湖南省益阳市2025届高三9月教学质量检测数学试卷（含答案）

湖南省益阳市2025届高三9月教学质量检测数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知力={%|-2<%<2},B={x|log2x<1},M=4CiB.则知是()

A.{x\x<2}B.{x|-2<%<2}C.{x|0<%<1}D.{x|0<%<2]

2.已知复数z满足|z-4=2,则复数z在复平面上对应的点的轨迹是()

A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线

3.已知等比数列九}中，。1+%=2,%+=16,则由0+早12=()

A.26B.32C.512D.1024

4,已知f⑺=，二””2贝1W(-3))=()

(sm7rx(x>0)

A-一亨B.0C.1D.苧

22

5.已知椭圆E:菅+y2=1与双曲线/:a―y2=1的焦点重合，则双曲线F的离心率为()

A岑B.|C.fD邛

6.在平行四边形4BCD中，BE=^BC,AF=|AE,若荏=爪荏+n而，,则TH+n=()

115

A.三B.：C.7D.1

D26

7.已知抛物线C1:y2=M，。2：川=8x的焦点分别为6、F2,若P、Q分别为的、C2上的点，且线段PQ平行

于久轴，则下列结论错误的是()

A.当|PQ|=机寸，A&PQ是直角三角形

B.当|PQ|=抖，△F2PQ是等腰三角形

C.存在四边形6F2PQ是菱形

D.存在四边形F/2PQ是矩形

8.已知函数/(%)是定义在R上的奇函数，当无<。时，/(%)=?%(%+2),则下列说法正确的是()

A.函数/(%)有两个零点B.当久>0时，f(x)=-ex(-x+2)

C./(x)>0的解集是(—2,0)U(2,+8)D.VX1x2eR都有|/(%i)-/(%2)lV3

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数/(%)=2sin(2%+9,.则下列结论成立的是()

A./(x)的最小正周期为兀B.曲线y=/(x)关于直线*=]对称

C.点(一盍,0)是曲线y=/(x)的对称中心D"(x)在(0,兀)上单调递增

10.已知函数/■(久)=e8-对于任意实数a,b,下列结论成立的有()

A"(x)min=1

B.函数f(X)-ex-x在定义域上单调递增

C.曲线f(%)=1一久在点(0,1)处的切线方程是y=1

D.若a=—6>0,贝行(a)>/(6)

11.在棱长为1的正方体A8CD-4名6。1中，P为棱BBi上一点，且B1P=2PB,Q为正方形8%的(7内一动

点(含边界)，则下列说法中正确的是()

A.若DiQ〃平面&PD,则动点Q的轨迹是一条长为苧的线段

B.不存在点Q使得OiQ，平面&PD

C.三棱锥Q-aPD的最大体积为亮

lo

D.若OiQ=竽且DiQ与平面&PD所成的角最大时，三棱锥Q—4P。的体积为寺

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若sina=则cos2a=.

13.在某世界杯足球赛上，a,b,c,d四支球队进入了最后的比赛，在第一轮的两场比赛中，a对b,c对

d,然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛，决出第三名和第四名、若a对从a

对d的胜率均为0.6,a,对c、c对d的胜率均为0.5,贝b获得冠军的概率为.

14.已知｛即｝是各项均为正整数的无穷递增数列，对于k€N*,定义集合

Bk=｛iEN*.\at<k],设法为集合取中元素的个数，若取=0时;规定为;=0.

(1)若。„=3n,贝!1bio=;

(2)若数列｛%｝是等差数列，则数列｛即｝的前50项之和为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知△ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且JZasinC-ccosA—c=0.

⑴求4

(2)若a=4,则AABC面积为2口，求6+c的值.

16.(本小题15分)

某公园为了提升公园形象，提高游客旅游的体验感，他们更新了部分设施，调整了部分旅游线路.为了解游

客对新措施是否满意，随机抽取了100名游客进行调查，男游客与女游客的人数之比为2:3,其中男游客有

35名满意，女游客有15名不满意.

