2023-2024学年河北省石家庄市高二年级下册期末教学质量检测数学试卷（含解析）

2023-2024学年河北省石家庄市高二下学期期末教学质量检测

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.某汽车启动阶段的位移函数为s(t)=2t3—5/,则汽车在t=2时的瞬时速度为()

A.10B.14C.4D.6

2.将序号分别为1,2,3,4,5的五张参观券全部分给甲，乙，丙，丁四人，每人至少1张，如果分给甲的

两张参观券是连号，那么不同分法的种数是()

A.6B.24C.60D.120

3.设离散型随机变量X的分布列为：贝g=()

X12

21

P1-2(?q+2

A.1B.1一号C.1+孝D.1土宇

4.已知一组观测值(xi,y。，(%2,、2)，…，&,yn)满足%=a+m+e/i=1,2…；n),若女恒为0,则R?=

()

A.0B.0.5C.0.9D.1

5.(久0-丫口)4的展开式中/y3的系数为()

A.-4B.4C.-6D.6

6.李老师教高二甲班和乙班两个班的数学，这两个班的人数相等.某次联考中，这两个班的数学成绩均近似

服从正态分布，其正态密度函数/(乃=号;当的图像如图所示，其中“是正态分布的期望，行是正态

分布的标准差，且P(|X-〃|<(r)=0.6827,P(|X-M<2CT)=0.9545,P(|X-〃|<3a)=0.9973.关于这

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次数学考试成绩，下列结论正确的是（）

A.甲班的平均分比乙班的平均分高

B.相对于乙班，甲班学生的数学成绩更分散

C.甲班108分以上的人数约占该班总人数的4.55%

D.乙班112分以上的人数与甲班108分以上的人数大致相等

7.某校三位同学报名参加数理化生四科学科竞赛，每人限报且必须报两门，由于数学是该校优势科目，必

须至少有两人参赛，若要求每门学科都有人报名，则不同的参赛方案有（）

A.51种B.45种C.48种D.42种

8.已知函数/（%）=。一劫/一上炉+1Q为自然对数的底数），若对任意的尤1，x26（0,+8）,且打力犯，都

有+犯/（久2）＞久2fo1）+则实数k的取值范围是（）

Qg11

A.（一8HB.（一8五）C.（一8可|D.（-83）

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列说法中正确的是（）

A.对于独立性检验，/的值越大，说明两事件的相关程度越大

B.以模型y=ce-去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny,若其变换后得到线性方程

z=0.3x+4,贝h，k的值分别是e，和。.3（e为自然对数的底数）

C.在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程9=&+标中，b=2,x=l,y=3,

则2=1

D.通过回归直线夕=标+&及回归系数可以精确反映变量的取值和变化趋势

10.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九

章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关

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于“杨辉三角”的结论正确的是()

杨辉三角

第

0Z一

I4

丁

第1

叶

第2Z

Y亍

第3Z

T厅

第4

亍

第5

TZl

第6

rr亍

74

厅

第7

一

第84

1丁

A.Cj+Cj+Cl+•­•+篇i=220

B.记第九行的第i个数为如则27T3，-5=4n

C.第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等

D.第30行中第12个数与第13个数之比为12:19

11.某大学文学院有4B两个自习室，小王同学每天晚上都会去自习室学习.假设他第一天去自习室a的概

率为J；他第二天去自习室B的概率为J；如果他第一天去自习室4则第二天去自习室B的概率为下列说法正

确的是()

A.小王两天都去自习室力的概率为:；

B.小王两天都去自习室B的概率为专

C.小王两天去不同自习室的概率为弓

D.如果他第二天去自习室B,则第一天去自习室a的概率为，.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.编号为1,2,3的三位学生随意入坐编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号

相同的学生的个数是f,贝怩(f)=.

13.在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异.若离散型随机变量X,丫的取值集合均为

(0,l,2,3,-,n}(nEN*),则X,丫的散度D(X||Y)=羽=()P(X=i)ln辞三定若X,丫的概率分布如下表所示，

其中0<p<i,则。(X||y)的取值范围是.

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X01

11

P

22

Y01

P1—PP

14.若二次函数/(X)=2%2+3的图象与曲线。9(幻=ae，+3(a>0)存在公切线，则实数a的取值范围是

.(e为自然对数的底数)

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

设函数/(%)=炉―3/一9x+8.

(1)求/(久)在x=1处的切线方程；

(2)求/(%)在［-2,4］上的最大值和最小值.

16.(本小题12分)

n712

已知/1(x)=(2x-3)展开式的二项式系数和为512,且(2%-3)=a。+ai(x-l)+a2(x-l)+■■■+an(x-l

)n.

