2024-2025学年辽宁省重点高中高一（上）第一次月考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年辽宁省重点高中高一（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合U={x∈N∗|x≤5}，A={1,3}，B={1,2,4}，则A⋃(A.{1,3,5} B.{0,1,3,5} C.{0,1,2,4} D.{1,2,4,5}2.命题p：∀x∈I,xx−1>0，则¬p是A.∀x∈I,xx−1≤0 B.∃x∈I,xx−1≤0

C.∀x∈I,x3.若a<0，则a+1a(

)A.有最小值2 B.有最大值2 C.有最小值−2 D.有最大值−24.若不等式ax2−x−c>0的解集为{x|−1<x<12}A. B.

C. D.5.已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个数中最大的数是(

)A.2a+b B.1a+1b 6.已知集合M={x|x2−3x+2=0}，N={x|x2−ax+3a−5=0}，若M∪N=MA.⌀ B.{2} C.{a|2<a<10} D.{a|2≤a<10}7.手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在(0,1)之间．设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新的手机外观，则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化(

)A.“屏占比”不变 B.“屏占比”变小 C.“屏占比”变大 D.变化不确定8.已知命题p：∃x∈[1,3]，x2−ax+4<0是真命题，则p的一个必要不充分条件是(

)A.a<5 B.a>3 C.a<4 D.a>4二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a>b，c>d>0，则(

)A.a−d>b−c B.ac>bd C.ac2>b10.若关于x的不等式x2−2x+m≤0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值可以是(

)A.−3 B.−2 C.0 D.111.已知a，b为正实数，且ab+2a+b=16，则(

)A.ab的最大值为8 B.2a+b的最小值为8

C.a+b的最小值为63−3 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知集合A={1}，集合B={x∈N|x<3}，则满足关系A⊆P⊆B的所有集合P为______．13.对班级40名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A、B都赞成的学生有______人.14.正实数a、b满足：a2−b2=2，且12a四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知全集U=R，集合A={x|1x−3<−1},B={x|x−(a2+2)x−a<0}．

(1)若A∩B≠⌀，求实数a的取值范围；

(2)命题p：x∈A，命题q：16.(本小题12分)

根据要求完成下列问题：

(1)解关于x的不等式(m+1)x2−2mx+m−1≥0(m∈R)；

(2)若不等式(m+1)x2−(m−1)x+m−1≥0(m∈R)对任意17.(本小题12分)

要在墙上开一个上半部为半圆形、下部为矩形的窗户(如图所示)，在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸？18.(本小题12分)

如图，铁路线上AB段长100千米，工厂C到铁路的距离CA为20千米.现要在AB上某一点D处，向C修一条公路，已知铁路每吨千米的运费与公路每吨千米的运费之比为3：5.为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最少，D点应选在何处？19.(本小题12分)

根据要求完成下列问题：

(1)已知全集U=R，集合A={x|x2−x−6<0}，集合B={x|x2+2x−8>0}，集合C={x|x2−4tx+3t2<0}，且(A∩B)⊆C，求实数t的取值范围；20.(本小题12分)

