2022-2023学年高一物理举一反三系列（人教版必修第二册）专题7.3 万有引力理论的成就（解析版）

专题7.3万有引力理论的成就【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【题型1万有引力与重力的关系1】 【题型2万有引力与重力的关系2】 【题型3对比问题】 【题型4追及问题】 【题型5估算问题】 【题型6同步卫星】 【题型7拉格朗日点】 【题型8黑洞问题】 【题型1万有引力与重力的关系1】【例1】一火箭从地面由静止开始以5m/s2的加速度竖直向上匀加速运动，火箭中有一质量为1.6kg的科考仪器，在上升到距地面某一高度时科考仪器的视重为9N，则此时火箭离地球表面的距离为地球半径的(地球表面处的重力加速度g取10m/s2)()A.eq\f(1,2)倍B．2倍C．3倍D．4倍答案C解析在上升到距地面某一高度时，根据牛顿第二定律可得FN－mg′＝ma，解得g′＝eq\f(10,16)m/s2＝eq\f(g,16)，因为Geq\f(M,r2)＝g′，可得r＝4R，则此时火箭离地球表面的距离为地球半径R的3倍，选C.【变式1-1】假设在月球表面将物体以某速度竖直上抛，经过时间t物体落回月球表面，物体上升的最大高度为h。已知月球半径为R，引力常量为G，不计一切阻力。则月球的密度为()A.eq\f(3πh,4Rt2)B.eq\f(6πh,GRt2)C.eq\f(6h,GπRt2)D.eq\f(8πh,3GRt2)[解析]设月球质量为M，月球表面重力加速度为g′，由自由落体运动公式得h＝eq\f(1,2)g′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,2)))2，月球表面质量为m的物体所受重力mg′＝Geq\f(Mm,R2)，月球体积为V＝eq\f(4,3)πR3，则月球的密度为ρ＝eq\f(M,V)，联立以上各式得ρ＝eq\f(6h,GπRt2)，C正确。[答案]C【变式1-2】(多选)2021年5月15日，“天问一号”火星探测器所携带的祝融号火星车及其着陆组合体成功着陆于火星，这标志着我国首次火星探测任务取得圆满成功。假设火星为质量分布均匀的球体，已知火星质量是地球质量的a倍，火星半径是地球半径的b倍，地球表面的重力加速度为g，质量均匀的球壳对其内部物体的引力为零，则()A．火星表面重力加速度为eq\f(ag,b2)B．火星表面重力加速度为eq\f(b2g,a)C．火星表面正下方距表面距离为火星半径eq\f(1,2)处的重力加速度为eq\f(ag,2b2)D．火星表面正下方距表面距离为火星半径eq\f(1,2)处的重力加速度为eq\f(ag,4b2)[解析]在地球表面有Geq\f(Mm,R2)＝mg，在火星表面有Geq\f(aMm,bR2)＝mg′，联立解得火星表面重力加速度为g′＝eq\f(ag,b2)，则A正确，B错误；设火星的密度为ρ，火星的半径为R0，由于质量均匀的球壳对其内部物体的引力为零，则在火星表面正下方距表面距离为火星半径eq\f(1,2)处的重力加速度相当火星内部那部分产生的引力产生的，则火星内部那部分质量为M′＝ρeq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R0,2)))3＝eq\f(1,8)M火＝eq\f(1,8)aM，火星表面正下方距表面距离为火星半径eq\f(1,2)处的重力加速度为g″，则有Geq\f(\f(1,8)M火m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R0,2)))2)＝mg″，联立解得g″＝eq\f(ag,2b2)，所以C正确，D错误。[答案]AC【变式1-3】2020年12月17日，“嫦娥五号”成功返回，标志着中国全面掌握无人地月往返系列技术。已知地球半径为月球半径的p倍，地球质量为月球质量的q倍。若探测器在地球表面以某一初速度竖直向上射出一物体，忽略空气阻力，其上升的最大高度为h0。忽略星球自转的影响，该探测器在月球表面以相同的初速度竖直向上射出同一物体，其上升的最大高度为()A.eq\f(qh0,p2)B.eq\f(h0p2,q)C.eq\f(h0,qp2) D．qp2h0[解析]设月球的重力加速度为g′，在月球上抛物体上升的高度为h′，忽略星球自转的影响，则根据eq\f(GMm,R2)＝mg，可得g＝eq\f(GM地,R地2)＝eq\f(GqM月,pR月2)，g′＝eq\f(GM月,R月2)，eq\f(g,g′)＝eq\f(q,p2)，在地球上上升的高度h0＝eq\f(v02,2g)，在月球上上升的高度h′＝eq\f(v02,2g′)，eq\f(h′,h0)＝eq\f(g,g′)，解得h′＝eq\f(qh0,p2)，故选A。