(I)求&2的值；

(H)求的+(12+(13+...+Cln的值；

(HI)求a1+2<22+3口3d■■■,+nan的值.

17.(本小题12分)

在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯.某研究小组为研究转笔与学习成绩好差的关系，

从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有上课转笔习惯的有55人.经调查，得到这100名

学生近期考试的分数的频率分布直方图.记分数在600分以上的为优秀，其余为合格.

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(I)请完成下列2x2列联表.并依据小概率值a=0.01的独立性检验，分析成绩优秀与上课转笔之间是否有

关联;(结果均保留到小数点后三位)

上课转笔上课不转笔合计

优秀

合格20

合计55100

(U)现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽到

5人中合格的人数为X,求X的分布列和数学期望;

(皿)若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中上课转笔的人数为k的

概率为P(k),当P(k)取最大值时，求k的值.

附：*2=（a+b）（*f）3?：）s+d），其中n=a+b+c+d.

PCx2>k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

18.(本小题12分)

一个调查学生记忆力的研究团队从某中学随机挑选100名学生进行记忆测试，通过讲解100个陌生单词后,

相隔十分钟进行听写测试，间隔时间t(分钟)和答对人数y的统计表格如下:

时间t(分钟)102030405060708090100

答对人数y987052363020151155

igy1.991.851.721.561.481.301.181.040.70.7

时间t与答对人数y和lgy的散点图如下:

1202.50

答100

2.00

对80

时间，时间，

附：£"14=38500,£出1%=342,骞%1g%=13.52,劈4=10960,£之1%=621.7,对于

一组数据(%,%),(u2,v2),...»(Un,vn),其回归直线方程g=的斜率和截距的最小二乘估计分别

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”,%LiUiVi-nuv--

为：B=欧i==1谱一疝2，a=V-Pu.

请根据表格数据回答下列问题：

(1)根据散点图判断，y=at+6与a)/=ct+d哪个更适宜作为线性回归模型？(给出判断即可，不必说

明理由)

(2)根据(1)的判断结果，建立y与t的回归方程；(a力或c,d的计算结果均保留到小数点后三位)

(3)根据(2)请估算要想答对人数不少于75人，至多间隔多少分钟需要重新记忆一遍.(结果四舍五入保留整

数)(参考数据：1g2a。3,1g320.48)

19.(本小题12分)

对于正实数a,b(a>b),我们熟知基本不等式：G(a,b)<A(a,b),其中G(a,6)=/而为a,b的几何平均

数，A(a,b)=胄为a,b的算术平均数.现定义a,6的对数平均数：L(a,b)=益竟.

1

(I)设％>1,求证：21nx<x--;

(□)证明G(a力)VL(a,b);

(IE)若不等式G(a/)+A(a/)>m•L(a,b)对任意正实数a,b(a>b)恒成立，求正实数加的取值范围.

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答案简析

l.C

【简析】

解：1•-s(t)=2t3-5t2,

.­.汽车的速度为0(t)=s'(t)=6t2-10t,

.­.v(2)=s'(2)=6x22-10x2=4.

故选C.

2.5

【简析】解：根据题意，分2步进行分析：

①、将连号的两张参观券分给甲，有1和2,2和3,3和4,4和5,共4种情况,

②、将剩下的3张参观券分给其他三人，有黑=6种分法，

则有4X6=24种不同的分法；

故选8.

3.B

【简析】

解：由题意可得：1—2q+q2+^=1,

解得：q=1-#,

或q=1+#(此时q2+/l,舍去),

故选B.

4.D

【简析】解：解：由立恒为0,知力=》『即

X21(〃(一匕)2

故R2=1-=1-0=1.

S(Li(y-y)2

故选D

5.D

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【简析】解：（久0-'依）4=乂2丫2（口一0）4,

只需求（m-0尸展开式中的含町项的系数.

•；（m―4下的展开式的通项为*+1=%（口）4f（一

令1I/?得「=2

•••展开式中x3y3的系数为鬣=6

6.D

【简析】解：由题意结合正态分布的密度曲线可得甲班的数学平均成绩为98,乙班的数学平均成绩为

100,故/错误，

由图象可得甲班的数学成绩的标准差为5,乙班的数学成绩的标准差为6,相对于乙班，本次考试中甲班不

同层次学生的成绩更稳定，故8错误，

甲班108分以上的人数约占该班总人数的概率为P（X>108）=1-竽45=2275%,故C错误，

乙班112分以上的人数约占该班总人数的概率为P（X>112）=上等至=2.275%,

又这两个班的人数相等，所以乙班112分以上的人数与甲班108分以上的人数相等，故。正确，

故选：D.

