2025年高考数学一轮复习：两角和、差及倍角公式 专项训练【原卷版】

2025年高考数学一轮复习-4.3.L两角和、差及倍角公式-专项训练【原卷版】

基础巩固练

1.cos18°cos42°—cos72°sin42°=().

1

D

A百_1-

ABc.2

--T-T2

2.cos165°=().

V

D-

,V6+V2DV6+V2V6—V2-

A.---------O.4

44c.4

3.已知P（l,7）是角a的终边上一点,则sin(ir—2a)•

24

D

A一二R247--

c.25

*2525

4.已知8€(*〈),且cos(9—=a贝！Jtan8=().

1412

A.-B.?C.7D.甘

735

5.已知sina+sin£=|,cosa+cosS=，则cos(a—夕)=().

A._1C.iD.-

2324

1

6.在△力BC中，若sin力sinB=；(l+cosC),则△ABC是().

A.等边三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.直角三角形

7.若2sin0sin"£)=sin(a—夕+：),则tan(a+S)=().

A.-1B.1C.-2D.2

8.若0<a<],0<”热cosa=1，cos夕=亭则sin(a+£)=().

V65V3「V6

A.BD

9-VCT-T

综合提升练

9.（多选题）已知△力BC不是直角三角形，内角力乃。所对的边分别为a也c,

则().

A.sinC=sin(力+B)B.cosC=cos(Z+B)

一,-tani4+tanB

C.tanC=------------D.a=bcosC+ccosB

tanTitanB—l

10.（多选题）下列式子的运算结果为目的是（）.

A.tan25°+tan35°+V3tan25°tan35°B,2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)

ir

「l+tan15°tan-7

D.____6

*1-tan15°1-tan25

6

11.已知cos(a—巳)+sina=W，贝！Jsin(a+，)=L

12.已知sin(»a)=-g,sin管+£)=明且aG(祥)/G(0>),则a-。

的值为______

应用情境练

13.（双空题）如图，扇形。PQ的半径为1,圆心角为e,且tan。=2,C是

扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，当tanZPOC=时，矩形ABCD

的周长最大，且周长的最大值为.

14.如图，在带有坐标系的单位圆。中，设乙4。%=a，乙BOx=§，乙40B=a—

cos(a一3)=cosa-cos夕+sinasin0.

(2)若巳)，(€(0,|),cos(a-0)=-g,tana=-求cos6的值.

创新拓展练

15.如图1,正方形ZBCD的边长为2,M为线段CD的中点.现把正方形按照图

2进行折叠，使点2与点M重合,折痕与4。交于点E,与BC交于点E记NMEF=

9,则sin（9+：）=

16.如图，圆。的半径为2e,直线4V与圆相切，点M在线段ZN上,AM=2MN,

且MN=2加,圆。上的点P从点A处逆时针转动到最高点B处,记乙40P=0，

eE(0,n),四边形O4VP的面积为S.

(I)当e=g时，求s的值；

(2)试确定e的值，使得Aaop的面积等于AAPM的面积的一半.

2025年高考数学一轮复习-4.3.L两角和、差及倍角公式-专项训练【解析版】

基础巩固练

1.cos18°cos42°—cos72°sin42°=(D).

11

V3-V3-c

-B--D-

A.2222

-1

［解析］原式=COS18°cos42°-sin18°sin42°=cos(18°+42°)=cos60°=/故

选D.

2.cos165°=(A).

AV6+V2门V6+V2厂V6—V2门V2—V6

A.---------B.---C.---D.---

4444

［解析］因为cos165°=cos(90°+75°)=一sin75°，又sin75°=sin(30°+45°)=

sin30°cos45°+cos30°sin45°=ix—+—x—=所以cos165°=一

22224

sin75°生明.故选A.

4

3.已知尸(L7)是角a的终边上一点，则sin(ir-2a)=(C).

A_LR24c-D.||

.25.25

［解析］P(L7)是角a的终边上一点，由三角函数定义可得,

.7711

sina=/，-—尸,COSCL=~尸,

712+725V2Vl2+725V2

717

所以sin(n—2a)=sin2a=2sinacosa=2x泰x-^==看故选C.

4.已知9GC，且cos(0-：)=p则tan4=(C).

A.iB.-C.7D.甘

735

［解析］因为ee(右/)，所以。-：e(*)，

又cos(。一所以sin(e—力，tan(e—：)=%

所以吧解得tan9=7,故选C.

1+tan04

5.已知sina+sin夕=|,cosa+cos/?=右贝!jcos(a—/?)=(A).

［解析］因为sina+sinS=

所以sin2a+sin2/?+2sinasin£=总①

因为cosa+cos0=三,所以cos2a+cos2s+2cosacosS=焉.②

由。)+②)，得2+2cos(a-0)=1,

所以cos(a—0)=—5.故选A.

6.在△力中，若sin力sinB=工(1+cosC),贝是(C).

A.等边三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.直角三角形

［解析七力+3=冗一C,

・•・cosC=—cos(力+5)=—cos力cosB+sin力sinB,

・•・sin力sinB=1(1—cos力cosB+sin/sinB),

・•・cosAcosB+sinAsinB=1,即cos(4—B)=1,

又力乃为的内角，.-.A-B=O,

/.A=B,故△力BC为等腰三角形.故选C.

7.若2sinSsin(a—：)=sin(a—夕+；),则tan(a+S)=(A).

A.-1B.1C.-2D.2

［解析］由题意得2sinB停sina—cosa)=苧sin(a—0)+^cos(a-/?),

所以2sinasin0—2cosasin0=sinacos/?—cosasin0+cosacos0+

sinasin0,

即sinacos0+cosasin0+cosacos0—sinasin夕=0,

即sin(a+S)+cos(cr+S)=0,显然cos(a+£)W0,故tan(a+0)=—1.故选

A.