[答案]A【题型2万有引力与重力的关系2】【例2】某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转的原因，其表面“赤道”处的重力加速度为g1，“极点”处的重力加速度为g2，若已知自转周期为T，则该天体的半径为()A.eq\f(4π2,g1T2) B.eq\f(4π2,g2T2)C.eq\f(g2－g1T2,4π2) D.eq\f(g1＋g2T2,4π2)答案C解析在“极点”处：mg2＝eq\f(GMm,R2)；在其表面“赤道”处：eq\f(GMm,R2)－mg1＝m(eq\f(2π,T))2R；解得：R＝eq\f(g2－g1T2,4π2)，故选C.【变式2-1】(多选)万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，引力常量为G，将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体。下列说法正确的是()A．在北极地面称量时，弹簧测力计读数为F0＝Geq\f(Mm,R2)B．在赤道地面称量时，弹簧测力计读数为F1＝Geq\f(Mm,R2)C．在北极上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F2＝Geq\f(Mm,R＋h2)D．在赤道上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F3＝Geq\f(Mm,R＋h2)[解析]在北极地面称量时，物体不随地球自转，万有引力等于重力，则有F0＝Geq\f(Mm,R2)，故A正确；在赤道地面称量时，万有引力等于重力加上物体随地球一起自转所需要的向心力，则有F1<Geq\f(Mm,R2)，故B错误；在北极上空高出地面h处称量时，万有引力等于重力，则有F2＝Geq\f(Mm,R＋h2)，故C正确；在赤道上空高出地面h处称量时，F3<Geq\f(Mm,R＋h2)，故D错误。[答案]AC【变式2-2】将一质量为m的物体分别放在地球的南、北两极点时，该物体的重力均为mg0；将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg.假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R，已知引力常量为G，则由以上信息可得出()A．g0小于gB．地球的质量为eq\f(gR2,G)C．地球自转的角速度为ω＝eq\r(\f(g0－g,R))D．地球的平均密度为eq\f(3g,4πGR)答案C解析设地球的质量为M，物体在赤道处随地球自转做圆周运动的角速度等于地球自转的角速度，轨道半径等于地球半径，物体在赤道上的重力和物体随地球自转的向心力是万有引力的分力．有Geq\f(Mm,R2)－mg＝mω2R，物体在两极受到的重力等于万有引力Geq\f(Mm,R2)＝mg0，所以g0＞g，故A错误；在两极mg0＝Geq\f(Mm,R2)，解得M＝eq\f(g0R2,G)，故B错误；由Geq\f(Mm,R2)－mg＝mω2R，mg0＝Geq\f(Mm,R2)，解得ω＝eq\r(\f(g0－g,R))，故C正确；地球的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(g0R2,G),\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g0,4πGR)，故D错误．【变式2-3】宇航员在某星球上为了探测其自转周期做了如下实验：在该星球两极点，用弹簧秤测得质量为M的砝码所受重力为F，在赤道测得该砝码所受重力为F′。他还发现探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T。假设该星球可视为质量分布均匀的球体，则其自转周期为()A．Teq\r(\a\vs4\al(\f(F′,F))) B．Teq\r(\f(F,F′))C．Teq\r(\a\vs4\al(\f(F－F′,F))) D．Teq\r(\f(F,F－F′))解析：选D设星球和探测器质量分别为m、m′在两极点，有：Geq\f(Mm,R2)＝F，在赤道，有：Geq\f(Mm,R2)－F′＝MReq\f(4π2,T自2)，探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T，则有：Geq\f(mm′,R2)＝m′Req\f(4π2,T2)；联立以上三式解得T自＝Teq\r(\f(F,F－F′))。故D正确，A、B、C错误。【题型3对比问题】【例3】我国发射的第三十二颗北斗导航卫星属于倾斜地球同步轨道卫星，卫星入轨并完成在轨测试后，将接入北斗卫星导航系统，为用户提供更可靠服务。