满意不满意总计

男游客35

女游客15

合计100

(1)完成2x2列联表，依据表中数据，以及小概率值a=0.05的独立性检验，能否认为游客对公园新措施

满意与否与性别有关?

(2)从被调查的游客中按男、女分层抽样抽取5名游客.再随机从这5名游客中抽取3名游客征求他们对公园进

一步提高服务质量的建议，其中抽取男游客的人数为X.求出X的分布列及数学期望.

2

n(Qd—bc)

参考公式：2,其中a+b+c+d.

Z=(a+b)(c+d)(a+c)Q+d)n=

参考数据:

a0.100.0500.0100.005

2.7063.8416.6357.879

17.(本小题15分)

如图，四边形力BCD与四边形4DEF均为等腰梯形，BC//AD,EF//AD,AD=4,4B=YI,BC=EF=

2,AF=FBL^^ABCD,M为4。上一点，且FM1AD,连接8。、BE、BM.

(1)证明：BC1平面8FM;

(2)求平面4BF与平面DBE的夹角的余弦值.

18.(本小题17分)

1

已知两点4(-2,0),B.(2,0)及一动点P,直线P4PB的斜率满足岫4/PB=-；，动点P的轨迹记为C.过点

4

(1,0)的直线/与C交于M,N两点，直线AM,BN交于点Q.

(1)求C的方程；

(2)求44MN的面积的最大值；

(3)求点Q的轨迹方程.

19.(本小题17分)

若函数/(久)=Inx-|x2.

(1)若a=4,且曲线y=/(久)的切线I过点(0,2e2),求直线I的方程；

(2)证明:若)(%1)=/(%2)(。＜%1＜久2)，则/殁笠)＜0；

(3)若G(x)=/(%)+%+ln^＜。恒成立，求a的取值范围.

参考答案

l.D

2.5

3.D

4.0

5.4

6.5

7.C

8.C

9./4C

10.ACD

U.BCD

嗝

13.0.33

14.2；1275

15.解：(1)由正弦定理得a=2Rsin4c=2RsinC,又V3asinC-ccosA—=0,

•••V3sinAsinC—sinCcosZ—sinC=0.

vCG(0,TT)，・•・sinCH0.・•・V3sinZ—cosZ-1=0.2sin(X-7)=1.

6

TT

Ae(0,7T),••・=-.

(2)ABC面积为2V3,•••2V3=^bcsinA=^bcsin^=4be,be=8.

LL34

va=4,A-由a2=庐+/_2bccos/得16=b2+c2-2bcx

即(b+c)2=16+3bc=40..・.b+c=2/10.

16.解：(1)因为调查的男游客人数为：mx100=40,

所以，调查的女游客人数为100-40=60,于是可完成2X2列联表如下:

满意不满意总计

男游客35540

女游客451560

合计8020100

零假设为％:游客对公园新措施满意与否与性别无关.根据列联表中的数据，可得：

2100x(35x15-45x5)275。

%=—=20x40嬴上=我<3<3.841=%。5,

根据小概率值a=0.05的22独立性检验，没有充分证据推断为不成立，因此可以认为为成立，即游客对公

园新措施满意与否与性别无关.

(2)由(1)可知男游客抽2人，女游客抽3人，

依题意可知X的可能取值为0,1,2,并且X服从超几何分布，

即P(X=0)=§g==，

所以X的分布列为:

101010

F(X)=0X^+1XA+2X±=

17.1?：(1)因为F8_L平面2BCD,又4。<=平面23。£),

所以FB12D.又FM12D,且FBCFM=F,

所以，AD_L平面BFM,因为BC〃4D,

所以，BCl5FffiBFM.

(2)作EN14D,垂足为N.则FM〃EM又EF〃/W,

所以四边形FMNE是平行四边形，又EN1AD,

所以四边形FMNE是矩形.

又四边形4DEF为等腰梯形，且4。=4,EF=2,所以=1.

由(1)知4D1平面BFM,所以BM14C.

又力B=72,所以BM=1.

在RtAAFM中，FM=VXF2-AM2=710.

在RtAFMB中，FB=VFM2-BM2=3.