8.若0</?<pcosa=I，cos0=贝!jsin(a+S)=(C).

A.匹B.逋C.理D.遗

9933

［解析］由0<a<*0<<pcos=pcos/?=F，

得sina=V1—cos2a=手，sin0=^/1—cos2/7=

匕।c、-n।n2V2V31V6V6

所以sin(a+p)=sinacosp+cosasmp=—x—+-x—=—

故选C.

综合提升练

9.(多选题)已知△4BC不是直角三角形，内角4B,C所对的边分别为a也c,

则(ACD).

A.sinC=sin(4+B)B.cosC=cos(X+B)

tan4+tanB

C.tanC=D.a=bcosC+ccosB

tanAlanB—l

［解析］对于A,因为C=Ti—(/+B),所以sinC=sin(ii—(4+B))=sinQl+B),

所以A正确；

对于B,因为C=—(4+8),所以cosC=cos(IT—(4+B))=—cosQ4+B),

所以B错误；

对于C,因为C=TI—(4+B),所以tanC=tan(IT—(4+B))=—tan(>1+B)=—

tani4+tanBtani4+tanB心、，心〒口

---------=---------,所以C正确；

1—tanTltanBtanTitanB—l

对于D,因为力=TC—(B+C),所以sin/=sin(ir—(B+C))=sin(B+C)=

sinSeosC+sinCeosB,

由正弦定理得a=bcosC+ccosB,所以D正确.故选ACD.

10.（多选题）下列式子的运算结果为旧的是（ABC）.

A.tan25°+tan35°+V3tan25°tan35°B,2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)

l+tanl5。ta靖

,1—tan15°•1—tan2^

6

［解析］对于A,tan25°+tan35°+V3tan25°tan35°=tan(25°+35°)-(1-

tan25°tan35°)+V3tan25°tan35°=V3—V3tan25°tan35°+

V3tan25°tan35°=V3；

又寸于B,2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)=2(sin35°cos25°+

cos35°sin25°)=2sin60°=V3；

1+tan15°tan45°+tan15°

对于C,=tan60°=V3；

1—tan15°1—tan45°tan150

,_tan三12taW1nV3

对于匚京7x——=-xtan-=—.

D，21—tanz-232

o

故选ABC.

-巳+sina=W，则sin(a+_4

11.已知cos(a—?

［解析］由cos(a-+sina=—,

可得?cosa+}sina+sina=

日M,V34V3

即5sma+—cosa=—,

・••Hsin(a+{)=W，即sin(a+{)='

・•・sin(a+g)=—sin(a+=—

12.已知sing—a）=—y,sin华+6）=呼，且aG（广邛C（0,»则"?

的值为£.

4

［解析］ac（0,：）,则一夕6（一50）,所以戊一夕€（0,牛），注意到a—

夕=冗_a+?+g）,

于是sin（a-0）=sin（n—（；—a+*+0））=sing-a+乎+0），

不妨记％=；—a,y=空+6，于是sin（a一3）=sin（%+y）,而

xG（-^,0）,sinx=一半，于是cosx=竽（负值舍去），又ye（^,ir）,siny=当,

Z5541U

所以cosy=-S"（正值舍去），

Jio

所以sin（a一夕）=sin（x+y）=sinxcosy+sinycos%=苧，而a—0E（0,夺），

所以仇一口=：

厂4

应用情境练

13.（双空题）如图，扇形。PQ的半径为1,圆心角为。,且tan9=2,C是

扇形弧上的动点，矩形ABC。内接于扇形，当tan乙POC=|l时，矩形力BC。的

周长最大，且周长的最大值为因.

［解析］设/尸。。=a,0<tana<2,

则AD=BC=sinaQB=cosa,0A=—=—,

所以AB=cosa—

所以矩形/BCD的周长为2(cosa—三B+2sina=sina+2cosa=V5sin(a+

0)，

其中sin(p-吏,cos(p=而,tan(p-2,则石<p<5,

所以当a+0=］时，矩形/BCD的周长最大,

COS(P_1

此时a=]—0,tana=tan-:=力

sin(p2

且矩形ZBCD周长的最大值为匾.

14.如图，在带有坐标系的单位圆。中，设乙4。%=a，乙BOx=口，乙40B=a—

cos(a—S)=cosa•cos0+sinasin0.

(2)若ae(],Ti),<€(0,〈),cos(a-S)=-g,tana=-求cos£的值.

［解析］(1)由题意知,|瓦?|=|砺|=1,且函与画的夹角为a—3，

所以。2-OB=1x1xcos(a—份=cos(a—夕).

又。4=(cosa,sina),OB-(cos£,sin0),

所以瓦5•0B=cosczcosB+sinasin0,

故cos(a一份=cosacos0+sinasin/?.

(2)因为aW(£TT)且tana=——,所以sina=—,cosa=——,

2121313

因为3C(0,»所以一。6(一宏0),又ae《,n),cos(a-?)=，,所以

a—£e(pir),sin(a-0)=|,

所以cos0=cos(a—(a—0))=cosacos(a一位+sinasin(a—0)=—1|x

/4\,5363

(-----IH-------X-=—.

V5713565

创新拓展练

15.如图1,正方形4BCD的边长为2,M为线段CD的中点.现把正方形按照图

2进行折叠，使点2与点M重合,折痕与4。交于点E,与BC交于点F.记NMEF=

e，则sin（e+9=奢

［解析］设DE=X,则DM=LEM=E2=2—%.

在RtADEM中，20=90°,所以DE?+DM2=EM2,

即/+1_2=（2一%）