已知集合A为非空数集.定义：S={x|x=a+b,a,b∈A}，T={x|x=|a−b|,a,b∈A}．

(Ⅰ)若集合A={1,3}.直接写出集合S，T；

(Ⅱ)若集合A={x1,x2,x3,x4}，x1<x2<x3<x4，且答案解析1.A

【解析】解：由U={1,2,3,4,5}，则∁UB={3,5}，故A⋃(∁UB)={1,3,5}．

故选：A2.D

【解析】解：由全称命题的否定是特称命题知：原命题的否定为∃x∈I,xx−1≤0或x−1=0．

故选：D．

3.D

【解析】解：∵a<0，

则a+1a=−[(−a)+(−1a)]≤−2，即函数有最大值−2

故选：D．

由4.C

【解析】解：根据题意，不等式ax2−x−c>0的解集为{x|−1<x<12}，

则方程ax2−x−c=0的解为x1=−1或x2=12，且a<0，

则有(−1)+12=1a(−1)×12=−ca，解可得a=−2c=−1，

5.B

【解析】解：a，b为互不相等的正实数，则1a+1b>2ab，2a+b<22ab=16.D

【解析】解：方程x2−3x+2=0的根为x=1或x=2，即M={1,2}，

若M∪N=M，则N⊆M，

当N=⌀时，有Δ=a2−4(3a−5)<0，解得2<a<10；

当N={1}时，有Δ=a2−4(3a−5)=01−a+3a−5=0，解得a=2；

当N={2}时，有Δ=a2−4(3a−5)=04−2a+3a−5=0，方程组无解；

当N={1,2}时，有a=33a−5=2，方程组无解；

综上可得，实数a的取值集合为{a|2≤a<10}．

故选：7.C

【解析】解：设原来手机屏幕面积为b，整机面积为a，则屏占比=ba(a>b)，

设手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量为m(0<m<1)，

升级后屏占比=b+ma+m，

∵a>b，∴b+ma+m−ba=ab+am−ab−bma(a+m)=(a−b)ma(a+m)>0，

即该手机“屏占比”和升级前比变大．

8.B

【解析】解：因为∃x∈[1,3]，x2−ax+4<0，所以当x∈[1,3]时，a>(x+4x)min，

因为x+4x≥2x⋅4x=4，当且仅当x=4x，即x=2时，等号成立，

所以a>4是p的充要条件，因为a>4⇒a>3，但a>3不能推出a>4，

所以9.AC

【解析】解：对于A，由已知条件得a>b且−d>−c，相加得a−d>b−c，故A正确，

对于B，当a=−1，b=−2，c=2，d=1时ac>bd不成立，故B错误，

对于C，因为a>b，c2>0，所以ac2>bc2，故C正确，

对于D，ad−bc=ac−bdcd，当a=−1，b=−2，c=2，10.BC

【解析】解：函数f(x)=x2−2x+m，图像抛物线开口向上，对称轴方程为x=1，

当x=1时，f(x)取最小值，

不等式x2−2x+m≤0的解集中恰有3个整数，这3个整数为0，1，2，

所以f(0)=m≤0f(−1)=1+2+m>0，解得−3<m≤0，实数m的取值范围是(−3,0]．

故选：BC．

结合函数f(x)=x2−2x+m11.ABD

【解析】解：对于A，因为16=ab+2a+b≥ab+22ab，当且仅当2a=b时取等号，

即ab+22ab−16≤0，当且仅当2a=b时取等号，

解得−42≤ab≤22，当且仅当2a=b时取等号，

又因为a，b为正实数，所以0<ab≤8，

故ab的最大值为8，当且仅当2a=b时取等号，故选项A正确；

对于B，由16=ab+2a+b得：b=16−2aa+1=18a+1−2，

所以2a+b=2a+16−2aa+1=2(a+1)+18a+1−4≥22(a+1)×18a+1−4=8，

当且仅当2(a+1)=18a+1，即a=2时取等号，此时取得最小值8，故选项B正确；

对于C，a+b=a+1812.4

【解析】解：∵集合B={x∈N|x<3}，

∴B={0,1,2}，

若集合A={1}，且A⊆P⊆B，

则P={1}，{0,1}，{1,2}，{0,1,2}共4个，

故答案为：4．

根据集合的包含关系，求出满足条件的集合P即可．

本题考查了集合的表示，子集的定义，属于基础题．13.18

【解析】解：赞成A的人数是40×35=24人，赞成B的人数为24+3=27人，

设对A、B都赞成的学生数为x，则对A、B都不赞成的学生数为13x+1，

设40名学生组成的集合为U，赞成A的学生全体为集合A，赞成集合B的学生全体为集合B，

作出韦恩图得：

由韦恩图得：13x+1+24−x+x+27−x=40，解得x=18．

故答案为：18．

赞成A的人数是24人，赞成B的人数为27人，设对A、B都赞成的学生数为x，则对A、B都不赞成的学生数为13x+1，设40名学生组成的集合为U，赞成A的学生全体为集合14.(0,1)