通过查询，倾斜地球同步轨道卫星是运转轨道面与地球赤道面有夹角的轨道卫星，它的运转周期也是24小时，如图所示，关于该北斗导航卫星说法正确的是()A．该卫星可定位在北京的正上空B．该卫星与地球静止轨道卫星的向心加速度大小是不等的C．该卫星的发射速度v≤7.9km/sD．该卫星的角速度与放在北京地面上物体随地球自转的角速度大小相等解析：选D根据题意，该卫星是倾斜轨道，故不可能定位在北京的正上空，A错误；由于该卫星的运转周期也是24小时，与地球静止轨道卫星的周期相同，故轨道半径、向心加速度大小均相同，B错误；第一宇宙速度7.9km/s是最小的发射速度，C错误；根据ω＝eq\f(2π,T)可知，该卫星的角速度与放在北京地面上物体随地球自转的角速度大小相等，D正确。【变式3-1】我国首颗量子科学实验卫星“墨子”已于酒泉卫星发射中心成功发射，将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信。“墨子”将由火箭发射至高度为500km的预定圆形轨道。此前在西昌卫星发射中心成功发射了第二十三颗北斗导航卫星G7，G7属于地球静止轨道卫星(高度约为36000km)，它将使北斗系统的可靠性进一步提高。关于卫星以下说法中正确的是()A．这两颗卫星的运行速度可能大于7.9km/sB．通过地面控制可以将北斗G7定点于西昌正上方C．量子科学实验卫星“墨子”的周期比北斗G7的周期小D．量子科学实验卫星“墨子”的向心加速度比北斗G7的小解析：选C根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，知轨道半径越大，线速度越小，第一宇宙速度的轨道半径为地球的半径，所以第一宇宙速度是绕地球做匀速圆周运动最大的环绕速度，所以北斗G7和量子科学实验卫星“墨子”的线速度均小于地球的第一宇宙速度，故A错误；北斗G7即地球静止轨道卫星，只能定点于赤道正上方，故B错误；根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，所以量子科学实验卫星“墨子”的周期小，故C正确；卫星的向心加速度a＝eq\f(GM,r2)，半径小的量子科学实验卫星“墨子”的向心加速度比北斗G7的大，故D错误。【变式3-2】“太空电梯”的概念最初出现在1895年，由康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基提出。如今，目前世界上已知的强度最高的材料——石墨烯的发现使“太空电梯”制造成为可能，人类将有望通过“太空电梯”进入太空。设想在地球赤道平面内有一垂直于地面并延伸到太空的轻质“太空电梯”，如图所示，假设某物体b乘坐太空电梯到达了图示位置并相对电梯静止，与同高度运行的卫星a、更高处同步卫星c相比较。下列说法正确的是()A．a与b都是高度相同的人造地球卫星B．b的线速度小于c的线速度C．b的线速度大于a的线速度D．b的加速度大于a的加速度解析：选Ba是人造地球卫星，但b不是，故A错误；b与c的角速度相同，但b运动半径小于c运动半径，所以b的线速度小于c的线速度，故B正确；b与c的角速度相同，a的角速度大于c的角速度，故b的角速度小于a的角速度，又由于a、b做圆周运动的半径相同，故b的线速度小于a的线速度，b的加速度小于a的加速度，故C、D错误。【变式3-3】(多选)有a、b、c、d四颗地球卫星，卫星a还未发射，在赤道表面上随地球一起转动，卫星b是近地轨道卫星，卫星c是地球同步卫星，卫星d是高空探测卫星，它们均做匀速圆周运动，各卫星排列位置如图所示，则()A．卫星a的向心加速度等于重力加速度g，卫星c的向心加速度大于卫星d的向心加速度B．在相同时间内卫星b转过的弧长最长，卫星a、c转过的弧长对应的角度相等C．卫星c在4小时内转过的圆心角是eq\f(π,3)，卫星a在2小时内转过的圆心角是eq\f(π,6)D．卫星b的周期一定小于卫星d的周期，卫星d的周期一定小于24小时解析：选BC卫星a在地球表面随地球一起转动，其万有引力等于重力与向心力之和，且重力远大于向心力，故卫星a的向心加速度远小于重力加速度g，对于卫星b、c、d，根据牛顿第二定律，万有引力提供向心力，Geq\f(Mm,r2)＝man，解得向心加速度an＝eq\f(GM,r2)，由于卫星d的轨道半径大于卫星c的轨道半径，所以卫星c的向心加速度大于卫星d的向心加速度，A错误；地球同步卫星c绕地球运动的角速度与地球自转角速度相同，相同时间内卫星a、c转过的弧长对应的角度相等，由eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)可得v＝eq\r(\f(GM,r))，轨道半径越小速度越大，则vb>vc>vd，又卫星a与卫星c角速度相等，且卫星a的轨道半径小于卫星c的轨道半径，故vc>va，即卫星b的速度最大，所以在相同时间内卫星b转过的弧长最长，B正确；卫星a、c角速度相同，在4小时内转过的圆心角都为eq\f(2π,6)＝eq\f(π,3)，在2小时内转过的圆心角都为eq\f(2π,12)＝eq\f(π,6)，C正确；卫星c和卫星b的轨道半径都小于卫星d的轨道半径，由开普勒第三定律可知，卫星b的运动周期一定小于卫星d的运动周期，卫星d的运动周期一定大于卫星c的运动周期(24小时)，D错误。