由上可知，能以BM,BC,BF所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系.

A

则4(-1,一1,0),5(0,0,0),F(0,0,3),£)(-1,3,0),E(0,2,3),

所以，AB=(1,1,0),BF=(0,0,3),BD=(-1,3,0),BE=(0,2,3).

设平面ABF的法向量为沅=Oi，yi，Zi),

由『票。喂变A'可取—I，。

设平面BDE的法向量为元=(x2,y2,z2),

嚼嚼二得片MMJ。可取元=(932).

,u/一一、m-n9—33V-47

因m此L'COS<6'n>=哂="+/81+9+4=V

依题意可知，平面4BF与平面DBE的夹角的余弦值为空.

18.解：(1)设动点PQ,y),因为直线PA,P8的斜率满足kpQkpB=-J，

,备,蠢=一；(*丰士2)，化简整理得9+y2=1(久丰±2).

所以轨迹C的方程为［+y2=1(%±2).

(2)由已知可设过点(1,0)的直线I的方程为：x=ty+l(t€R),点M(xi，yi),点号(久2，丫2)，

x^ty+1

由Q+y2=1，得上2+4)y2+2ty-3=0,显然/>0.%+%=西比月=有.

C.1,-2-HIv31(2扰-4-(-3>(产+4)65

SAAMN-2|一2-1|\yi-y2\~2-M+4•

令〃=，"+3,则〃2V3,/="2一3,所以S—MN=

设s(a)=磊，则s'Q)=(君，所以SQ)在［6,+8)单调递减，所以sQ)的最大值为

s(Y3)=苧即a=t=0时，△4MN的面积取最大值名.

(3)由已知可设直线的方程为y=-^7?(%+2),即y=(%+2),

直线BN的方程为y=3%Q—2),即y=U(x—2),

%2-2?2-1

消去y得馈？=瞪，显然为火。。，・•・连=三，(*)

片了2

rhC\4S।—2t—3112t1t1

由(2)，侍为+%=H，%光:不，•.・五+元=了•"一五=§+五，

所以(*)式可化为=1":)，■,-%+2=3(%—2),即x=4.

计元式,+五)

所以点Q的轨迹方程为久=4(y丰0).

19.1?：(1)由题意得/''(X)=§-ax=>0),

设所求切线的切点为(x°,y°)，则直线/的方程为y—y0=/'(Xo)0—%。)，

即y-yo==也(x-XO)>又M)=Inxo-=ln%0-2诏,

x0N

214X2

•••2e—(lnx0—2%Q)=°(0—%。).即In%。+2XQ-2e—1=0,

%o

令t(%)=In%+2x2—2e2—1,可知y=1(%)在(0,+8)上单调递增.

又t(e)=0,所以方程。%o+2XQ—2e2—1=0有唯一解久°=e.

所以，直线，的方程是y=J：x+2/(或(1-4e2)%-ey+2e3=0)

x

(2)证明：・・・/(%i)=f(x2)(0<%]<%2)，••・In/~^i=1n%2一百分

即华芈=地产，要证/，(号今vo,

由(1)知只要证———幽抖<0,即证一一-欣「1%<0,

、,%]+%22%]+%2xl~x2

又因为0</<》2，即证2(丁)〉仙二,(*)

%1+%2%2

令言=3贝欲证(*)式成立，等价于证明与台〉lnt,

设函数h(t)=Int—箸(0<t<1),则h'(t)=1-^=鬻>。，

所以函数h(t)是(0,1)上的增函数，所以h(t)<八(1)=0,即等>lnt成立,

所以广仔要)<0

⑶解法一：由题意得G(x)=Inx—|x2+x+ln|(x>0,a>0).

则G'(x)=4—a久+1=匕竺*,令G'Q)=0,得%=担/”或x=上平亚(舍去),

xx乙a乙a

在(0,1+丁b上,G'(x)>0,在(1+塞森,+8)上,G'(x)<0,

G(x)在(0,二室竺)上单调递增，在(如笋,+8)上单调递减，

当且仅当x=J于前时,G(x)取得最大值G(i+『5GQLax=G(1