7.4

【简析】解：设三位同学为4B,C;由题意，参赛方案分为两种情况：

（一）数学学科有2人报名：

先选2人报名数学，有《种结果（假设为4B）,其余三科的参赛方式又分为两种情况：

①4B选同科，有废种结果；@A,B选不同科（即4,C,或B,C选同科），有废•得种结果，

所以数学学科有2人报名时共有《•（玛+玛・C卜掰）=3x15=45种结果；

（二）数学学科有3人报名：

先选3人报名数学，有出种结果，其余三科的参赛方式有属种结果，

所以数学学科有3人报名时共有底•题=6种结果；

综合（一）（二）得不同的参赛方案有45+6=51种.

故答案选：A.

8.4

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【简析】解：,•・久1/(久1)+比2/(%2)>01)+，

•••(xi-%2)[f(^i)-/te)]>o,

•••X\丰乂2,

•••”九1?]九2产”>0,即f(久)在(0,+8)上单调递增,

•••/'(%)=xex—3kx2>0在(0,+8)上恒成立，

即k4宗在(0,+8)上恒成立，

构造函数g(x)=裒*>0),贝W(x)=产,

令g'Q)>0,则x>l,此时函数g(x)单调递增,令g'(x)<0,则。<x<l,此时函数g(x)单调递减;

•••g(久)⑴=*

即k<f.

故选工.

9.ABC

【简析】

解：对于4根据独立性检验的性质知，依的值越大，说明两个分类变量相关程度越大，/正确；

对于B,由丫=c/x,两边取自然对数，可得biy=bic+kx,

令z=biy,得2=左光+m。，vz=0.3%+4,^=03^贝!l{%=*g,8正确；

对于C,回归直线方程夕=&+标中，a=y-b-x=3-2X1=1,C正确；

对于。，通过回归直线夕=&+标及回归系数6,可估计和预测变量的取值和变化趋势，D错误.

故选ABC.

10.50

【简析】解:对于4由制t+邛=^可得

C|+C4+Cg++篇1—C3+C|+C4+++篇i—1—C4+鬣++■■■+*]—1—C|2—1=219

,故a错误；

所以比33一仙=3℃°+3]配+32鬣+.••+3n4=(1+3)"=4n,故3正确；

对于。，第30行中第12个数与第13个数之比为

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ll.12_3°x19x…x2°12x11x•­•x1

rr=12:19,故D正确.

“30儿30-11x10X…X1X30X19x•••x20x19

对于C,第2023行是奇数，中间两项最大,即《8君和G8始

也就是第2023行中第1012个数和第1013个数相等，故C错误;

故选：BD

11.BC

【简析】解：设4=第，天去自习室2，从=第》天去自习室B,依题意有:

P(41)=/P(%)=,，P(B2%)=2，。缶2%)=/

①PQM2)=P(41)P(42|^I)=|X|=|,故/错误。

②P(B2)=P(&)P(B2|&)+P(Bi)P(B2|BD=

11121

7=^X-+-P(52|B1)^P(S2|B1)=-

4,DZDO

911

P(B1%)=P(B1)P(B2|B1)=。x,=g故8正确。

5O1Z

③1-P(4遇2)-P(B/2)==故C正确.

O1Z4,

④p⑶瓦)=第二⑷渡产=个=|,故。错误.

故选2c.

12.1

【简析】解：•••编号为1,2,3的3位同学随意入座编号为1,2,3的3个座位,

.•.有123,132,213,231,312,321,6种结果，

设与座位编号相同的学生个数为f,贝喈的可能为0,1,3,

f的分布列为：

013

111

P

326

111

E(9=0x1+lxj+3x1=1,

故答案为1.

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13.[0,+8)

【简析】解：由题意可得O(X||y)=£；'=oP(X=i)ln箫以

PCX=0)P(X=1)

=P(X=°)ln^F^+P(X

11111

=2ln2(r=rt+2ln2F=_2ln[4(1-p)p]

因为0<p<l时，0<4(l-p)p4l,

-|ln[4(l-p)p]>0,

即D(X|»)的取值范围为[o,+8).