【题型4追及问题】【例4】(多选)如图所示，有A、B两颗卫星绕地心O做圆周运动，运动方向相反。A卫星的周期为T1，B卫星的周期为T2，在某一时刻两卫星相距最近，则(引力常量为G)()A．两卫星下一次相距最近需经过时间t＝eq\f(T1T2,T1＋T2)B．两颗卫星的轨道半径之比为eq\r(3,\f(T12,T22))C．若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球的密度D．若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球表面的重力加速度解析：选AB两卫星运动方向相反，设经过时间t再次相遇，则有eq\f(2π,T1)t＋eq\f(2π,T2)t＝2π，解得t＝eq\f(T1T2,T1＋T2)，A正确；根据万有引力提供向心力得eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，A卫星的周期为T1，B卫星的周期为T2，所以两颗卫星的轨道半径之比为eq\r(3,\f(T12,T22))，B正确；若已知两颗卫星相距最近时的距离，结合两颗卫星的轨道半径之比可以求出两颗卫星的轨道半径，根据万有引力提供向心力得eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可求出地球的质量，但不知道地球的半径，所以不能求出地球的密度和地球表面的重力加速度，故C、D错误。【变式4-1】三颗人造卫星A、B、C都在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，A、C为地球同步卫星，某时刻A、B相距最近，如图所示。已知地球自转周期为T1，B的周期为T2，则下列说法正确的是()A．A加速可追上同一轨道上的CB．经过时间eq\f(T1T2,2T1－T2)，A、B相距最远C．A、C向心加速度大小相等，且大于B的向心加速度D．A、B与地心连线在相同时间内扫过的面积相等解析：选B卫星A加速后做离心运动，轨道变高，不可能追上卫星C，故A错误；A、B两卫星由相距最近至相距最远时，圆周运动转过的角度相差π，即ωBt－ωAt＝π，其中ωA＝eq\f(2π,T1)，ωB＝eq\f(2π,T2)，解得经历的时间t＝eq\f(T1T2,2T1－T2)，故B正确；根据万有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得a＝eq\f(GM,r2)，可知A、C向心加速度大小相等，且小于B的向心加速度，故C错误；绕地球运动的卫星与地心连线在相同时间t内扫过的面积S＝eq\f(1,2)vt·r，其中v＝eq\r(\f(GM,r))，则有S＝eq\f(t,2)eq\r(GMr)，可知A、B与地心连线在相同时间内扫过的面积不相等，故D错误。【变式4-2】我国北斗导航系统(BDS)于2020年已全面建成，是继GPS、GLONASS之后第三个成熟的卫星导航系统。该卫星导航系统空间段包括5颗静止轨道卫星和30颗非静止轨道卫星，静止轨道卫星是地球同步轨道卫星的一种。若一颗与地球同步轨道卫星在同一轨道平面内的人造地球卫星在自西向东绕地球运行，已知它的运行半径为同步轨道半径的四分之一，地球自转周期为T，某时刻该卫星与地球同步轨道卫星相距最近，则到下一次两卫星相距最近经历的最短时间为()A.eq\f(T,9)B.eq\f(T,8)C.eq\f(T,7)D.eq\f(T,4)解析：选C同步卫星的运动周期为地球的自转周期T，设该卫星的周期为T1，由开普勒第三定律得eq\f(T12,T2)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,4)))3,R3)，解得T1＝eq\f(T,8)，设该卫星至少每隔t时间与同步轨道卫星相距最近，只需满足eq\f(2π,T1)－eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,t)，解得t＝eq\f(T,7)，C正确，A、B、D错误。【变式4-3】当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，若2022年9月26日出现一次“木星冲日”．已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍．