分析】先计算复数，再根据复数的模的定义求结果.

【详解】由z=i（2+i）=2i-l,故|z|=j22+（—1）2=花.

故答案为：V5

15.多（1答3兀案不唯一）571（答案不唯一）

66

【分析】只要找到一组满足题意的角即可.

【详解】因为鬼尸为第一象限角，且a>4，

13兀兀

取c==则a>£且在第一象限，

66

”H_u•.13兀..兀1

止匕时sina=sin---=sinpn=sin—=—,

662

故命题）为假命题，满足题意，

所以a,£的值可以是a=—137r,/?=TT?,

66

故答案为：子1311（答案不唯一）；IT7（答案不唯一）.

66

16.—/-0.5

2

【分析】由向量模长的计算和数量积计算即可.

【详角星】-\a+b\=2,

卜+q=a+2a-b+b2=8+2|正卜。$,,B）=8+8cos,[）=4,

/.cos（a,B）=一;,

故答案为：.

2

答案第6页，共13页

17.n-6-13

【分析】求出等差数列｛"｝的首项，直接求出｛"｝的通项公式即可，利用数列｛an｝的单调性

得最小项为《，利用累加法即可求解.

【详解】由题意。=出-4=-5,又等差数列｛勾｝的公差为1,所以，=-5+("-1)-1=〃-6；

故%+「%=〃-6,所以当"V6时，a„+l-an<0,当”>6时，an+i-an>0,

所以4>>%>的>%>。6=。7<。8<。9<…，显然。”的最小值是。6.

又见+1_%=«-6,所以。6=。1+(。2-q)+(。3_%)+(。4-%)+(/-%)+(&-/)

=2+(-5)+(-4)+(-3)+(-2)+(-1)=-13,即%的最小值是-13.

故答案为："-6,-13

18.[1,2]

【分析】先判断出了=22TXT-3在(-M)上单调递增，在(1,+⑹上单调递减，然后作出

y=log,(1-x)与22*4-3在[-1,+s)上的图象，求出>=四工(1一无)在xe[-1,〃]上的值域,

22

再结合图象可求得结果.

【详解】当x>l时，尤-1>0,此时了=22TE_3=22TM-3=23T-3单调递减，

当一1<X<1时，x-l<0,此时了=2?小-"-3=22+1-3=25-3单调递增，

所以y=22T，T一3在(-1,1)上单调递增，在(1,+℃)上单调递减，

所以当x=l时，y=22+T-3取得最大值，为2=3=1,

作出y=log1(1-x)与22Tli3在[-1,+功上的图象如图所示：

2

答案第7页，共13页

当〃e[0」），xe[-l㈤时，此时/'⑴=四霜一幻e[-"（^《一明，

222

止匕时—l4/（x）41ogi（l—"）＜l,

2

因为“X）的值域为[7,1],则xe（",〃7]时，/（x）=l必有解，即22Tl_3=1，解得x=l,由

图知me[1,2],

故答案为：[1,2]

【点睛】关键点点睛：此题考查函数的综合问题，考查分段函数，考查由函数的值域确定参

数的范围，解题的关键是根据题意作出函数图象，结合图象求解，考查数形结合的思想，属

于较难题.

]c/1\n11„15-\/3

19.（1）COSJB=—,SMBD=F~

⑵5G

【分析】（1）借助余弦定理与面积公式计算即可得;

（2）借助正弦定理计算即可得.

BC°+BD?-CD。72+S2-52_n

【详解】（1）在中，由余弦定理得cos2=

2BCBD2x7x3-14

SCBD=-BD-BC-sin8=-x3x7x应=巴更；

©D22144

(2)由(1)知sinB=辿，；//=30°,Asin^=-,

142

答案第8页，共13页

在V/8C中，由正弦定理得空;=1,

S1IL4S1IW

75^3

即AC=8八*x14=5班.

siM

2

20.（1）30%

（2）答案见解析

⑶。（x）＜z）（y）

【分析】（1）根据频率分布直方图直接求解即可；

（2）先分别求出在高一、高二年级学生中选中成绩优秀学生的概率和不优秀学生的概率，

由题意可知《的所有可能取值为0,1,2,然后求出对应的概率，从而可求出随机变量J的

分布列；

（3）由题意可知x,y均符合两点分布，从而可求出。（x）,o（y）的值，进而可比较大小.

【详解】⑴高一年级知识竞赛的优秀率为（0.04+0.02）x5=0.3.

所以高一年级知识竞赛的优秀率为30%

（2）在高一年级学生中选中成绩优秀学生的概率为0.3,选中成绩不优秀学生的概率为

1-03=0.7；

14+2

在高二年级学生中选中成绩优秀学生的概率为F—=0.4,选中成绩不优秀学生的概率为

40

1一0.4=0.6.

4的所有可能取值为0,1，2；

尸它=0）=0.7x0.6=0.42；

尸仁=1）=0.3x0.6+0.7x0.4=0.46；

P（^=2）=0.3X0.4=0.12.

所以随机变量J的分布列为：

P012

0.420.460.12

答案第9页，共13页

(3)显然X,y均符合两点分布，且尸(x=0)=0.7,尸(X=l)=0.3,p(y=0)=0.6,

p(y=l)=o.4,

所以D(X)=0.3X0.7=0.21,D(Y)=0.6x0.4=0.24

所以。(x)<o(y)

.、571Tl3兀

21.(1)—或——

v71212

(2)最大值为」-①，最小值为-克

242

【分析】(1)根据条件，利用特殊角的三角函数值，即可求出结果；

(2)根据条件得到g(x)=；sin(2x-6-亨，再利用尸sinx的图象与性质，即可求出结

果.

【详解】(1)因为〃幻=$也L-智，由〃%)=:，得到sin,-：)],

ITTTTT

解得%—1=7+2kTi(k£Z)或/—]=展+2kn(kGZ),

517T13t7T

即X。=—+2kn(keZ)或X。=—+2kn(keZ),又/e[0,2可，

所以为=1|或荐

(2)因为

g(x)=/(x)-cosx=sin(x—-cos(sinxcosx-co^x)gsin2x好c;s2:

4m(2x_/一,

jrIT

令，=2x-“因为0,—,得到,£

由y=sinx的图象与性质知，sin,£[-,所以g(x)®~~~

2224

所以g(x)在区间围]上的最大值为宗字，最小值为一£

22.(1)1

(2)答案见解析

【分析】(1)先求函数/(x)的导函数，若曲线y=/(x)在点(1,7(1))处的切线平行于无轴,

答案第10页，共13页

只需保证/'(1)=0,求实数。的值即可；

(2)求得/''(刈=。有两个根“x=-2和x=a"，再分。＜一2、。=-2和。＞-2三种情况分析

函数“X)的单调性即可.

【详解】(1)由题可得/'。)=的/+(2-a-2°],

因为在点(1J⑴)处的切线平行于x轴，所以/■'⑴=0,

即e(3-3a)=0,解得a=l,经检验a=1符合题意.

(2)因为广(幻=++(2-a)x-2a],

令/'(x)=0，得尤=-2或x=a.

当a＜-2时，随x的变化，/(X),/(x)的变化情况如下表所示：

Xy,a)a(a,-2)-2(-2,+8)

广⑴+0-0+

fW单调递增单调递减/(-2)单调递增

所以/(x)在区间E。)上单调递增，在区间(。,-2)上单调递减，在区间(-2,-+W)上单调递增.

当a=