2

【解析】解：令ba=t(t>0)，有a2−a2⋅t2=2，则a2=21−t2>0，

得到1−t2>0，解得0<t<1，所以ba的取值范围为(0,1)，

令z=12a2+2ba=a2−b24a2+2ba15.解：(1)不等式1x−3<−1，即x−2x−3<0，解得2<x<3，所以A={x|2<x<3}，

不等式x−(a2+2)x−a<0，由a2+2−a=(a−12)2+74>0恒成立，所以a2+2>a，

故解集为{x|a<x<a2+2}，即B={x|a<x<a2+2}，

若A∩B=⌀，则有a≥3或a2+2≤2，解得解集为M={a|a=0或a≥3}，

因为A∩B≠⌀，所以a的取值范围是∁UM={a|a<0或0<a<3}．【解析】(1)解出两个集合中的不等式，得到这两个集合，由A∩B≠⌀，求实数a的取值范围；

(2)依题意有A⊆B，列不等式求实数a的取值范围．

本题主要考查分式不等式的解法，集合的交集运算，充分必要条件的定义，考查运算求解能力，属于中档题．16.解：(1)因为(m+1)x2−2mx+m−1≥0，

当m+1=0时，即m=−1时，原不等式可化为2x−2≥0，解得x≥1，

所以原不等式的解集为[1,+∞)；

当m+1≠0时，即m=−1时，原不等式可化为[(m+1)x−(m−1)](x−1)≥0，

当m+1>0时，即m>−1时，(x−m−1m+1)(x−1)≥0，

因为m−1m+1=1−2m+1<1，所以原不等式的解集为(−∞,m−1m+1]∪[1,+∞)；

当m+1<0时，即m<−1时，(x−m−1m+1)(x−1)≤0，

因为m−1m+1=1−2m+1>1，所以原不等式的解集为[1,m−1m+1]；

(2)因为(m+1)x2−(m−1)x+m−1≥0，

即m⋅(x2−x+1)≥−x2−x+1，

因为x2−x+1=(x−12)2【解析】(1)对不同参数范围进行讨论，求解不等式即可．

(2)利用分离参数法结合换元法对函数进行化简，再利用基本不等式求解范围即可．

本题考查了函数与不等式的应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．17.解：∵窗框的用料是am，

∴假设AD=2x，AB=a−πx−4x2，

∴窗子的面积为：S=2x⋅a−πx−4x2+12πx2=(−π2−4)x2+ax，【解析】根据窗户面积为：一个矩形的面积+半圆的面积，分别表示出利用二次函数最值求法得出边长即可．

本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及圆的面积和二次函数的性质，同时考查了计算能力，属于中档题．18.解

设|DA|=x(千米)，铁路吨千米运费为3a，公路吨千米运费为5a，从B到C的总运费为y，则依题意，得y=3a(100−x)+5a400+x2,x∈(0,100)．

令y=at，则有t+3x=5400+x2(1)．

平方，整理得16x2−6tx+10000−t2=0

由Δ=36t2−4×16(10000−t2)≥0，得|t|≥80．

∵t>0，∴t≥80【解析】据题设知，单位距离的公路运费大于铁路运费，又知|BD|+|DC|≤|BA|+|AC|，因此只有点D选在线段BA上某一适当位置，才能使总运费最省．若设D点距A点x千米，从B到C的总运费为y，建立y与x的函数，则通过函数y=f(x)的最小值，可确定点D的位置．

本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．19.解：(1)A={x|x2−x−6<0}={x|(x+2)(x−3)<0}={x|−2<x<3}，

B={x|x2+2x−8>0}={x|(x+4)(x−2)>0}={x|x<−4或x>2}，

则A∩B={x|2<x<3}；

C={x|x2−4tx+3t2<0}={x|(x−t)(x−3t)<0}，

因为(A∩B)⊆C，

当t=0时，C=⌀，不合题意，舍去；

当t<0时，C={x|3t<x<t}，不合题意，舍去；

当t>0时，C={x|t<x<3t}，由(A∩B)⊆C可得{x|t≤2且3t≥3，解得1≤t≤2，

综上所述，实数t的取值范围为{t|1≤t≤2}；

(2)设函数f(x)=x2+(m−1)x+1，

①若x2+(m−1)x+1=0有唯一实数解时，Δ=(m−1)2−4=0，

即m2−2m−3=(m−3)(m+1)=0，解得m=−1或m=3，

当m=−1时，原方程可化为x2−2x+1=(x−1)2=0，解得x=1，符合题意；

当m=3时，原不等式可化为x2+2x+1=(x+1)2=0，解得x=−1，不合题