则下列说法正确的是()A．下一次的“木星冲日”时间肯定在2024年B．下一次的“木星冲日”时间肯定在2023年C．木星运行的加速度比地球的大D．木星运行的周期比地球的小答案B解析设太阳质量为M，行星质量为m，轨道半径为r，周期为T，加速度为a.对行星由牛顿第二定律可得Geq\f(Mm,r2)＝ma＝meq\f(4π2,T2)r，解得a＝eq\f(GM,r2)，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍，因此，木星运行的加速度比地球的小，木星运行的周期比地球的大，故C、D错误；地球公转周期T1＝1年，由T＝2πeq\r(\f(r3,GM))可知，木星公转周期T2＝eq\r(125)T1≈11.2年．设经时间t，再次出现“木星冲日”，则有ω1t－ω2t＝2π，其中ω1＝eq\f(2π,T1)，ω2＝eq\f(2π,T2)，解得t≈1.1年，因此下一次“木星冲日”发生在2023年，故A错误，B正确．【题型5估算问题】【例5】宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面．已知引力常量为G，月球的半径为R.求：(不考虑月球自转的影响)(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；(2)月球的质量M；(3)月球的密度ρ.答案(1)eq\f(2h,t2)(2)eq\f(2hR2,Gt2)(3)eq\f(3h,2πRGt2)解析(1)月球表面附近的物体做自由落体运动，有h＝eq\f(1,2)g月t2月球表面的自由落体加速度大小g月＝eq\f(2h,t2)(2)不考虑月球自转的影响，有Geq\f(Mm,R2)＝mg月得月球的质量M＝eq\f(2hR2,Gt2)(3)月球的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(2hR2,Gt2),\f(4π,3)R3)＝eq\f(3h,2πRGt2).【变式5-1】若将北斗导航卫星绕地球的运动近似看成是匀速圆周运动，运行轨道距地面的高度为h，运行周期为T，已知万有引力常量为G，地球半径为R。则地球质量M和地球的平均密度ρ分别为()A．M＝eq\f(4π2R＋h3,GT2)，ρ＝eq\f(3πR＋h3,GT2R3)B．M＝eq\f(4π2R＋h3,GT2)，ρ＝eq\f(6πR＋h3,GT2R3)C．M＝eq\f(4π2R＋h3,3GT2)，ρ＝eq\f(3πR＋h3,GT2R3)D．M＝eq\f(4π2R＋h3,3GT2)，ρ＝eq\f(6πR＋h3,GT2R3)[解析]将北斗导航卫星绕地球的运动近似看成是匀速圆周运动，设卫星的质量为m，由万有引力提供向心力有Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2(R＋h)，解得M＝eq\f(4π2R＋h3,GT2)，又有M＝ρeq\f(4,3)πR3，解得ρ＝eq\f(3πR＋h3,GT2R3)，A正确。[答案]A【变式5-2】2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是()A．核心舱的质量和绕地半径B．核心舱的质量和绕地周期C．核心舱的绕地角速度和绕地周期D．核心舱的绕地线速度和绕地半径解析：选D根据万有引力提供核心舱绕地球做匀速圆周运动的向心力，可得eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得M＝eq\f(v2r,G)，D正确；由于核心舱质量在运算中被约掉，故无法通过核心舱质量求解地球质量，A、B错误；已知核心舱的绕地角速度，由eq\f(GMm,r2)＝mω2r得M＝eq\f(ω2r3,G)，且ω＝eq\f(2π,T)，故还需要知道核心舱的绕地半径，才能求得地球质量，C错误。【变式5-3】(多选)已知引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1(地球自转周期)，一年的时间T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2.你能计算出()A．地球的质量m地＝eq\f(gR2,G)B．太阳的质量m太＝eq\f(4π2L23,GT22)C．月球的质量m月＝eq\f(4π2L13,GT12)D．太阳的平均密度ρ＝eq\f(3π,GT22)答案AB解析对地球表面的一个物体m0来说，应有m0g＝eq\f(Gm地m0,R2)，所以地球质量m地＝eq\f(gR2,G)，故A项正确；地球绕太阳运动，有eq\f(Gm太m地,L22)＝m地eq\f(4π2L2,T22)，则m太＝eq\f(4π2L23,GT22)，故B项正确；同理，月球绕地球运动，能求出地球质量，无法求出月球的质量，故C项错误；由于不知道太阳的半径，不能求出太阳的平均密度，故D项错误．