14.(0,J]

【简析】解：/(%)=2%2+3的导数为((%)=4%,g(x)=ae%+3的导数为g'O)=aex,

设公切线与/(%)=2%2+3的图象切于点(巧,2好+3),

与g(%)=aex+3的图象切于点(%2,ae*2+3),

•••4x=aeX2=52+3-(2/+3)_aex2-2xj

%2—%2—%19

化简可得，2%i=2%1~xx.,得％i=0或2%2=%i+2,

X2—X1

v4%x=aeX2,且。>0,/.%1>0,贝”2%2=+2>2,即％2>1，

塔=越铲=今!

ex2ex2ex2

设伏幻=与久。>1)，则〃(无)=写以，

由"(%)>0可得1<%<2;由"(%)<0可得汽>2

・•・h(%)在(1,2)上递增,在(2,+8)上递减,

•••h(x)max=h(2)—前,

实数a的取值范围为(0月

15.解：(1)由题意知，/(I)=-3,即切点为(1,一3),

又/'(X)=3/_6x—9,所以r(1)=—12,

所以/(%)在％=1处的切线方程为：y+3=-12(x-l),即12久+y-9=0;

(2)尸(%)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1),

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令f，(x)<0得一1<久<3,f'(x)>。得久<—1或x>3,

故/(久)的减区间为(—1,3),增区间为(一8,-1)和(3,+00),

函数/(%)的极大值/(—I)=13,函数的极小值八3)=—19,

又f(-2)=6,又4)=-12,

/(久)在[-2,4]上的最大值是13,最小值是-19.

【简析】

(1)求出导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式，即可求出结果；

(2)求出导数，研究单调性，得出函数的极值，再求出f(-2),f(4),即可求出结果.

16.解：(I)由二项式系数和为512知，2n=512=29今n=9,

(2x-3)9=[2(x-l)-l]9,

•••42=X22x(-1)7=-144；

9

(H)令x=l,Gt0=(2x1—3)--1,

令x=2,得a。+ci1+a，2++,,1+=(2X2-3)9=1,

+做+。3+…+。9

=(。0++。2+。3+…+。9)一=2.

(皿)由九=9可知(2%—3)9=CLQ+—1)+。2(%—l)?+…+dg(%—1)。

两边求导数可得18(2x—3)8=%+2a2(x-l)+-­•+9a式刀―1)%

令x=2可得的+2口2+•■,+9a9=18.

【简析】

(I)根据二项式系数和为512先确定出直，再计算a2的值；

(E)利用赋值法求特定项系数及特定项项系数和可得.

(m)先求导数后代值，即可得答案.

17.解：(I)零假设Ho：成绩优秀与上课转笔无关，

2x2列联表如下：

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上课转笔上课不转笔合计

优秀52530

合格502070

合计5545100

2

2100(5X20-25x50)..n,,QC

"X=——45-~x5—5x70x3—0—~25.449>6.635,

根据小概率值a=0.01的/独立性检验，我们推断Ho不成立，因此认为成绩优秀与上课转笔有关.

(U)100个人中优秀的人数为(0.0125+0.0025)X20X100=30,

则合格的人数为70人，由分层抽样可知：10人中有3人优秀，7人合格;

由题意X的可能值为2.3,4,5,

P(X=2)=警/P(X=3)=膏.P(X=4)=鬻/P(X=5)=管/

则X的分布列为:

X2345

1551

P

12121212

1cc17

所以E(X)=2xa+3x5+4x5+5xa=T.

(皿)由题意可知k〜8(20,0.55),贝|P(k)=C30.55k0.452°i,

c

ok2fefc+119/i:

c-0.55-0.450->CV-0.55-0.45-

o-O.55fe-O.452°-fc>do1-O.55fc-1-O.4521-fc'

解得10.554伏11.55,又kGN,

故k=10,

则当k=10时，P(k)取最大值时.

【简析】

(I)列出2x2列联表，求出*2,对照临界值即可得出答案；

(工)得出*的值，求出相应的概率，写出分布列，从而求出数学期望;

(HI)由题意可得［渡::霭:宅或膜；)°4黑工解出卜的范围,即可得出答案.

18.解：(1)由图象可知，Zgy=ct+d更适宜作为线性回归模型.

(2)设Igy=/+2,由条件可得，£=奈巴力=55,厨=1.352,

空土上怛”一10沏621.7-10x55x1.352

X旦4一10R-38500-10X552-«-0.015,d=Igy—cta2.177,

第13页，共15页

所以Zgy=-0.015t+2,177,因此y=io-°°15t+2177.

01

(3)由题意知y=10-05t+2.177>75)

即一0.015t+2,177>lg(25x3)=1g乎+lg3=2-21g2+lg3-1.88,

解得t<19.8,

则t<20,即至多20分钟，就需要重新记忆一遍.

【简析】

(1)由图象可知，Igy=ct+d更适宜作为线性回归模型