【题型6同步卫星】【例6】(多选)如图所示，卫星a、b、c沿圆形轨道绕地球运行．a是极地轨道卫星，在地球两极上空约1000km处运行；b是低轨道卫星，距地球表面高度与a相等；c是地球同步卫星，则()A．a、b的周期比c大B．a、b的向心力大小一定相等C．a、b的线速度大小相等D．a、b的向心加速度比c大答案CD解析卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r＝meq\f(v2,r)＝ma，解得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，v＝eq\r(\f(GM,r))，a＝eq\f(GM,r2)，a、b卫星的轨道半径相等，则周期相等，线速度大小相等，方向不同，向心加速度大小相等，c卫星的轨道半径大于a、b卫星的轨道半径，则c卫星的向心加速度小于a、b的向心加速度，周期大于a、b的周期，故A错误，C、D正确；卫星的质量未知，无法比较向心力的大小，故B错误．【变式6-1】2021年4月29日，我国在海南文昌用长征五号B运载火箭成功将空间站天和核心舱送入预定轨道。核心舱运行轨道距地面的高度为400km左右，地球同步卫星距地面的高度接近36000km。则该核心舱的()A．角速度比地球同步卫星的小B．周期比地球同步卫星的长C．向心加速度比地球同步卫星的大D．线速度比地球同步卫星的小解析：选C核心舱和地球同步卫星都是受万有引力提供向心力而做匀速圆周运动，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r＝ma＝mω2r，可得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，a＝eq\f(GM,r2)，v＝eq\r(\f(GM,r))，而核心舱运行轨道距地面的高度为400km左右，地球同步卫星距地面的高度接近36000km，有r舱<r同，故有ω舱>ω同，T舱<T同，a舱>a同，v舱>v同，故A、B、D错误，C正确。【变式6-2】“祝融号”火星车登陆火星之前，“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日。假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为2个火星日。已知一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为()A.eq\r(3,4)B.eq\r(3,\f(1,4))C.eq\r(3,\f(5,2))D.eq\r(3,\f(2,5))解析：选D由万有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r，解得r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))，所以飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值eq\f(r1,r2)＝eq\r(3,\f(M1T12,M2T22))＝eq\r(3,\f(2,5))。故A、B、C错误，D正确。【变式6-3】如图所示，极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极(轨道可视为圆轨道、地球视为球体)，若一个极地卫星从北纬30°的正上方，按图示方向第一次运行至赤道正上方时所用的时间为0.25h，已知纬度是指某点与地球球心的连线和地球赤道面所成的线面角，同步卫星的线速度大小为3.08km/s，则该极地卫星的线速度大小为()A．1.54km/s B．3.08km/sC．6.16km/s D．7.9km/s解析：选C由题意可得该极地卫星运行的周期为eq\f(30°,360°)T极＝0.25h，得T极＝3h，由开普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k得eq\f(r同,r极)＝eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T同,T极)))2)＝4，由eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，解得eq\f(v同,v极)＝eq\f(1,2)，极地卫星的线速度大小为v极＝2v同＝6.16km/s，故C正确。【题型7拉格朗日点】【例7】我国发射的卫星成功进入了“拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家，如图所示。该“拉格朗日点”位于太阳与地球连线的延长线上，一飞行器位于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则该飞行器的()A．向心力仅由太阳的引力提供B．周期小于地球公转的周期C．绕速度大于地球公转的线速度D．向心加速度小于地球公转的向心加速度答案C解析探测器的向心力由太阳和地球引力的合力提供，故A错误；飞行器与地球同步绕太阳运动，角速度相等，周期相同，故B错误；角速度相等，根据v＝rω，知探测器的线速度大于地球的线速度，故C正确；根据a＝rω2知，探测器的向心加速度大于地球的向心加速度，故D错误；故选C。【变式7-1】(多选)地月系统是双星模型，为了寻找航天器相对地球和月球不动的位置，科学家们做出了不懈努力．如图所示，欧拉推导出L1、L2、L3三个位置，拉格朗日又推导出L4、L5两个位置．现在科学家把L1、L2、L3、L4、L5统称地月系中的拉格朗日点．中国“嫦娥四号”探测器成功登陆月球背面，并通过处于拉格朗日区的“嫦娥四号”中继卫星“鹊桥”把信息返回地球，引起众多师生对拉格朗日点的热议．下列说法正确的是()A．在拉格朗日点航天器的受力不再遵循万有引力定律B．在不同的拉格朗日点航天器随地月系统运动的周期均相同C．“嫦娥四号”中继卫星“鹊桥”应选择L1点开展工程任务实验D．“嫦娥四号”中继卫星“鹊桥”应选择L2点开展工程任务实验答案BD解析在拉格朗日点的航天器仍然受万有引力，仍遵循万有引力定律，A错误；因在拉格朗日点的航天器相对地球和月球的位置不变，说明它们的角速度一样，因此周期也一样，B正确；“嫦娥四号”探测器登陆的是月球的背面，“鹊桥”要把探测器在月球背面采集的信息传回地球，L2在月球的背面，因此应选在L2点开展工程任务实验，所以C错误，D正确．【变式7-2】如图所示，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动．据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动．以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步卫星向心加速度的大小．以下判断正确的是()A．a2>a3>a1 B．a2>a1>a3C．a3>a1>a2 D．a3>a2>a1答案D解析因空间站建在拉格朗日点，故其周期等于月球的周期，根据a＝eq\f(4π2,T2)r可知，a2>a1，对空间站和地球的同步卫星而言，由于同步卫星的轨道半径较空间站的小，根据a＝eq\f(GM,r2)可知a3>a2，故选项D正确．【变式7-3】我国中继卫星“鹊桥”是运行于地月拉格朗日点的通信卫星，点位于地球和月球连线的延长线上，“鹊桥”可以在几乎不消耗燃料的情况下与月球同步绕地球做匀速圆周运动，如图所示。已知“鹊桥”质量远小于月球质量，可忽略“鹊桥”对月球的影响，地球与月球的中心距离为r，点与月球的中心距离为，月球绕地球公转周期为T，引力常量为G。求：（1）“鹊桥”在点的加速度大小a；（2）地球质量与月球质量的比值。【答案】（1）；（2）【解析】（1）“鹊桥”在点的加速度（2）设“鹊桥”质量为m，地球质量为，月球质量为，对“鹊桥”对月球解得【题型8黑洞问题】【例8】(多选)2019年人类天文史上首张黑洞图片正式公布．在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统．在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称之为“潮汐瓦解事件”．天鹅座X－1就是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图所示．在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是()A．两者之间的万有引力变大B．黑洞的角速度变大C．恒星的线速度变大D．黑洞的线速度变大答案AC解析假设恒星和黑洞的质量分别为M、m，环绕半径分别为R、r，且m<M，两者之间的距离为L，则根据万有引力定律Geq\f(Mm,L2)＝F向，恒星和黑洞的距离不变，随着黑洞吞噬恒星，M、m的乘积变大，它们的万有引力变大，故A正确；双星系统属于同轴转动的模型，角速度相等，根据万有引力提供向心力Geq\f(Mm,L2)＝mω2r＝Mω2R，其中R＋r＝L，解得恒星的角速度ω＝eq\r(\f(GM＋m,L3))，双星的质量之和不变，则角速度不变，故B错误；根据mω2r＝Mω2R，得eq\f(M,m)＝eq\f(r,R)，因为M减小，m增大，所以R增大，r减小，由v恒＝ωR，v黑＝ωr，可得v恒变大，v黑变小，故C正确，D错误．【变式8-1】科学家对银河系中心附近的恒